☉浙江省杭州第四中學(xué) 來(lái)麗瑩

學(xué)科核心素養(yǎng)被稱為繼課程改革之后基礎(chǔ)教育最重要的研究成果.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》明確把“數(shù)學(xué)運(yùn)算”列為數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一.“數(shù)學(xué)運(yùn)算不是一個(gè)簡(jiǎn)單的運(yùn)算，而是基于有效方法去解決問(wèn)題的過(guò)程，即在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)”.良好的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)好比是一把解決問(wèn)題的金鑰匙，有了它，解決問(wèn)題的速度和正確率會(huì)大大提高.然而在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算中“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全，全而不優(yōu)”的現(xiàn)象比比皆是，嚴(yán)重制約了學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提升.因此正確認(rèn)識(shí)“數(shù)學(xué)運(yùn)算”，切實(shí)培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)、提高學(xué)生的運(yùn)算能力，成為當(dāng)今數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重.

一、“數(shù)學(xué)運(yùn)算”的教育價(jià)值

1.數(shù)學(xué)運(yùn)算貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過(guò)程

從小學(xué)階段學(xué)習(xí)數(shù)的運(yùn)算，到中學(xué)階段學(xué)習(xí)式的運(yùn)算，再到高等數(shù)學(xué)中要通過(guò)運(yùn)算來(lái)認(rèn)識(shí)和建構(gòu)群、環(huán)和域等數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，以及更為抽象的數(shù)學(xué)空間.可見數(shù)學(xué)運(yùn)算貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過(guò)程，也是一個(gè)由淺入深、由表及里的循序漸進(jìn)的過(guò)程.

2.數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)反映并發(fā)展了其他數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)運(yùn)算是利用運(yùn)算解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生首先要分析運(yùn)算對(duì)象，再確定運(yùn)算的方向，進(jìn)而選擇合適的運(yùn)算法則，最后得到運(yùn)算結(jié)果.這些過(guò)程中，邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象都起到了至關(guān)重要的作用，有時(shí)候也需要一些數(shù)學(xué)的直觀想象和數(shù)學(xué)建模的思想.整個(gè)運(yùn)算的過(guò)程本身又是一個(gè)數(shù)據(jù)分析的過(guò)程.因此，數(shù)學(xué)運(yùn)算可以說(shuō)是其他所有數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的集中呈現(xiàn)過(guò)程，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)就是提高學(xué)生整體的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

二、“數(shù)學(xué)運(yùn)算”的主要體現(xiàn)形式

1.深刻理解運(yùn)算對(duì)象

在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，首先要明確對(duì)誰(shuí)進(jìn)行運(yùn)算，了解運(yùn)算對(duì)象的背景，理解運(yùn)算對(duì)象的實(shí)質(zhì)、幾何意義及相關(guān)聯(lián)的概念等，并在運(yùn)算過(guò)程中加深對(duì)運(yùn)算對(duì)象的再理解和再認(rèn)知.

例1存在函數(shù)f（x）滿足：對(duì)于任意x∈R 都有（ ）.

A.f（sin2x）=sinx B.f（sin2x）=x2+x

C.f（x2+1）=|x+1| D.f（x2+2x）=|x+1|

看到此題，很多學(xué)生無(wú)從下手，無(wú)法辨別運(yùn)算的對(duì)象是什么，推及原因表面上是因?yàn)榇祟}的形式很新穎，但本質(zhì)上是學(xué)生對(duì)函數(shù)定義沒(méi)有深刻地理解.函數(shù)的定義從初中用變量之間的依賴關(guān)系——函數(shù)的“變量說(shuō)”進(jìn)一步抽象到用集合語(yǔ)言和對(duì)應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)——函數(shù)的“對(duì)應(yīng)關(guān)系說(shuō)”，這是思維深度上的一次重大升華.因此，在平時(shí)學(xué)習(xí)中只有對(duì)函數(shù)定義的內(nèi)涵即“一種特殊的對(duì)應(yīng)關(guān)系”深刻理解、了然于心，才能透過(guò)現(xiàn)象看到此題的本質(zhì).

因此對(duì)運(yùn)算對(duì)象及其特征做到心中有數(shù)，明確運(yùn)算對(duì)象的內(nèi)涵與外延是運(yùn)算順暢進(jìn)行的第一步.

2.靈活掌握運(yùn)算法則

運(yùn)算法則是運(yùn)算過(guò)程與結(jié)果正確性的保障，學(xué)生需要熟記相關(guān)的數(shù)學(xué)必備知識(shí).但同時(shí)不能生硬地照搬照抄，而是要在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行靈活運(yùn)用.高中很多數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決需要用到連續(xù)的恒等變形，這個(gè)過(guò)程需要學(xué)生從不同的角度運(yùn)用運(yùn)算的法則和技巧.

例2已知sinβ=msin（2α+β），求證：tan（α+β）=·tanα（m≠1）.

本題的難點(diǎn)在于此題出現(xiàn)了多個(gè)角和不同的三角函數(shù)名.有學(xué)生在證明的過(guò)程中，先將目標(biāo)式切化弦，再運(yùn)用兩角和的公式展開，最后尋找條件式和目標(biāo)式的等價(jià)關(guān)系.整個(gè)運(yùn)算過(guò)程相當(dāng)復(fù)雜，不容易算正確.其實(shí)應(yīng)該先觀察已知角和目標(biāo)角之間的關(guān)系：β=（α+β）-α，2α+β=（α+β）+α，通過(guò)變角得到sin［（α+β）-α］=msin［（α+β）+α］，再通過(guò)兩角和的正弦公式進(jìn)行變形化簡(jiǎn).通過(guò)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，第二種“變角”的方法更為簡(jiǎn)便，更容易得到正確的運(yùn)算結(jié)果.由此可見，一樣的運(yùn)算法則，不同的理解，就會(huì)帶來(lái)運(yùn)算速度上的差異，解題的復(fù)雜程度也會(huì)不同.

3.探究不同的運(yùn)算思路

運(yùn)算思路是數(shù)學(xué)運(yùn)算得以正確實(shí)施的關(guān)鍵，在它的推理過(guò)程中蘊(yùn)含著豐富的邏輯性.不同的運(yùn)算思路反映著不同層次的運(yùn)算思維，對(duì)運(yùn)算方法進(jìn)行優(yōu)化，選擇運(yùn)算步驟少、變形簡(jiǎn)單、運(yùn)算量小等特點(diǎn)的最佳解題方案，從而便于求得正確的運(yùn)算結(jié)果.

圖1

例3如圖1，已知拋物線x2=y，點(diǎn)，拋物線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B 作直線AP 的垂線，垂足為Q.

（1）求直線AP 的斜率的取值范圍；

（2）求|PA|·|PQ|的最大值.

本題第二問(wèn)（第一問(wèn)略）中|PA|的長(zhǎng)度易得，難點(diǎn)在于|PQ|長(zhǎng)度的表達(dá)，無(wú)論是用兩點(diǎn)之間距離公式，還是勾股定理，計(jì)算過(guò)程都相當(dāng)復(fù)雜.再觀察一下目標(biāo)式：|PA|·|PQ|，是兩個(gè)長(zhǎng)度相乘，于是嘗試用向量視角解決這個(gè)問(wèn)題.

三、落實(shí)“數(shù)學(xué)運(yùn)算”素養(yǎng)的教學(xué)策略

1.完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)，夯實(shí)運(yùn)算基礎(chǔ)

（1）重視數(shù)學(xué)必備知識(shí)的教學(xué).

數(shù)學(xué)必備知識(shí)是數(shù)學(xué)學(xué)科中的核心概念、法則、公式、性質(zhì)等知識(shí)，是數(shù)學(xué)運(yùn)算得以正常實(shí)施的基礎(chǔ).學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的速度和準(zhǔn)確率與必備知識(shí)掌握得是否準(zhǔn)確直接相關(guān).在數(shù)學(xué)必備知識(shí)的教學(xué)中，必須重視知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程.

例如：在《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》的教學(xué)中，一定要注重橢圓概念的形成過(guò)程，通過(guò)學(xué)生自己動(dòng)手實(shí)驗(yàn)和觀察幾何畫板動(dòng)畫，引導(dǎo)學(xué)生自我歸納橢圓的定義，學(xué)生通過(guò)不斷的“試錯(cuò)”、修改、補(bǔ)充，一步步完善橢圓的定義，在這由表及里、去偽存真的過(guò)程中學(xué)生不僅理解了橢圓的定義，而且提高了邏輯推理、抽象概括等能力，這些都是發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的保障.

同時(shí)，教師要經(jīng)常帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)歸類整理，把一些通性通法進(jìn)行梳理歸納，通過(guò)適度的重復(fù)練習(xí)形成數(shù)學(xué)技能，以便解題時(shí)能在短時(shí)間內(nèi)自動(dòng)檢索篩選，獲得解題的思路，從會(huì)學(xué)習(xí)的角度看，學(xué)生就獲得了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高.

（2）及時(shí)糾正學(xué)生運(yùn)算偏差.

學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是動(dòng)態(tài)發(fā)展的，尤其在知識(shí)的初生長(zhǎng)階段，可能因?yàn)樽约旱睦斫獠煌笍睾驼莆詹皇炀毝霈F(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤，此時(shí)教師必須幫助學(xué)生分析出錯(cuò)的原因，切不可一句“仔細(xì)點(diǎn)”而輕描淡寫地帶過(guò).

例4設(shè)首項(xiàng)為1 的等差數(shù)列{an}的前n 項(xiàng)和為Sn，已知數(shù)列的前n 項(xiàng)和為，等比數(shù)列{bn}滿足公比q＞1，b1=4，且b4是3b3，2b2的等差中項(xiàng).求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.

本題并不很難，但不少同學(xué)做錯(cuò)，仔細(xì)查看解答過(guò)程才發(fā)現(xiàn)他們把理解成了“數(shù)列的通項(xiàng)公式”，這不能用簡(jiǎn)單的“看錯(cuò)”來(lái)歸因.分析后，才發(fā)現(xiàn)是因?yàn)轭}設(shè)中的“Sn”成了干擾因素，導(dǎo)致學(xué)生把通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式混淆.本質(zhì)還是對(duì)“數(shù)列”概念的理解出了錯(cuò)，除糾正錯(cuò)誤以外，還要教給學(xué)生利用換元的思想“令從而換成“數(shù)列{cn}的前n 項(xiàng)和為，這樣概念就會(huì)清晰很多，錯(cuò)誤率也會(huì)大大減少.

因此，在數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成過(guò)程中，及時(shí)糾正運(yùn)算錯(cuò)誤，探究原因，不僅可以使教師了解學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，更可以促進(jìn)學(xué)生理解水平的提高，從而提高運(yùn)算的素養(yǎng).

2.優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，提高運(yùn)算的靈活性

（1）注重運(yùn)算思路探究的教學(xué).

運(yùn)算思路是數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心，教會(huì)學(xué)生如何探究運(yùn)算思路是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵.探究運(yùn)算思路要理解題意，明確運(yùn)算的對(duì)象，知曉運(yùn)算道理，能進(jìn)行概念之間、定理之間、性質(zhì)之間的相互轉(zhuǎn)化.從“問(wèn)題”開始，直至“問(wèn)題”結(jié)束，在此過(guò)程中教會(huì)學(xué)生如何探究解題思路：此題已知條件是什么？要得到結(jié)論需要什么條件？與已知條件之間的關(guān)系是什么？條件和結(jié)論該如何轉(zhuǎn)化？這個(gè)題與以前做過(guò)的哪些題類似？解決這類問(wèn)題的主要途徑有什么？能否進(jìn)行數(shù)與形的轉(zhuǎn)化等.

例5已知函數(shù)f（x）=-x2-（2-a）x+alnx，a∈R.當(dāng)a＞0 時(shí)，若x1，x2為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，x3為函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，且x1＜x2，證明：

在此題的講解過(guò)程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生做以下層層分析：

①由問(wèn)題中的條件可得什么結(jié)論？答：可得-x12-（2-a）x1+alnx1=0；-x22-（2-a）x2+alnx2=0

③有這個(gè)新創(chuàng)的條件，結(jié)論可以如何轉(zhuǎn)化？答：利用分析法通過(guò)代入化簡(jiǎn)進(jìn)行證明，要證x3＞，即證

“授人以魚，不如授人以漁”，因此，教師在解題教學(xué)中要充分展示對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算對(duì)象的理解過(guò)程，讓學(xué)生積極參與整個(gè)探索數(shù)學(xué)運(yùn)算思路的過(guò)程，使學(xué)生有體會(huì)、有感悟、有收獲、有創(chuàng)新！

（2）重視運(yùn)算過(guò)程的優(yōu)化教學(xué).

高中的數(shù)學(xué)題往往是“寬口徑”，即解決方法不止一種，對(duì)運(yùn)算對(duì)象的不同理解就會(huì)產(chǎn)生不同的運(yùn)算路徑.實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生容易陷入一種運(yùn)算思路，經(jīng)常因?yàn)闊┈嵉倪\(yùn)算過(guò)程導(dǎo)致不能得到正確的計(jì)算結(jié)果.因此，教師要帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的整合過(guò)程，站在數(shù)學(xué)學(xué)科整體高度上優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)，強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)必備知識(shí)本質(zhì)的理解與應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

總之，要有效培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)運(yùn)算”素養(yǎng)，作為教師就要深刻理解數(shù)學(xué)運(yùn)算的含義，把運(yùn)算能力的培養(yǎng)滲透到每一節(jié)課的每一道題中.通過(guò)精心設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，幫助學(xué)生深刻理解概念的內(nèi)涵和外延，并注重整合各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，多角度、多層次地探究解題思路，啟發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，適時(shí)講解、反復(fù)強(qiáng)調(diào)，努力讓學(xué)生形成良好的運(yùn)算心理意識(shí)和品質(zhì)！