王建云　田智鯤

【摘 要】通過(guò)分析數(shù)值分析課程的特點(diǎn)、教學(xué)現(xiàn)狀以及存在的問(wèn)題，提出將問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法應(yīng)用到數(shù)值分析的教學(xué)實(shí)踐之中，以各種實(shí)際的“問(wèn)題”為導(dǎo)向，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)具體化，用“問(wèn)題”來(lái)驅(qū)動(dòng)課堂教學(xué)，激發(fā)學(xué)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)動(dòng)力，引導(dǎo)他們積極主動(dòng)地參與到教學(xué)的整個(gè)過(guò)程。

【關(guān)鍵詞】問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法;數(shù)值分析;教學(xué)研究

中圖分類號(hào)： G434 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 2095-2457（2019）29-0083-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.29.038

1 數(shù)值分析課程的特點(diǎn)和教學(xué)現(xiàn)狀

數(shù)值分析又稱為計(jì)算方法，是數(shù)學(xué)科學(xué)的一個(gè)重要分支，主要研究用計(jì)算機(jī)求解各種數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算方法及軟件實(shí)現(xiàn)。不僅是信息與計(jì)算科學(xué)、數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)等專業(yè)的一門核心專業(yè)課程，而且很多工科類專業(yè)也開(kāi)設(shè)了該課程。數(shù)值分析是研究各類數(shù)值問(wèn)題的算法，其在流體力學(xué)、彈性力學(xué)、電磁波、飛機(jī)制造、水壩建設(shè)等領(lǐng)域的問(wèn)題中都有廣泛的應(yīng)用。數(shù)值分析既有純數(shù)學(xué)高度的抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撔院涂b密的邏輯性，又具有實(shí)際應(yīng)用的廣泛性和數(shù)值實(shí)驗(yàn)的技術(shù)性，理論與實(shí)踐的緊密結(jié)合是該課程的特點(diǎn)之一。數(shù)值分析中的很多知識(shí)內(nèi)容都是為了解決實(shí)際問(wèn)題而產(chǎn)生的，內(nèi)容具有廣泛的物理背景或?qū)嶋H應(yīng)用價(jià)值是該課程的特點(diǎn)之二[1]。

數(shù)值分析傳統(tǒng)教學(xué)中存在的問(wèn)題主要有：第一，課程內(nèi)容多，教學(xué)課時(shí)少。數(shù)值分析涉及的知識(shí)面廣且跨度大，計(jì)算公式繁雜難記，然而教學(xué)通常只有40課時(shí)甚至32課時(shí)，導(dǎo)致部分內(nèi)容得不到細(xì)致的講解。然而很少有學(xué)生主動(dòng)與老師互動(dòng)交流，往往是被動(dòng)學(xué)習(xí)和消極應(yīng)付考試，這樣易使他們產(chǎn)生畏難和厭學(xué)情緒，從而達(dá)不到良好的教學(xué)效果;第二，重理論，輕實(shí)踐。數(shù)值分析是一門與計(jì)算機(jī)緊密相結(jié)合的數(shù)學(xué)類課程，傳統(tǒng)的教學(xué)往往偏重講授數(shù)值方法的原理和理論推導(dǎo)，而忽視了算法的應(yīng)用背景、設(shè)計(jì)思想和軟件實(shí)現(xiàn)?？梢岳脭?shù)學(xué)軟件MATLAB進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)，加深對(duì)理論知識(shí)的掌握，同時(shí)鍛煉了學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。第三，教學(xué)方法單一。長(zhǎng)期以來(lái)我們的課堂教學(xué)偏向于“母乳喂養(yǎng)”方式，造成學(xué)生缺乏自己“覓食”的習(xí)慣和能力，再加上缺乏實(shí)踐環(huán)節(jié)的教學(xué)，沒(méi)有實(shí)驗(yàn)的深刻體會(huì)，就使得學(xué)生不能全面地理解和運(yùn)用書中的算法[2]。第四，學(xué)生參與度不高。源于學(xué)生的自制力差，目前處在信息化時(shí)代，手機(jī)和筆記本電腦等電子可移動(dòng)終端進(jìn)入教室，導(dǎo)致學(xué)生的課堂注意力受到干擾和影響，使得他們的專注力和課堂參與度下降。

2 問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法的適用性

問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法是基于問(wèn)題式學(xué)習(xí)提出的，以建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論為基礎(chǔ)的一種新興的教學(xué)模式，是啟發(fā)式教學(xué)法的延伸。該教學(xué)方法本質(zhì)上體現(xiàn)了我國(guó)古代孔子“不憤不啟，不悱不發(fā)”的教學(xué)理念，即由教師提出問(wèn)題，學(xué)生積極思考，待學(xué)生處于“憤”的狀態(tài)，教師才點(diǎn)撥啟發(fā)，讓學(xué)生繼續(xù)思考，再待到學(xué)生進(jìn)入“悱”的狀態(tài)，教師再誘導(dǎo)，使學(xué)生“柳暗花明”[3]。主要思想是在課堂教學(xué)中結(jié)合一些關(guān)鍵問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生帶著問(wèn)題去思考和探究，讓他們掌握學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)。問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法的教學(xué)過(guò)程，一般可分為提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、結(jié)果評(píng)價(jià)等四個(gè)環(huán)節(jié)。首先由老師提出問(wèn)題，問(wèn)題的設(shè)置應(yīng)結(jié)合課堂所授知識(shí)點(diǎn)。接著以該問(wèn)題為導(dǎo)向，引導(dǎo)學(xué)生分析和思考知識(shí)的內(nèi)涵，激發(fā)學(xué)生運(yùn)用理論知識(shí)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的興趣。然后讓學(xué)生自己尋找解決問(wèn)題的方法，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的動(dòng)手能力。最后老師對(duì)結(jié)果進(jìn)行總結(jié)評(píng)價(jià)，經(jīng)過(guò)老師的“點(diǎn)”，問(wèn)題變不通為通，經(jīng)過(guò)老師的“撥”，難點(diǎn)由難變不難。將問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法應(yīng)用到數(shù)值分析這樣一門數(shù)學(xué)類課程的教學(xué)，旨在把隱藏在“冰冷的形式”后面的數(shù)學(xué)思想呈現(xiàn)出來(lái)。這時(shí)， 數(shù)學(xué)將會(huì)呈現(xiàn)出引人入勝的斑斕色彩[4]。

3 問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法的實(shí)踐

3.1 問(wèn)題的設(shè)計(jì)

問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法的核心和關(guān)鍵是問(wèn)題的設(shè)計(jì)，德國(guó)數(shù)學(xué)家康托曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，提出問(wèn)題的藝術(shù)比解答問(wèn)題的藝術(shù)更為重要?！钡O(shè)計(jì)一個(gè)好的問(wèn)題并不容易，如何提出學(xué)生感興趣的、有意義的且富有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題是一件比較費(fèi)勁的事情。根據(jù)數(shù)值分析的內(nèi)容特點(diǎn)以及教學(xué)目的，問(wèn)題的設(shè)計(jì)原則應(yīng)該遵循以下幾個(gè)方面。原則之一是抽象數(shù)學(xué)的形象化。即找到抽象數(shù)學(xué)知識(shí)所對(duì)應(yīng)的自然界的物質(zhì)原型，任何數(shù)學(xué)問(wèn)題都有其對(duì)應(yīng)的物質(zhì)原型（即對(duì)問(wèn)題的形象化刻畫與描述），數(shù)學(xué)理論和知識(shí)絕不是“憑空而降”的，問(wèn)題是豐富多彩的數(shù)學(xué)科學(xué)的源泉。所以設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)都要注意與其本身對(duì)應(yīng)的物質(zhì)原型聯(lián)系，追本溯源。例如在講授插值法和多項(xiàng)式逼近的時(shí)候，會(huì)講到在實(shí)際中，經(jīng)常是通過(guò)實(shí)驗(yàn)和測(cè)量等方法，僅僅獲得函數(shù)在一些離散點(diǎn)上的函數(shù)值，要得到函數(shù)的解析表達(dá)式是非常困難的。這時(shí)，如何利用這些已知數(shù)據(jù)得到函數(shù)解析表達(dá)式的近似形式，就變得尤為重要和具有實(shí)際意義，插值和逼近恰好可以完成這個(gè)工作，此時(shí)學(xué)生就知道了插值和逼近可以處理何種問(wèn)題，然后我們?cè)俳o學(xué)生展示出一個(gè)具體的實(shí)例，例如設(shè)有一個(gè)年產(chǎn)量50萬(wàn)噸的鋼鐵廠，現(xiàn)在需要統(tǒng)計(jì)其生產(chǎn)費(fèi)用，由于該廠的各項(xiàng)數(shù)據(jù)資料部分丟失，已經(jīng)無(wú)法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。在這樣一種情況下，統(tǒng)計(jì)部門收集了在人員、設(shè)備、生產(chǎn)能力等方面和該廠非常接近的5個(gè)鋼鐵廠的數(shù)據(jù)資料，如何根據(jù)已知5個(gè)鋼鐵廠的資料來(lái)比較準(zhǔn)確地估計(jì)該廠的生產(chǎn)費(fèi)用呢？可以利用拉格朗日插值，構(gòu)造插值多項(xiàng)式來(lái)求解這樣一個(gè)問(wèn)題[5]。原則之二注重知識(shí)點(diǎn)的連貫性。當(dāng)講解新知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候，先復(fù)習(xí)舊的知識(shí)點(diǎn)，讓學(xué)生找出新舊知識(shí)點(diǎn)之間的一些關(guān)系和橋梁，然后過(guò)渡到新知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)。通過(guò)對(duì)新舊知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)新舊知識(shí)之間的區(qū)別和聯(lián)系，從而進(jìn)一步加深對(duì)新知識(shí)點(diǎn)的理解何掌握。例如，在講解兩點(diǎn)三次Hermite插值的時(shí)候，其公式的推導(dǎo)比較煩瑣，學(xué)生不是很好理解，其實(shí)公式建立也是類似于Lagrange插值基函數(shù)的思想和原理，老師帶領(lǐng)大家進(jìn)行前后兩節(jié)知識(shí)的學(xué)習(xí)對(duì)比，以舊帶新。同時(shí)，告訴學(xué)生Hermite插值也可以利用前面章節(jié)里學(xué)習(xí)到的重節(jié)點(diǎn)牛頓插值來(lái)做，同時(shí)比較兩種方法之間各自的特點(diǎn)和優(yōu)劣勢(shì)，加深對(duì)其理解和掌握。原則之三是點(diǎn)線面相結(jié)合。數(shù)值分析課程的一些知識(shí)點(diǎn)相對(duì)有點(diǎn)零散，就好像一顆顆散落的珍珠。通過(guò)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法的實(shí)施，讓學(xué)生自己動(dòng)手在解決相關(guān)問(wèn)題的過(guò)程中，逐漸熟悉和尋找到這些珍珠，進(jìn)一步將這些珍珠串成精美的項(xiàng)鏈，從而全面了解到知識(shí)結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)性。例如，在課程的“插值法、數(shù)值積分、常微分方程的數(shù)值求解”這三個(gè)章節(jié)內(nèi)容的講授上，可以對(duì)幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行串聯(lián)和歸納。在前面講解了多項(xiàng)式插值以后，那么在后面講解數(shù)值積分的時(shí)候，告訴學(xué)生數(shù)值積分的原理就是把被積函數(shù)進(jìn)行多項(xiàng)式插值，用多項(xiàng)式近似替換其他復(fù)雜的被積函數(shù)。比如梯形公式，就是將被積函數(shù)進(jìn)行兩點(diǎn)線性插值，辛普森公式就是被積函數(shù)進(jìn)行拋物線插值等。在最后講解常微分方程數(shù)值解法的時(shí)候，可以介紹其中的數(shù)值求解方法的原理，就是考慮將方程右端的積分采用什么樣的數(shù)值積分公式，如果采用矩形積分公式，就是歐拉法和向后歐拉法，如果采用梯形積分公式，就是梯形法，如果采用多節(jié)點(diǎn)插值型求積公式，就是龍格庫(kù)塔法。

3.2 問(wèn)題的分析

在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中問(wèn)題的分析是學(xué)生最樂(lè)于參與的環(huán)節(jié)，也是問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法的一個(gè)重要步驟。老師先提出相關(guān)的問(wèn)題，然后引導(dǎo)學(xué)生對(duì)相應(yīng)的問(wèn)題進(jìn)行分析和解決，一環(huán)緊扣一環(huán)，一層一層地向前推進(jìn)，將課堂的知識(shí)重點(diǎn)由淺入深、由易到難、由表及里詳細(xì)地進(jìn)行闡述，從而形成波浪式和遞進(jìn)式的課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)，在這個(gè)教學(xué)實(shí)施過(guò)程中需遵循幾個(gè)相關(guān)的原則。第一個(gè)原則是進(jìn)行適當(dāng)?shù)膾伌u引玉。老師圍繞提出的問(wèn)題，可以先拋出一些相關(guān)的案例，給學(xué)生充分思考的時(shí)間，而不要急于將參考答案公布。法國(guó)大文豪伏爾泰說(shuō)得好“令人討厭的藝術(shù)就是把什么都說(shuō)了出來(lái)”[6]。例如，在講解多項(xiàng)式插值的龍格現(xiàn)象時(shí)，可以先舉例說(shuō)明二次插值比線性插值要精確，隨后提出問(wèn)題“是不是多項(xiàng)式插值的次數(shù)越高越好呢？”。從而引發(fā)學(xué)進(jìn)一步生的思考，再闡述龍格現(xiàn)象來(lái)進(jìn)行問(wèn)題的講解和回答。第二個(gè)原則是講究循序漸進(jìn)。老師在提出一系列的問(wèn)題時(shí)，要合理安排這些問(wèn)題的先后次序，尤其是對(duì)內(nèi)容的重點(diǎn)和難點(diǎn)，要由易到難形成一種“階梯”狀態(tài)，引導(dǎo)學(xué)生層層突破關(guān)卡，引領(lǐng)他們“拾階而上”。例如在講解求解線性方程組的直接法時(shí)，先提出求解二元一次線性方程組，相信學(xué)生這時(shí)候都會(huì)做，其實(shí)就是利用了高斯消去法，然后再推廣到求解一般的N階線性方程組的高斯消去法，讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)和理解高斯消去法的基本原理，就是將方程組的系數(shù)矩陣通過(guò)初等變換化成上三角矩陣。第三個(gè)原則是要總結(jié)反饋。老師對(duì)整個(gè)實(shí)施的過(guò)程需要進(jìn)行總結(jié)，并對(duì)學(xué)生的反應(yīng)要及時(shí)進(jìn)行反饋。美國(guó)心理學(xué)家貝蒙認(rèn)為，通過(guò)評(píng)定人們的行為能改變個(gè)體的自我知覺(jué)，從而影響個(gè)體態(tài)度的改變和行為方式的變化。對(duì)學(xué)生的積極參與和主動(dòng)學(xué)習(xí)要給予肯定和表?yè)P(yáng)，對(duì)在問(wèn)題分析或數(shù)值實(shí)驗(yàn)過(guò)程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤要及時(shí)指出。

4 結(jié)語(yǔ)

在問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法的實(shí)施過(guò)程中，老師是問(wèn)題的提出者、課程的設(shè)計(jì)者和結(jié)果的評(píng)估者。老師在課程講授的時(shí)候通過(guò)構(gòu)建“問(wèn)題鏈”，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，恰當(dāng)?shù)爻尸F(xiàn)問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)動(dòng)力，引導(dǎo)他們由“知”內(nèi)化為“識(shí)”，并付諸于“行”，讓他們積極主動(dòng)地參與教學(xué)。使得學(xué)生在分析和解決問(wèn)題的過(guò)程中，充分理解、吸收和掌握抽象的理論知識(shí)，鍛煉他們的實(shí)踐動(dòng)手能力和科研創(chuàng)新能力，進(jìn)一步提高課堂的教學(xué)效果。

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