苗成雙　熊悅希　付可馨　胡蘭月

【摘 要】本文主要研究的是針對(duì)標(biāo)槍的投擲運(yùn)動(dòng)中，不同因素對(duì)標(biāo)槍投擲距離的遠(yuǎn)近產(chǎn)生不同程度的影響。首先固定參數(shù)，建立線性回歸模型，得到標(biāo)槍的最佳出手速度、出手角、初始攻角等。然后建立二階常微分模型，求得標(biāo)槍的最優(yōu)飛行遠(yuǎn)度。最后，將各因素分類，進(jìn)行靈敏度分析，得到各因素對(duì)標(biāo)槍投擲距離影響的相對(duì)重要性排序，從大到小依次為：出手速度、出手角、風(fēng)速、初始俯仰角、攻角。

【關(guān)鍵詞】二階常微分模型;Matlab;擲標(biāo)槍的距離;線性回歸模型;SPSS

中圖分類號(hào)： O175.8 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A文章編號(hào)： 2095-2457（2019）30-0013-003

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.30.006

0 引言

擲標(biāo)槍是一項(xiàng)古老的田徑運(yùn)動(dòng)。標(biāo)槍投擲距離的遠(yuǎn)近與眾多因素有關(guān)，比如與標(biāo)槍的技術(shù)參數(shù)（標(biāo)槍的長(zhǎng)度、重量、重心的位置、幾何形狀、形心的位置等）有關(guān)，與運(yùn)動(dòng)員水平（出手的速度、出手高度、出手角、初始攻角、出手時(shí)標(biāo)槍的初始俯仰角速度等）有關(guān)，與比賽環(huán)境（風(fēng)力、風(fēng)向、空氣的密度與粘度等）有關(guān)。

1 參數(shù)的選取

設(shè)標(biāo)槍為剛體，槍身由鋁合金制成，其密度為2.7×103kg/m3，槍頭由合金鋼制成，其密度為7.8×103kg/m3。標(biāo)槍的幾何尺寸采用文獻(xiàn)【國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)】 GBT 22765-2008-標(biāo)槍中數(shù)據(jù)。為便于討論，假設(shè)運(yùn)動(dòng)員出手高度為，標(biāo)槍重量為且不考慮標(biāo)槍在飛行過(guò)程中的進(jìn)動(dòng)影響。空氣密度為1.184×10-3g/cm3，空氣粘度為1.84×10-15pa·s（帕·秒），進(jìn)行問(wèn)題探究。

2 模型建立

2.1 標(biāo)槍的投擲距離的模型建立

易知投擲標(biāo)槍的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條拋物線，如下圖拋物線所示：

圖1 標(biāo)槍投擲軌跡圖

由上圖建立模型[1]：

L=■[v■tanθ+■]

2.2 標(biāo)槍的運(yùn)動(dòng)軌跡模型建立

2.2.1 只考慮空氣阻力作用

我們考慮空氣阻力作用時(shí)標(biāo)槍的運(yùn)動(dòng)軌跡和受力情況，將標(biāo)槍所受到的空氣阻力分解為水平方向和豎直方向的兩個(gè)分力，即標(biāo)槍在水平和豎直方向的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程為：

m■=-fcosθm■=-fsinθ-mgf=6πηrV■

同時(shí)，我們已知兩組四個(gè)初始條件：

（1）t=0時(shí)，x=0，■=V■cosθ

（2）t=0時(shí)，x=0，■=V■sinθ

通過(guò)常微分方程的求解，我們可以得到空氣阻力作用下標(biāo)槍的運(yùn)動(dòng)方程[3]（考慮空氣阻力時(shí)標(biāo)槍作斜拋運(yùn)動(dòng)位置參數(shù)方程）為：

x=■（1-e■）y=（■+■）（1-e■）-■t

聯(lián)立上式，消去時(shí)間參數(shù)t即可得出標(biāo)槍在受到空氣阻力時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程：

y=tanθ+■x+■ln（1-■x）

2.2.2 考慮空氣阻力和風(fēng)速同時(shí)作用

考慮空氣阻力和風(fēng)速同時(shí)作用時(shí)的斜拋運(yùn)動(dòng)方程。需要通過(guò)對(duì)標(biāo)槍的受力進(jìn)行分析，列出微分方程。設(shè)風(fēng)速為Va。對(duì)物體受力分析后可列出二階常微分方程[4]：

-kV■=ma■-kV■=ma■

其中，V■=■，a■=■V■=■，a■=■

聯(lián)立解得如下，標(biāo)槍在受到空氣阻力和風(fēng)速同時(shí)作用時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程：

x=■mcosθ-■me■cosθ

y=（■+mg+V■ksinθ/k■）me■+（-V■-■）t+■m

2.4 各要素對(duì)標(biāo)槍投擲距離影響模型建立

在擲標(biāo)槍運(yùn)動(dòng)中，根據(jù)標(biāo)槍飛行的實(shí)際情況，標(biāo)槍的飛行遠(yuǎn)度應(yīng)取決于三個(gè)方面的因素。按各因素的重要程度排列其順序，它們分別是標(biāo)槍飛行的初始條件、標(biāo)槍的參數(shù)和天氣因素。

因此，要想判斷運(yùn)動(dòng)員出手速度、出手角、初始攻角、初始俯仰角速度、風(fēng)向及風(fēng)速等要素對(duì)標(biāo)槍投擲距離影響的相對(duì)重要性，需要對(duì)影響因素進(jìn)行靈敏度分析。模型建立如下：

σi=100%×■，（i=1，2，3，4）

其中，Δx■表示第i個(gè)因素變化而使得投擲距離變化，x表示原始投擲距離，σi表示第i個(gè)因素對(duì)投擲距離產(chǎn)生變化的變化率。

3 模型求解

3.1 投擲距離最大

要求當(dāng)投擲出手速度為30m/s時(shí)，對(duì)附表中24名運(yùn)動(dòng)員數(shù)據(jù)的分析選取出最佳出手角度區(qū)間為[35°，40°]，最佳的攻角為[-10°，5°]，在區(qū)間內(nèi)以0.3°為步長(zhǎng)，運(yùn)用迭代的思想編寫程序。流程圖如下所示：

圖2 最大投擲距離求解流程圖

運(yùn)行程序之后得到如下數(shù)據(jù)（部分）：

表1 以0.3為步長(zhǎng)迭代數(shù)據(jù)

最終得出手角42.7°，攻角為-3.3°時(shí)，投擲距離最大，最大投擲距離為：86.49m。

3.2 標(biāo)槍的投擲距離的模型求解

所以，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員投擲出手速度為31.70m/s，風(fēng)向分別為順風(fēng)和逆風(fēng)，風(fēng)速分別為3m/s、6m/s、9m/s時(shí)，我們采取同3.1的解決方案。最佳出手角度區(qū)間為[35°，40°]，最佳的攻角為[-7°，3°]，最佳初始俯仰角區(qū)間為[-5°，5°]，在區(qū)間內(nèi)以0.3°為步長(zhǎng)，運(yùn)用迭代的思想編寫程序，運(yùn)行程序得到在每個(gè)出手角、攻角、俯仰角下的投擲距離。并分情況討論順風(fēng)和逆風(fēng)環(huán)境，得到如表2。

3.3 各要素對(duì)標(biāo)槍投擲距離影響模型求解

3.3.1 出手角的靈敏度分析

由于本文上述模型可以求解出若干組以0.3為步長(zhǎng)進(jìn)行遍歷的數(shù)據(jù)集，所以再次利用模型求解出20組特定數(shù)據(jù)，再利用控制變量法求解出因變量“投擲距離x”的變化量或變化率即可完成對(duì)因素靈敏度的分析。將數(shù)據(jù)帶入模型中，求解出一組結(jié)果，如表3。

表3 出手角對(duì)投擲距離的影響的初始數(shù)據(jù)

根據(jù)上表數(shù)據(jù)，固定出手速度、風(fēng)速、攻角、俯仰角的值不變，以5%的變化量改變出手角的值，帶入模型求解出不同的投擲距離，進(jìn)而求得變化率。計(jì)算結(jié)果如表4（部分）。

表4 出手角對(duì)投擲距離影響及變化率

由表可知，變化率與出手角的成正比，投擲距離與俯仰角則成反比。出手角使得投擲距離變化的變化率為：

σ1=100%×■=■×100%=0.0077

3.3.2 出手速度的靈敏度分析

同上可得：

表5 出手速度對(duì)投擲距離影響及變化率

由表可知，變化率與出手速度的成反比，投擲距離與出手速度則成反比。出手速度使得投擲距離變化的變化率為：

σ2=100%×■=■×100%=0.0762

3.3.3 初始俯仰角的靈敏度分析

同上可得：

表6 初始俯仰角對(duì)投擲距離影響及變化率

由表可知，初始俯仰角與變化率成正比，俯仰角與投擲距離則成反比。初始俯仰角使得投擲距離變化的變化率為：

σ3=100%×■

=■×100%=-0.00029

3.3.4 風(fēng)速的靈敏度分析

同上可得：

表7 風(fēng)速對(duì)投擲距離影響及變化率

由表可知，風(fēng)速與變化率成反比，俯仰角與投擲距離則成正比。風(fēng)速使得投擲距離變化的變化率為：

σ4=100%×■=■×100%=0.0051

3.3.5 攻角的靈敏度分析

同上可得：

表8 攻角對(duì)投擲距離影響及變化率

由表可知，攻角與變化率成反比，攻角與投擲距離則成反比。攻角使得投擲距離變化的變化率為：

σ5=100%×■=■×100%=0.00025

結(jié)果分析：

表9 輸出結(jié)果

因此，各因素對(duì)標(biāo)槍投擲距離影響的重要性從大到小依次為：出手速度、出手角、風(fēng)速、初始俯仰角、攻角。

4 結(jié)語(yǔ)

本文中的模型不僅可以用于標(biāo)槍投擲問(wèn)題，還可以推廣到其他運(yùn)動(dòng)中。此外，還可以根據(jù)此來(lái)引導(dǎo)運(yùn)動(dòng)員的一些運(yùn)動(dòng)習(xí)慣，從而在訓(xùn)練和比賽中隊(duì)運(yùn)動(dòng)員和教練有一定的理論指導(dǎo)意義。

【參考文獻(xiàn)】

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