江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)汊河中學(xué) 張定成

江蘇省中考已經(jīng)落幕，翻開(kāi)各地市的中考試卷，命題精彩紛呈，這都是各地的有關(guān)專家集體智慧的結(jié)晶，在對(duì)試題進(jìn)行賞析之余，也領(lǐng)悟到了中考相關(guān)試題的內(nèi)涵，更精準(zhǔn)地對(duì)中考試題進(jìn)行研究.的確，江蘇省各地市的數(shù)學(xué)中考中，數(shù)學(xué)壓軸題變得越來(lái)越能體現(xiàn)學(xué)科素養(yǎng).然而，初中生的思維能力和邏輯推理能力水平是一定的，教學(xué)不可能年年都可以提升學(xué)生思維的敏捷性，這就造成了學(xué)生對(duì)壓軸試題的求解感到茫然.為此，筆者在翻閱了蘇州市中考數(shù)學(xué)試卷后，對(duì)壓軸題進(jìn)行具體分析和思考，將感悟流于筆端，期望在今后的教學(xué)實(shí)踐中激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究欲望，并借此機(jī)會(huì)搭建一個(gè)新課改背景下對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行研討的平臺(tái).

一、拜讀經(jīng)典，尋找壓軸試題的學(xué)科素養(yǎng)

打開(kāi)江蘇省蘇州市的數(shù)學(xué)中考試卷，試題既保持了各地市的統(tǒng)一難度，也體現(xiàn)了近年來(lái)試題的連續(xù)性，同時(shí)更多的是在知識(shí)載體不變的情況下考查的方式讓人耳目一新.

典例：已知矩形ABCD中AB=5cm，點(diǎn)P為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，且cm.如圖1，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，在矩形邊上沿著A→B→C的方向勻速運(yùn)動(dòng)（不包含點(diǎn)C）.設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），△APM的面積為S（cm2）.S與t的函數(shù)關(guān)系如圖2所示.

（1）直接寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度為_(kāi)________cm/s，BC的長(zhǎng)度為_(kāi)_______cm.

（2）如圖3，動(dòng)點(diǎn)M重新從點(diǎn)A出發(fā)，在矩形邊上按原來(lái)的速度和方向勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)，在矩形邊上沿著D→C→B的方向勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度為v（cm/s）.已知兩動(dòng)點(diǎn)M、N經(jīng)過(guò)時(shí)間x（s）在線段BC上相遇（不包含點(diǎn)C），動(dòng)點(diǎn)M、N相遇后立即同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，記此時(shí)△APM與△DPN的面積分別為S1（cm2）、S2（cm2）.

①求動(dòng)點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度v（cm/s）的取值范圍.

②試探究S1、S2是否存在最大值.若存在，求出S1·S2的最大值，并確定運(yùn)動(dòng)時(shí)間x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1

圖2

圖3

試題分析：（1）在圖1中，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，在矩形邊上沿著A→B→C的方向勻速運(yùn)動(dòng)（不包含點(diǎn)C），其運(yùn)動(dòng)過(guò)程有一個(gè)折點(diǎn)B；而圖2表示的是△APM的面積S（cm2）與t（s）的函數(shù)關(guān)系，先增大而后減小，最大值應(yīng)該在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)取得，故動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度為=2（cm/s），BC的長(zhǎng)度為（7.5-2.5）×2=10（cm）.

感悟反思：動(dòng)點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中構(gòu)成的函數(shù)最值一定是在折點(diǎn)處，不需要先寫(xiě)出函數(shù)表達(dá)式再進(jìn)行證明.假設(shè)、猜想建立在科學(xué)的觀察的基礎(chǔ)上，世界上沒(méi)有無(wú)緣無(wú)故的愛(ài)，這是自然學(xué)科的基本素養(yǎng).

（2）①因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)M、N相遇后停止運(yùn)動(dòng)，所以，兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離之和為AB+BC+DC=20（cm）.

再根據(jù)動(dòng)點(diǎn)M、N的運(yùn)動(dòng)速度分別是2cm/s、vcm/s，同時(shí)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間都是xs，可以列出方程式2x+vx=20，即v+2=

由題干可知?jiǎng)狱c(diǎn)M、N在線段BC上相遇（不包含點(diǎn)C），判斷5≤2x＜15，解得

感悟反思：本小題以相遇問(wèn)題為載體，考查了不等式的解法，尤其是將代入中，要注意不等號(hào)的變化，這是學(xué)生最容易忽視的地方.數(shù)學(xué)學(xué)科的素養(yǎng)在于對(duì)運(yùn)算過(guò)程的精準(zhǔn)掌握.

②（方法1）過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AD于點(diǎn)Q，PH⊥BC于點(diǎn)H.

PQ⊥AD，∠ADC=90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出PQ∥CD，于是由對(duì)應(yīng)邊成比例得到.則PQ=2，AQ=4，進(jìn)而得到PH=3，DQ=6.

動(dòng)點(diǎn)M、N在線段BC上相遇（不包含點(diǎn)C），則：

于是有：S1·S2=（-2x+15）×2x，所以，當(dāng)-2x+15=2x，即時(shí)，S1·S2有最大值

（方法2）過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AD于點(diǎn)Q，PH⊥BC于點(diǎn)H.

可知AD=10（略去單位，下同），CD=5，得到AC=5

PQ⊥AD，∠ADC=90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出PQ∥CD，于是由對(duì)應(yīng)邊成比例得到.則PQ=2.

動(dòng)點(diǎn)M、N在線段BC上相遇（不包含點(diǎn)C），則S1+S2=，故S2=15-S1.

S1·S2=（15-S1）×S1，當(dāng)15-S1=S1，即S1=時(shí)，S1·S2有最大值

感悟反思：本小題以求三角形面積和的最值為出發(fā)點(diǎn)，考查三角形面積的求解方法和求二次函數(shù)的最值的方法，方法是多種多樣的，學(xué)生可以自由選擇.在這里，二次函數(shù)的最值是當(dāng)分解成兩個(gè)因式（或因數(shù)），兩個(gè)因式（或因數(shù)）相等時(shí)，其因式（或因數(shù)）的積最大，這使試題解析更加簡(jiǎn)便.這正是數(shù)學(xué)發(fā)散思維的核心素養(yǎng)的運(yùn)用.

二、思考經(jīng)典，反思?jí)狠S試題的學(xué)科素養(yǎng)

通過(guò)以上中考中壓軸試題的案例分析，得出要求學(xué)生綜合能力強(qiáng)，數(shù)學(xué)壓軸試題盡顯學(xué)科素養(yǎng).這就要求在中考備考中，讓學(xué)生無(wú)所畏懼，壓軸試題也是常規(guī)試題，只不過(guò)綜合性較強(qiáng)，所要解答的問(wèn)題也是循序漸進(jìn)的.本案例給出的蘇州市中考試題，通過(guò)對(duì)下一屆部分學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查發(fā)現(xiàn)，基本上都可以得到5分以上的分?jǐn)?shù).所以，作為一線教師，在今后的教育教學(xué)實(shí)踐中，必須扎實(shí)、穩(wěn)定地進(jìn)行素質(zhì)教育，體現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為基礎(chǔ)的教育性理念，“教師下題海，學(xué)生上題舟”，減輕學(xué)業(yè)上的負(fù)擔(dān)，在注重基礎(chǔ)的教學(xué)上選擇一些針對(duì)性的訓(xùn)練，讓學(xué)生自主掌控相關(guān)的數(shù)學(xué)概念，達(dá)到新課標(biāo)的基本標(biāo)準(zhǔn).

另一方面，本案例不僅是對(duì)學(xué)生進(jìn)行運(yùn)算能力上的考查，也是對(duì)他們的思維能力進(jìn)行考查，尤其是對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算靈活性和釋疑問(wèn)題的能力進(jìn)行考查，充分說(shuō)明了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要性.因此，在今后的課堂實(shí)踐中，要以靈活性、理解力的培養(yǎng)為關(guān)鍵環(huán)節(jié)，設(shè)計(jì)出一些有針對(duì)性的問(wèn)題，少做一些煩瑣的題目.針對(duì)性練習(xí)題的立意要新，旨在發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和發(fā)散能力.只有這樣才能提升學(xué)生的綜合素養(yǎng).

一道試題只能是管中窺豹，但是對(duì)試題的再次分析、研究，使筆者悟出有必要對(duì)中考?jí)狠S試題的創(chuàng)新精神進(jìn)行推廣.也希望能同更多的同人一起挖掘出2019年各地市中考題的創(chuàng)新點(diǎn)，回放壓軸題設(shè)計(jì)過(guò)程中立意的新穎點(diǎn)、能力的精彩點(diǎn).