江蘇省泗陽縣眾興中學(xué) 周同虎

中考復(fù)習(xí)階段，以二次函數(shù)的圖像（拋物線）為背景的綜合題困擾著很多學(xué)生，也是專題復(fù)習(xí)的一個熱點課題.本文整理近期開設(shè)的一節(jié)以拋物線為背景的綜合題專題復(fù)習(xí)課，記錄課例的打磨過程，并跟進(jìn)反思，供研討.

一、以拋物線為背景的專題復(fù)習(xí)課例概述

說明：為了有助于更多年輕教師看到課例的原貌與打磨后的課堂記錄，我們將一些備課初稿一并呈現(xiàn)，并簡述組內(nèi)打磨意見，再記錄課堂生成的一些片段.

問題1：如圖1，已知直線與拋物線相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點.求：

圖1

（1）x1x2；

（2）y1y2.

組內(nèi)打磨：這是封閉式問題，可以改為開放式問題，請同學(xué)們提出兩個問題，并解答；然后小組內(nèi)交流，再全班匯報.教師要充分預(yù)設(shè)學(xué)生可能提出的問題，不只是“（1）x1x2；（2）y1y2”，如果學(xué)生沒有提到這兩個乘積式，教師可通過追問，引導(dǎo)學(xué)生得出這兩個乘積式.這個環(huán)節(jié)，預(yù)計學(xué)生獨立思考3分鐘，小組交流2分鐘，全班匯報，教師追問或點評5～8分鐘，預(yù)計13分鐘以內(nèi).

打磨后課堂實錄：

師：同學(xué)們根據(jù)問題1的“題干”，能設(shè)計出哪些題目？請以小組為單位，看哪個小組設(shè)計得又多又好，并能說出其解法.

教師查看每個小組的活動情況，并由學(xué)生將小組內(nèi)不同的問題呈現(xiàn)到黑板上.

生1：①求A、B兩點的坐標(biāo)；②求AB的長；③求S△ABO；④求∠AOB的度數(shù).

師：很好，請同學(xué)們分別說出這些問題的解決方法.

生2：對于①，聯(lián)立方程得一元二次方程.求出點A（3，1）、B（-27，81）.對于②，用距離公式求出AB的長.對于③，用割補(bǔ)法，可以用鉛直高乘水平寬，或者補(bǔ)成梯形，用梯形面積減去兩個直角三角形的面積.對于④，∠AOB的度數(shù)為90°，由點A（3，1）、B（-27，81）可以求出OB2、OA2、AB2，則OB2＋OA2=AB2，從而得到∠AOB=90°.

師：同學(xué)們回答得都很好，老師這兒有兩個問題：求x1x2和y1y2，同學(xué)們能求出來嗎？

生3：可以將求得的x1、x2的值直接代入求值，再將其值代入求出y1、y2的值.

生4：可以用整體思想，聯(lián)立方程得一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出x1x2的值為-81，然后代入拋物線方程求得y1y2=

師：請一名學(xué)生重復(fù)剛才的思路.同學(xué)們可以思考一下：能否將x1、x2代入直線，求得y1y2？同學(xué)們下課后可以試試.現(xiàn)在我們將其一般化，過渡到“問題2”，請同學(xué)們觀察問題2與問題1的不同.

問題2：直線y=-kx＋9與拋物線y=相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點.求y1y2.

組內(nèi)打磨：問題2的設(shè)問是“封閉式”，仍然可以將“求y1y2”刪去，繼續(xù)改為開放式問題，追求開放的數(shù)學(xué)教學(xué).

刪減問題后，課堂記錄如下：

師：請同學(xué)們對比下，問題2與問題1有什么不同？

生：（齊）問題1中直線的斜率k確定，而問題2中直線的斜率k不確定.

師：同學(xué)們剛才基于“問題1”提出的一些問題還能解決嗎？說出理由.

生1：①不能，因為不知道k的值，聯(lián)立的一元二次方程不可以求解.②不能.③不可以，因為面積等于鉛直高乘水平寬，鉛直高定，水平寬不定.④可以，同樣可以用勾股定理的逆定理得到∠AOB為90°.

師：證明直角還有其他方法嗎？

生2：還可以作垂直，構(gòu)造相似.

生3：可以利用整體思想求得k1k2=-1，從而得到∠AOB=90°.

師：那如何求y1y2呢？

生4：可以用整體思想，聯(lián)立方程得一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出x1x2的值為-81，然后代入拋物線方程求得

生5復(fù)述步驟.

師：通過剛才“問題1”“問題2”的研究，同學(xué)們思考一下：直線y=kx+b和拋物線y=ax2的交點的縱坐標(biāo)y1、y2的積y1y2有什么特點.

生：y1y2的值只與直線y=kx+b和拋物線y=ax2中的b和a有關(guān).

師：很好，同學(xué)們課后還可繼續(xù)深入探究：a、b之間會滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？我們繼續(xù)研究下面的“問題3”.

問題3：如圖2，直線y=kx＋8與拋物線y=x2相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點.

（1）小智同學(xué)認(rèn)為點（y1，y2）一定在反比例函數(shù)的圖像上.你覺得小智正確嗎？為什么？

圖2

（2）求證：x1·OB＋y2·OA=0.

生1：聯(lián)立方程得一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出x1x2的值為-64，然后代入拋物線方程求得y1y2=說明小智的發(fā)現(xiàn)是正確的.

師：回答得很好，大家獨立挑戰(zhàn)第（2）問.

教師在巡視過程中找到學(xué)生的如下解法（如圖3），講評時先投影這種解法，再請這個學(xué)生講解他的思路.

圖3

師：他的方法有問題嗎？你們有沒有看懂？

生：（多名學(xué)生）不對.

師：錯在哪兒？如何改正？

生2：默認(rèn)了∠AOB，必須證明∠AOB=90°.

師：證明直角可以用哪些方法？

生3：勾股定理的逆定理，構(gòu)造相似（一線三垂直），k1k2=-1.

師：（板書）好，哪名同學(xué)來講解這道題的具體思路？

生4：由x1x2=-64，y1y2=64，得x1x2=-y1y2，將數(shù)值轉(zhuǎn)化為線段的長度可得：OM·ON=AM·BN，即.又∠AMO=∠ONB=90°，則即OM·OB=BN·AO，則-x1·OB=y2·OA，即x1·OB＋y2·OA=0.

師：很好.布置一道課后作業(yè)，請同學(xué)們練習(xí)今天復(fù)習(xí)內(nèi)容的變式問題.

變式再練：如圖4，平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=kx＋2028與頂點為C的拋物線＋2019相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點.

圖4

（1）求證：點（y1-2019，y2-2019）在反比例函數(shù)y=的圖像上；

（2）小慧提出問題：若等式x1BC＋y2AC=mAC恒成立，則實數(shù)m的值為2019，請通過演算分析小慧提出的問題是否正確.

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

1.精心留白設(shè)問，從封閉走向開放

從上面整理的課例看出，我們對問題1、問題2原有設(shè)問都進(jìn)行了留白式設(shè)計，使得上課時學(xué)生學(xué)習(xí)熱情高漲，學(xué)生從問題條件出發(fā)，進(jìn)行了有深度的探究、組內(nèi)交流研究、大組匯報展示.這樣的解題教學(xué)就從封閉式走向了開放式，學(xué)生的參與熱情得到激發(fā)，思維也更多地被卷入數(shù)學(xué)問題之中.這事實上也就是鄭毓信教授倡導(dǎo)的用開放題驅(qū)動開放式教學(xué)的一次積極實踐.

2.重視生成資源，引導(dǎo)辨析與究錯

由于問題開放，學(xué)生在課堂上的精彩生成也就多了，這時教師作為學(xué)程的組織者，要善于駕馭課堂，及時捕捉生成性資源，并用好這些生成性資源，讓更多的學(xué)生參與辨析與究錯.比如，上面課例中，我們就在巡視過程中收集了一種學(xué)生的典型錯誤解法，投影展示之后讓學(xué)生參與究錯，找出“想當(dāng)然”的一種錯誤，使得學(xué)生的錯誤資源成為教學(xué)素材，當(dāng)然，這也正是小學(xué)數(shù)學(xué)著名特級教師華應(yīng)龍老師倡導(dǎo)的“化錯教育”.