浙江省杭州市豐潭中學 吳菊云

一、初中數(shù)學二次函數(shù)圖像教學中存在的問題

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中提到的函數(shù)、數(shù)形結合、模型等重要內容、方法、思想是需要學生經(jīng)歷較長的認識過程，逐步理解和掌握的.函數(shù)性質建立在函數(shù)概念上，從直觀到抽象，從模糊到清晰逐漸深入，知識的掌握和運用，也是從簡單到復雜，從單一到綜合.雖然八年級時已經(jīng)學了一次函數(shù)和反比例函數(shù)，但大部分學生還是會說難，不會做，對函數(shù)是什么，學了有什么用，為什么要畫函數(shù)圖像不明確.

經(jīng)過調查分析后，我總結出原因有三：其一，函數(shù)及其圖像的概念模糊，三種表達方式彼此間孤立無聯(lián)，對一個函數(shù)沒有形成有機的整體的理解；其二，對函數(shù)圖像的構建過程缺少充分的體驗；其三，對數(shù)形結合這一重要學習方法的學習不得要領.針對成因，我在二次函數(shù)的圖像的教學中大膽嘗試，改進教學方式，提出了“六步法”有效教學策略.

二、六步法概念解析

教學中教師發(fā)現(xiàn)，畫函數(shù)圖像的第一步驟“列表”很難發(fā)揮出它的作用，致使“數(shù)”與“形”割裂.我認為，對新函數(shù)的性質的探究中，最原始的起點也是最重要的方法是“邊取值邊描點”，數(shù)形相結合地畫出函數(shù)圖像.而“列表”是在函數(shù)圖像和解析式之間架起的一座橋梁，應該把它放在一個更需要它發(fā)揮作用的位置，因此我創(chuàng)新了探究函數(shù)圖像與解析式的關系的“六步法”，如圖1所示.

圖1

三、六步法二次函數(shù)圖像有效教學的實踐

（一）夯實六步法基礎：函數(shù)與函數(shù)的圖像的概念理解

1.重新審視函數(shù)的意義，使學生充分認識函數(shù)

（1）函數(shù)的定義：設在某一變化過程中有兩個變量x、y，如果對于x在某一范圍內的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應，那么就稱y是x的函數(shù)，x叫作自變量.也就是說：變量y，以某一種方式依賴于變量x，即當變量x在某一范圍內變化時，變量y也隨著變化，并且有唯一確定的值和它對應.核心詞：“變化、對應、唯一確定”.y是x的函數(shù)描述的是兩個變量之間的變化關系，通俗地理解為：“y跟著x變而變，且能被x確定.”

（2）細讀精講概念中的核心詞.九年級學生已經(jīng)有函數(shù)學習的經(jīng)歷，再加上認知水平的發(fā)展，教師講解核心詞“y跟著x變而變”，再舉實例講述函數(shù)的概念，讓學生從中感悟.實例：勻速運動的行程問題中s=vt.

（Ⅰ）當以60千米/時勻速運動時，路程s=60t隨時間的變化而變化；

（Ⅱ）當用時為2小時不變時，路程s=2v隨所選速度大小的變化而變化；

當其中一個是常量時，另外兩個變量的對應關系，都可以看作任意一個跟著另一個的變而變.生活中隨處可見變量和它們的函數(shù)關系.

（3）“能被x確定”.

對函數(shù)概念中“唯一確定”這一要素必須要強調解釋.

函數(shù)是學生比較難理解和掌握的數(shù)學概念之一，在教學中，教師精講核心詞，輔以貼近生活、通俗易懂的實例，讓學生再次經(jīng)歷概念的概括，從中感悟.

2.強化函數(shù)圖像的意義，破譯數(shù)形聯(lián)系的“密碼”

畫函數(shù)圖像的關鍵是理解數(shù)和形是怎樣聯(lián)系的：給出一組自變量和函數(shù)的值在坐標系中，橫軸表示自變量，縱軸表示函數(shù)，相應地描出橫坐標為a、縱坐標為b的點（a，b），反過來，點（a，b）的意義就是當自變量x=a時，對應的函數(shù)值y=b.

例如，氣溫報告的截圖中，橫坐標代表時間，即自變量的值，縱坐標為對應的氣溫，即函數(shù)值.縱坐標代表對應的氣溫，如果當天14時的氣溫為26℃，那么就用點（14，26）來表示；反過來，點（14，26）的實際意義是當天14時的氣溫為26℃.

然后，教師指導學生進行練習，反復多練幾組，體驗數(shù)和形的聯(lián)系，進行強化.師生總結：數(shù)形聯(lián)系的破譯“密碼”為點（a，b）.

實際作圖時，點描得越多，越接近真實的圖像.函數(shù)圖像的產(chǎn)生將數(shù)量關系直觀化、形象化，提供了數(shù)形結合研究問題的重要方法.

（二）六步法探究y=ax2型二次函數(shù)圖像，數(shù)形聯(lián)系“密碼”畫圖像

二次函數(shù)y=ax2的圖像教學重點是選擇適當?shù)淖宰兞康闹岛拖鄳暮瘮?shù)值來畫函數(shù)圖像，該過程是本節(jié)課教學的難點.在具體操作過程中，要考慮：第一個該取多大的值呢？第二個、第三個呢？它們得從小到大依次排列在表格中，那么相鄰兩組值的間距取多少合適？如果能繼續(xù)取下去，那么取到多少個值時能了解到圖像的整體？要解決上述困難，需要引導學生分析解析式的特征，判斷這些取值的合理性.學生在取值的過程中，對如何通過“值與點”對應畫函數(shù)圖的教學重點聚焦不足.為此，筆者采取了六步法探究y=ax2型二次函數(shù)的圖像，使用數(shù)形聯(lián)系的“密碼”畫圖像.

例如，畫解析式最簡單的二次函數(shù)y=x2的圖像.

（1）教師自制的網(wǎng)格坐標系中，由學生自由發(fā)揮，去計算出各組x、y的對應值，進行“描點”.沒有任何限制地開放式取點，學生自然會思考如何取點計算方便，更易描點，發(fā)現(xiàn)取整計算方便，點描得越多越準確.取絕對值小的x的值，90%以上學生都能完整地畫出二次函數(shù)y=x2的頂點和對稱點，從而發(fā)現(xiàn)圖像的對稱性.

圖2

（2）連接各點，解惑釋疑.

此時他們實際遇到的困難是：如圖2，①當（2，4）和（3，9）兩點距離比較遠的時候，不好判斷這兩點之間的點的走向，在連接各點時增加了難度.這時，師生一起討論得出，可以在兩點之間再選取（2.5，6.25），同理，（3，9）和（4，16）之間可以再選?。?.5，12.25），…，根據(jù)需要選取出更多處在中間位置的點.

②連接頂點和與它相鄰的兩點時，學生可能會用線段連接，教師鼓勵他們在頂點和相鄰點之間再取一點（0.5，0.25）驗證看看.

③學生通過自己的計算，描出了9個甚至以上的點，再進行歸納、合情推理，得到了一條光滑曲線，即二次函數(shù)的圖像是一條拋物線.

“描點”時，學生直接使用數(shù)形聯(lián)系的“密碼”，“邊取值，邊描點”“邊描點，邊取值”，體驗“數(shù)值和點”的一一對應，實踐數(shù)形結合的思想方法，化繁為簡，突出重點.

課堂上，教師尤其要注重圖建構的過程，引導學生經(jīng)歷一個動手、動腦、觀察、歸納、分析、綜合、抽象、概括的形成過程，主動獲取知識的過程需要保障學生有更多、更充足的時間去經(jīng)歷和體驗.

（三）六步法探究a不變時圖像平移規(guī)律和解析式的關系

1.六步法研究二次函數(shù)y=ax2+k 的圖像

以y2=為例.

（1）學生“邊取值、邊描點”，畫出y1=的圖像.

（2）觀察直觀的圖像特征，得：y1的圖像向上平移3個單位的圖像.

（3）由圖像特征聚焦到點的位置特征，即y1圖像上的每一點圖像上的對應點.

（4）“列表”，觀察表中的數(shù)據(jù)特征來驗證點的位置.

找出你剛才描出的兩個函數(shù)的幾對對應點，列表分析各對對應點的坐標特征.

圖3

表1

（5）探索表中數(shù)據(jù)的特征和解析式的關系.

當x的值相同時，y2總比y1大3解析式中的常數(shù)項k2-k1=3.

（6）綜合圖像和解析式的關系.

y1的圖像的圖像解析式中的常數(shù)項|k2-k1|=3.

類比得出：y3=的圖像可由的圖像向下平移3個單位得到.最后總結a不變時，函數(shù)圖像平移規(guī)律和解析式的關系：

2.六步法研究二次函數(shù)y=a（x+m）2的圖像

與上下平移規(guī)律類比，得出圖像左右平移規(guī)律和解析式常系數(shù)的關系.

繼續(xù)畫出y4=（x+2）2的圖像，與上下平移規(guī)律類比，不同之處有以下幾點：

步驟1，學生在畫函數(shù)y4=（x+2）2的圖像時，可能會意識不到x怎樣取值能得到對稱點，所以會出現(xiàn)拋物線不對稱的情況，教師可引導學生思考這一現(xiàn)象產(chǎn)生的原因，補全圖形.

圖4

表2

歸納總結，提升數(shù)形結合思想：經(jīng)歷了y=ax2+k和y=a（x+m）2圖像的建構過程，學生對拋物線的對稱性和平移規(guī)律在“數(shù)和形”兩個角度有了更深的理解.

圖像上每一個點的坐標，是由代入解析式計算得到的每一組x、y的值所決定的，故當a不變時，拋物線的平移位置反映出了二次函數(shù)頂點式中的常系數(shù)，反過來，頂點式中的常系數(shù)決定了拋物線的平移位置.

3.利用六步法的成果，研究二次函數(shù)y=a（x+m）2+k的圖像

綜合以上二次函數(shù)圖像上下、左右平移規(guī)律和解析式常系數(shù)的關系，研究y=a（x+m）2+k的圖像，只需直接根據(jù)解析式得到頂點坐標（-m，k），再把拋物線的平移化歸為頂點的平移即可.

四、結束語

綜上所述，六步法在初中數(shù)學二次函數(shù)圖像的教學中有著顯著的教學效果，通過破譯數(shù)形聯(lián)系的“密碼”，運用六步法，對二次函數(shù)的圖像數(shù)形結合學習有了清晰的理解.“六步法”是教師多年教學活動中的探索，在今后的教學中將繼續(xù)打磨，以期更臻成熟.