杜金香, 許恒博, 祝 鵬

一種角度加權(quán)的最小二乘目標(biāo)定位算法

杜金香, 許恒博, 祝 鵬

(西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院, 陜西 西安, 710072)

在基于波達(dá)方向估計(jì)(DOA)的多傳感器節(jié)點(diǎn)目標(biāo)三維空間定位算法中, 當(dāng)目標(biāo)與傳感器節(jié)點(diǎn)處于不同深度時(shí), 定位原理決定了不同的俯仰角誤差將導(dǎo)致不同的定位誤差, 特別是當(dāng)傳感器與目標(biāo)接近于同一平面，即俯仰角接近90°時(shí), 較小的俯仰角誤差將引起非常大的定位誤差。為了解決該問題, 論文提出在最小二乘定位算法中, 根據(jù)不同俯仰角進(jìn)行加權(quán)的方法, 降低俯仰角估計(jì)值接近90°的節(jié)點(diǎn)分量在定位方程中的貢獻(xiàn), 減少俯仰角估計(jì)誤差對(duì)綜合定位精度的影響, 提高定位算法對(duì)俯仰角估計(jì)誤差的穩(wěn)健性。文中對(duì)單個(gè)目標(biāo)的定位進(jìn)行了計(jì)算機(jī)仿真, 對(duì)比了某些節(jié)點(diǎn)深度與目標(biāo)接近情況下加權(quán)最小二乘算法和最小二乘算法的定位性能, 仿真結(jié)果說明當(dāng)參與定位的部分節(jié)點(diǎn)與目標(biāo)深度接近時(shí), 所提加權(quán)最小二乘算法對(duì)目標(biāo)位置的估計(jì)均方根誤差低于最小二乘算法, 具有更高的定位精度和穩(wěn)健性。

傳感器; 目標(biāo)定位; 最小二乘; 加權(quán)最小二乘; 波達(dá)方向估計(jì)

0 引言

在眾多水下無線傳感器網(wǎng)絡(luò)的定位算法中,根據(jù)在定位過程中有無利用距離信息可將定位算法分為基于測(cè)距的定位算法和無需測(cè)距的定位算法, 其中基于測(cè)距的定位算法精度較高[1-2]?；跍y(cè)距的定位算法包括基于到達(dá)時(shí)間法(time of arrival, TOA)、基于到達(dá)時(shí)間差法(time different of arrival, TDOA)、基于波達(dá)方向估計(jì)(direction of arrival, DOA)以及基于接收強(qiáng)度(received signal strength, RSS)等的定位算法[3-8]。其中, 基于DOA的定位算法由于對(duì)時(shí)間同步的要求低并且可以工作在被動(dòng)接收狀態(tài)下, 非常適用于對(duì)非合作目標(biāo)的定位。Wang等[6]推導(dǎo)了基于DOA的最大似然定位方法, 將角度估計(jì)值視為高斯分布的隨機(jī)變量, 通過搜索似然函數(shù)的最大值估計(jì)目標(biāo)的位置, 但僅給出了二維空間中目標(biāo)的定位算法。徐濟(jì)仁等[7]利用多節(jié)點(diǎn)測(cè)向信息采用最小二乘法進(jìn)行目標(biāo)定位, 但僅適用于二維平面的目標(biāo)。倪忠德等[8]利用泰勒展開將非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng), 并將各平臺(tái)的量測(cè)誤差作為權(quán)值引入到估計(jì)方程中, 利用最小二乘法進(jìn)行定位, 缺點(diǎn)是忽略了非線性觀測(cè)方程中的高階特性, 因此定位精度不高。富森等[9]從非線性估計(jì)出發(fā), 提出了基于牛頓迭代的最小二乘估計(jì)算法，保留了2階甚至更高階的觀測(cè)誤差, 提高了定位精度, 改善了定位結(jié)果的穩(wěn)定性, 但僅給出了二維平面內(nèi)的結(jié)果。金磊磊等[10]推導(dǎo)了三維空間中基于角度信息的點(diǎn)最小二乘目標(biāo)定位方法, 并嘗試融合TDOA和DOA 2種模態(tài)信息提高定位性能, 但是在最小二乘解中需要計(jì)算俯仰角的正切值, 而由于正切函數(shù)在90°附近的高度非線性導(dǎo)致較小的角度估計(jì)誤差引起較大的正切值誤差, 從而導(dǎo)致某些節(jié)點(diǎn)與目標(biāo)位于相同或者相近深度時(shí)定位性能迅速下降。文中提出一種基于DOA量測(cè)值的加權(quán)最小二乘算法, 試圖通過對(duì)不同節(jié)點(diǎn)的參數(shù)施加不同的加權(quán)系數(shù), 降低算法對(duì)俯仰角誤差的敏感性,提高算法的魯棒性。

1 基于DOA的最小二乘定位方法

則目標(biāo)角度信息和陣列節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)之間滿足如下的幾何關(guān)系

圖1 目標(biāo)與傳感器陣列節(jié)點(diǎn)之間的位置關(guān)系

經(jīng)過推導(dǎo), 得到[8]

三維空間中基于DOA估計(jì)的目標(biāo)位置最小二乘解[10]如下

以上最小二乘解適用于傳感器陣列節(jié)點(diǎn)與目標(biāo)位于不同深度的情況, 此時(shí)俯仰角的正切值為有限大小。當(dāng)某個(gè)或某幾個(gè)傳感器陣列節(jié)點(diǎn)與目標(biāo)位于同一深度或者深度接近, 從而導(dǎo)致俯仰角等于或接近90°, 此時(shí), 較小的角度估計(jì)誤差即可導(dǎo)致俯仰角估計(jì)值的正切有較大的誤差, 從而導(dǎo)致出現(xiàn)較大的定位誤差, 定位性能下降。因此文中提出一種加權(quán)最小二乘方法, 對(duì)于俯仰角估計(jì)值接近90°的節(jié)點(diǎn)參數(shù), 令其在整個(gè)定位方程中的權(quán)重較小, 從而減少該節(jié)點(diǎn)俯仰角正切值誤差對(duì)整體定位性能的影響。

2 基于角度加權(quán)的最小二乘定位算法

因此對(duì)于較小的角度估計(jì)誤差, 當(dāng)真實(shí)角度值越接近90°, 其正切值的估計(jì)誤差越大, 即在90°附近的較小的俯仰角估計(jì)誤差即可能引起巨大的正切值估計(jì)誤差。當(dāng)=0.01°時(shí), 與角度的關(guān)系如圖2所示。

因此提出一種加權(quán)最小二乘算法, 控制俯仰角度值接近90°時(shí)其正切值誤差的負(fù)面影響。

將估計(jì)殘差記為

則優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)可以寫作

式中,為加權(quán)矩陣。通常加權(quán)矩陣應(yīng)為正定矩陣, 選擇為對(duì)角陣, 其第2-1和2個(gè)對(duì)角線元素對(duì)應(yīng)第個(gè)節(jié)點(diǎn)參量加權(quán)值

對(duì)于俯仰角估計(jì)值, 如果有

基于角度加權(quán)的最小二乘定位算法實(shí)現(xiàn)步驟歸納如下: 1)各個(gè)節(jié)點(diǎn)分別估計(jì)目標(biāo)的方位角和俯仰角; 2) 根據(jù)俯仰角估計(jì)值的大小, 利用式(10)和式(12)設(shè)計(jì)加權(quán)矩陣; 3) 根據(jù)式(4)和式(5)計(jì)算系數(shù)矩陣和; 4) 根據(jù)式(13)計(jì)算目標(biāo)位置的加權(quán)最小二乘解。

3 數(shù)字仿真和性能比較

進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真試驗(yàn), 比較基于角度信息的最小二乘方法和加權(quán)最小二乘方法的性能。

試驗(yàn)1: 邊長1 km的正方形空間中隨機(jī)布置6個(gè)傳感器陣列, 目標(biāo)深度100 m, 所有傳感器的深度均在0~50 m范圍內(nèi), 傳感器陣列節(jié)點(diǎn)對(duì)目標(biāo)的角度估計(jì)誤差假設(shè)服從高斯分布, 其標(biāo)準(zhǔn)差在0.05~0.5之間取值, 每一種誤差分布情況下進(jìn)行1 000次蒙特卡羅試驗(yàn), 分析2種定位方法對(duì)目標(biāo)位置坐標(biāo)估計(jì)的均方根誤差, 結(jié)果如圖3所示。

圖3 無節(jié)點(diǎn)位置擾動(dòng)時(shí)均方根誤差比較(所有節(jié)點(diǎn)深度與目標(biāo)深度差別較大)

由圖3可以看出, 當(dāng)傳感器陣列節(jié)點(diǎn)的深度與目標(biāo)深度差別較大的情況下, 基于角度估計(jì)信息的最小二乘法和加權(quán)最小二乘法估計(jì)性能幾乎相同, 這是由于此時(shí)的值退化為單位陣, 加權(quán)最小二乘法退化為最小二乘法。

試驗(yàn)2: 在試驗(yàn)1條件基礎(chǔ)上, 改變其中2個(gè)傳感器陣列節(jié)點(diǎn)的深度, 使其與目標(biāo)深度接近, 其余條件不變, 分析2種定位方法對(duì)目標(biāo)位置坐標(biāo)估計(jì)的均方根誤差, 結(jié)果如圖4所示。

由圖4可以看出, 當(dāng)某些節(jié)點(diǎn)深度與目標(biāo)深度接近時(shí), 加權(quán)最小二乘方法可以獲得更小的估計(jì)均方根誤差, 其定位性能優(yōu)于最小二乘法。

圖4 無節(jié)點(diǎn)位置擾動(dòng)時(shí)RMSE比較(某2個(gè)節(jié)點(diǎn)深度與目標(biāo)深度接近)

圖5 節(jié)點(diǎn)位置擾動(dòng)情況下2種方法的RMSE比較

由圖5可以看出, 當(dāng)節(jié)點(diǎn)位置存在誤差時(shí), 2種算法的定位均方根誤差都有隨著節(jié)點(diǎn)位置誤差增大而增大的趨勢(shì), 定位性能下降。但是加權(quán)最小二乘方法的綜合定位誤差明顯小于最小二乘法。

綜合以上仿真試驗(yàn)結(jié)果可以看出, 采用加權(quán)最小二乘算法可以提高某些節(jié)點(diǎn)與目標(biāo)深度相近情況下對(duì)俯仰角估計(jì)誤差和節(jié)點(diǎn)位置誤差的魯棒性。

4 結(jié)束語

采用多個(gè)傳感器陣列節(jié)點(diǎn)對(duì)目標(biāo)角度的估計(jì)值對(duì)目標(biāo)位置進(jìn)行估計(jì), 針對(duì)某個(gè)或某幾個(gè)節(jié)點(diǎn)與目標(biāo)深度接近時(shí)最小二乘法對(duì)俯仰角誤差極度敏感的問題, 提出一種根據(jù)俯仰角估值大小進(jìn)行加權(quán)的最小二乘定位算法, 提高算法對(duì)俯仰角誤差的穩(wěn)健性。對(duì)單個(gè)目標(biāo)的定位進(jìn)行了計(jì)算機(jī)仿真, 對(duì)比了某些節(jié)點(diǎn)深度與目標(biāo)接近情況下加權(quán)最小二乘算法和最小二乘算法的定位性能, 仿真結(jié)果說明當(dāng)部分節(jié)點(diǎn)與目標(biāo)深度接近時(shí)所提加權(quán)最小二乘算法的穩(wěn)健性更優(yōu)。

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An Angle Weighted Least Squares Algorithm for Target Localization

DU Jin-xiang, XU Heng-bo, ZHU Peng

(School of Marine Science and Technology, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)

In the three-dimensional localization algorithm based on direction-of-arrival(DOA), the target’s location errors are sensitive to the estimation errors of pitching angles, especially when the sensor array nodes are almost in the same horizontal plane with the target. In other words, the location errors are highly sensitive to the pitching angle errors when the pitching angles are close to 90°. To solve the sensitivity problem, a weighted least squares method is proposed in this paper. Small weighting factor is chosen for those sensor array nodes with large pitching angle estimation to decrease the impact of pitching angle estimation error and to increase robustness of the method. Furthermore, the performance of the weighted least squares method is analyzed via numerical simulation. Simulation results show that the present weighted least squares method has better robustness over DOA estimation errors and disturbance of the sensor array nodes than ordinary least squares method.

sensor; target localization; least square; weighted least square; direction-of-arrival(DOA)

TJ630.34; TB566; TN911.73

A

2096-3920(2019)05-0570-04

10.11993/j.issn.2096-3920.2019.05.013

杜金香, 許恒博, 祝鵬. 一種角度加權(quán)的最小二乘目標(biāo)定位算法[J]. 水下無人系統(tǒng)學(xué)報(bào), 2019, 27(5): 570-573.

2018-12-21

2019-02-20.

國家自然基金項(xiàng)目資助(61301197); 西北工業(yè)大學(xué)中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)基礎(chǔ)研究基金(1069920140011); 水下信息與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金(614221801040217).

杜金香(1977-), 女, 博士, 副教授, 主要研究方向?yàn)殛嚵行盘?hào)處理、目標(biāo)定位及水下聲成像.

(責(zé)任編輯: 許 妍)