盛啟輝，赫榮光，趙志權(quán)，王小梅

（1.航空工業(yè)洪都；2.空裝駐南昌地區(qū)軍事代表室，江西 南昌，330024）

0 引言

無人機(jī)在飛行過程中，機(jī)體氣動(dòng)參數(shù)受高度、速度等飛行條件影響變化較大，而且機(jī)體通常都是嚴(yán)重欠阻尼的，有些甚至是不穩(wěn)定的，抗擾動(dòng)能力差，因此需要引入自動(dòng)駕駛儀來加快彈體響應(yīng)速度、改善阻尼、提高抗干擾能力，并精確、魯棒地跟蹤輸入指令。

三回路駕駛儀是一種用速率陀螺和線加速度計(jì)反饋回路設(shè)計(jì)的自動(dòng)駕駛儀，使用無人機(jī)姿態(tài)角速度、角度和加速度作為反饋信號(hào)。古典的頻率域方法包括頻率特性法和根軌跡法，可以設(shè)計(jì)出性能良好的三回路自動(dòng)駕駛儀，但自動(dòng)駕駛儀設(shè)計(jì)過多依靠設(shè)計(jì)者的經(jīng)驗(yàn)，具有試湊性，設(shè)計(jì)過程較繁瑣。因此，近十幾年來利用現(xiàn)代控制理論設(shè)計(jì)自動(dòng)駕駛儀的研究很多，應(yīng)用最優(yōu)控制理論設(shè)計(jì)的三回路自動(dòng)駕駛儀，不僅從理論上分析了三回路自動(dòng)駕駛儀的結(jié)構(gòu)，同時(shí)還給出了三回路自動(dòng)駕駛儀的性能指標(biāo)，并實(shí)現(xiàn)了任意極點(diǎn)配置。

1 無人機(jī)俯仰通道運(yùn)動(dòng)狀態(tài)空間方程

在無人機(jī)自動(dòng)駕駛儀設(shè)計(jì)中，常選取姿態(tài)或者過載作為反饋量。俯仰通道過載方程可表示為[1]：

2 三回路自動(dòng)駕駛儀的結(jié)構(gòu)

利用線性二次型最優(yōu)控制，可以得出三回路自動(dòng)駕駛儀是“加速度指令與測(cè)量加速度誤差與舵偏角速率的加權(quán)和”的最優(yōu)解，具有良好的魯棒性[3]。

線性二次型最優(yōu)控制屬于線性系統(tǒng)綜合理論中最具重要性和最具典型性的一類優(yōu)化型綜合問題。線性二次型問題就是尋找一個(gè)容許控制量u*，是沿著由初態(tài)狀態(tài)變量x0出發(fā)的響應(yīng)狀態(tài)軌跡x(t)，性能指標(biāo)函數(shù)J(u*)取極小值。最優(yōu)調(diào)節(jié)（LQR）問題的目標(biāo)是綜合最優(yōu)控制量，在保證性能指標(biāo)泛函取極小值的同時(shí)，使系統(tǒng)狀態(tài)由初始狀態(tài)量驅(qū)動(dòng)到零平衡狀態(tài)量。

對(duì)于線性時(shí)變受控系統(tǒng)，選取目標(biāo)函數(shù)：

求解黎卡提方程，可得到最優(yōu)控制律為

根據(jù)狀態(tài)反饋矩陣與輸出反饋矩陣之間的變換關(guān)系，可以得到輸出反饋控制律。

對(duì)于單輸入無限時(shí)間不變的LQR問題，最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)至少具有如下穩(wěn)定裕度[4]：

即系統(tǒng)至少具有6dB的幅值裕度和在兩個(gè)方向上60°的相角裕度。

基于LQR設(shè)計(jì)的三回路駕駛儀分析如下：

對(duì)于線性時(shí)變受控系統(tǒng)(2)，選取目標(biāo)函數(shù)：

求解黎卡提方程，可得到最優(yōu)控制律為

對(duì)式（6）進(jìn)行積分，可得到

式(7)是應(yīng)用最優(yōu)控制設(shè)計(jì)的三回路自動(dòng)駕駛儀控制律。

3 三回路自動(dòng)駕駛儀極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)

式(7)給出了三回路自動(dòng)駕駛儀的控制律，應(yīng)用式(7)，可對(duì)三回路自動(dòng)駕駛儀進(jìn)行極點(diǎn)配置，圖1給出了三回路自動(dòng)駕駛儀的開環(huán)結(jié)構(gòu)圖。

根據(jù)式（2）和式（7）可推導(dǎo)出三回路自動(dòng)駕駛儀的開環(huán)傳遞函數(shù)[3,5-6]：

其中

圖1 三回路自動(dòng)駕駛儀開環(huán)結(jié)構(gòu)圖

三回路自動(dòng)駕駛儀的閉環(huán)傳遞函數(shù)：

理想三階系統(tǒng)的極點(diǎn)配置形式通常是1個(gè)實(shí)極點(diǎn)與1對(duì)共軛極點(diǎn)，則有：

系統(tǒng)的期望極點(diǎn)與系統(tǒng)時(shí)域指標(biāo)直接相關(guān)，可根據(jù)無人機(jī)飛行控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)要求進(jìn)行選取，然后計(jì)算出KD、KI、K?˙、K?、Kac、Kδ。

4 三回路自動(dòng)駕駛儀極點(diǎn)配置算例

應(yīng)用式(8)、式(9)和式(10)計(jì)算三回路自動(dòng)駕駛儀中的KD、KI、K?˙、K?、Kac、Kδ。

機(jī)體動(dòng)力學(xué)系數(shù)：

假設(shè)期望的駕駛儀開環(huán)截止頻率和二階環(huán)節(jié)的阻尼系數(shù)為：

同時(shí)，令KD=Kac=Kδ。

選取三組期望極點(diǎn)，進(jìn)行極點(diǎn)配置，計(jì)算回路的控制參數(shù)，比較三組極點(diǎn)配置后的自動(dòng)駕駛儀的性能指標(biāo)。

三組期望極點(diǎn)分別為：-9.2、-6.5±6.5j；-6.0、-9.0±9.0j和-14.0、-5.0±5.0j。 自動(dòng)駕駛儀的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

設(shè)計(jì)結(jié)果及性能指標(biāo)如表1所示,自動(dòng)駕駛儀的閉環(huán)傳遞函數(shù)階躍響應(yīng)曲線如圖2所示。

表1 三回路自動(dòng)駕駛儀三組極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)結(jié)果

圖2 三回路自動(dòng)駕駛儀階躍響應(yīng)曲線

從表1和圖2可以看出，選取的第一組極點(diǎn)性能較好，自動(dòng)駕駛儀的帶寬最大，約1.0Hz，上升時(shí)間最小，約0.3s，相位裕度約為83.5°，階躍響應(yīng)超調(diào)量約1.4%。

通過分析可以發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)的閉環(huán)實(shí)極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的響應(yīng)速度影響較大，在第二組和第三組數(shù)據(jù)中，系統(tǒng)的閉環(huán)實(shí)極點(diǎn)與其它兩個(gè)極點(diǎn)距離較遠(yuǎn)，對(duì)系統(tǒng)的響應(yīng)速度影響較大，閉環(huán)實(shí)極點(diǎn)離虛軸越近，響應(yīng)速度越慢，但是不會(huì)出現(xiàn)超調(diào)現(xiàn)象，而閉環(huán)實(shí)極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸，響應(yīng)速度較快，超調(diào)相對(duì)較大，但是超調(diào)量在10%以內(nèi)。第一組數(shù)據(jù)的實(shí)極點(diǎn)位置在兩個(gè)虛極點(diǎn)的左邊，其幅值相等，系統(tǒng)性能指標(biāo)介于第二組和第三組之間，具有最佳系統(tǒng)帶寬。

5 結(jié)論

通過對(duì)三回路自動(dòng)駕駛儀結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，并推導(dǎo)三回路自動(dòng)駕駛儀的極點(diǎn)配置計(jì)算公式，應(yīng)用三組期望極點(diǎn)數(shù)據(jù)對(duì)三回路自動(dòng)駕駛儀進(jìn)行極點(diǎn)配置，設(shè)計(jì)結(jié)果表明，第一組極點(diǎn)配置系統(tǒng)的性能較好，系統(tǒng)階躍響應(yīng)上升時(shí)間最小，帶寬最大，相位裕度也較好，系統(tǒng)的性能指標(biāo)較優(yōu)。