何東林, 李煜彥

(隴南師范高等?？茖W(xué)校數(shù)信學(xué)院， 甘肅 隴南 742500)

引 言

傾斜理論作為Artin代數(shù)表示論中重要的研究課題之一，受到許多作者的關(guān)注[1-5]。

Colpi等[6]給出了1-tilting模(未必有限生成)的一個(gè)等價(jià)刻畫：T是1-tilting模當(dāng)且僅當(dāng)Gen(T)=T⊥1，其中Gen(T)表示由模T生成的模類。Bazzoni[7]將其推廣，得到了n-tilting模的一個(gè)等價(jià)刻畫：T是n-tilting模當(dāng)且僅當(dāng)Presn(T)=T⊥i≥1，其中Presn(T)表示由模Tn表示的模類。為了研究Dynkin箭圖表示的有界導(dǎo)出范疇的τ結(jié)構(gòu)，Keller等[8]引入了silting復(fù)形的概念。在此基礎(chǔ)上，2014年Angeleri Hügel等[9]給出silting模的定義，并證明T是1-tilting模，等價(jià)于T是具有正合列0→P2→P1→T→0的silting模，其中P1,P2為投射模。2018年Breza等[10]研究了silting模生成的torsion類。Marks等[11]討論了導(dǎo)出范疇的silting模和cosilting模。Hügel[12]研究了silting模的數(shù)量。2019年Marks等[13]又討論了通過(guò)silting模的廣泛局部化。因此，可考慮silting模的一個(gè)推廣—n-silting模，研究其性質(zhì)和等價(jià)刻畫，并討論n-silting模與n-tilting模之間的關(guān)系。

1 定義和引理

定義2[7]稱左R模T是n-tilting模，如果以下條件成立：

(1)pdR(T)≤n，其中pdR(T)表示模T的投射維數(shù)；

(3)存在正合列0→R→T1→T2…→Tn+1→0，其中T1∈AddR(T)(1≤i≤n+1)。

引理1[7]設(shè)T是左R-模，則以下條件等價(jià)：

(1)T是n-tilting模；

(2)Presn(T)=T⊥i≥1。

引理2[9]設(shè)T是左R模，則以下條件等價(jià)：

(1)T是1-tilting模；

下面引入n-silting模的概念。

定義3稱左R模T是n-silting模，如果存在正合列

其中Pi(1≤i≤n+1)為投射模，且Presn(T)=Dσ。

顯然1-silting模就是silting模。

2 主要結(jié)果

命題1如果T是n-silting模，那么Gen(T)?Dσ?T⊥n。

證明設(shè)T是n-silting模，則存在正合列

(1)

其中Pi(1≤i≤n+1)為投射模，且Presn(T)=Dσ。

先證Gen(T)?Dσ。對(duì)任意M∈Gen(T)，存在滿同態(tài)α：T(I)→M，其中I為集合。對(duì)任意同態(tài)f∈HomR(Pn+1,M)，由Pn+1是投射模及α是滿同態(tài)知，存在同態(tài)g∈HomR(Pn+1,T(I))使得f=αg。因?yàn)門(I)∈Presn(T)=Dσ，所以存在同態(tài)h∈HomR(Pn,T(I))，使得g=hσ。令β=αh，則f=αg=αhσ=βσ，即下圖可交換

圖1 f=βσ的交換圖

可見(jiàn)M∈Dσ。由M的任意性知Gen(T)?Dσ。

再證Dσ?T⊥n。將同態(tài)σ：Pn+1→Pn分解為滿同態(tài)π：Pn+1→lmσ和包含同態(tài)λ：lmσ→Pn。令C=Cokerσ，對(duì)任意模N∈Dσ，用函子HomR(-,N)作用于正合列

0→C→Pn-1→…→P2→P1→T→0,

(2)

(3)

對(duì)任意ξ∈HomR(lmσ,N)，由N∈Dσ易得如下交換圖

圖2 ησ=ξπ的交換圖

綜上所述，Gen(T)?Dσ?T⊥n成立。

例1設(shè)左R模T是silting模，則有Gen(T)=Dσ?T⊥1成立。

證明因?yàn)樽驲模T是silting模，即1-silting模。根據(jù)命題1可得，Gen(T)=Dσ?T⊥1顯然成立。

證明設(shè)T是n-tilting模，則由引理1知Presn(T)=T⊥i≥1。

先證Presn(T)?Dσ。對(duì)任意M∈Presn(T)?Gen(T)，存在滿同態(tài)α：T(I)→M，其中I為集合。對(duì)任意f∈HomR(Pn+1,M)，由Pn+1是投射模及α是滿同態(tài)知，存在同態(tài)β∈HomR(Pn+1,T(I))使得f=αβ。因?yàn)門(I)∈Presn(T)=T⊥i≥1，所以存在同態(tài)γ∈HomR(Pn,T(I))，使得β=γσ。不妨令g=αγ，則g∈HomR(Pn,M)且f=gσ?？梢?jiàn)HomR(Pn+1,M)→HomR(Pn,M)為滿同態(tài)。從而M∈Dσ。由M的任意性可知，Presn(T)?Dσ。

再證Dσ?Presn(T)。由假設(shè)知Dσ?T⊥i≥1。又因?yàn)镻resn(T)=T⊥i≥1，所以Dσ?Presn(T)。

因此T是n-silting模。

(4)

(1)T是n-tilting模；

(2)T是n-silting模。

證明由定理1和定理2 易證。

例2設(shè)T是n-silting模且對(duì)應(yīng)的σ為單同態(tài)，求證Presn(T)=Gen(T)=Dσ?T⊥i≥n。

證明Presn(T)?Gen(T)顯然成立。由命題1知，Gen(T)?Dσ?T⊥n。又因?yàn)門是n-silting模，所以Presn(T)=Dσ。從而Presn(T)=Gen(T)=Dσ?T⊥n。

下證Dσ?T⊥i≥n。對(duì)任意M∈Dσ，令C=Cokerσ，考慮正合列0→Pn+1→Pn→C→0，用函子HomR(-,M)作用于該正合列可得如下長(zhǎng)正合列

(5)

綜上所述，Presn(T)=Gen(T)=Dσ?T⊥i≥n成立。

例3設(shè)T是silting模，則有Gen(T)=Dσ?T⊥i≥1成立。

證明因?yàn)門是silting模，即1-silting模。根據(jù)定理1得，Pres1(T)=Gen(T)=Dσ?T⊥i≥1成立?？梢?jiàn)Gen(T)=Dσ?T⊥i≥1顯然成立。

例4正則模RR既是n-silting模，又是n-tilting模。

證明先證RR是n-silting模。因?yàn)镽R是投射模，考慮正合列

(6)

其中0i=0(i=2,3,…n+1)，顯然Dσ=R-Mod=Presn(R)。由定理3可得RR是n-silting模。

再證RR是n-tilting模。因?yàn)镻resn(R)=R-Mod=R⊥i≥1，根據(jù)引理1易得RR是n-tilting模。

3 結(jié)束語(yǔ)