郭一軍

(1.黃山學院 機電工程學院,安徽 黃山 245041；2.浙江工業(yè)大學 信息工程學院，杭州 310032)

0 引 言

近年來，永磁同步電機由于體積小、成本低、執(zhí)行效率高、輸出轉(zhuǎn)矩大、調(diào)速性能好等優(yōu)點，在機器人、高精度數(shù)控機床的伺服系統(tǒng)中獲得了廣泛的應用[1-3]。但在實際的伺服系統(tǒng)中存在諸如系統(tǒng)摩擦力、電機參數(shù)變化、電磁干擾和負載擾動等不確定性因素，以及伺服系統(tǒng)執(zhí)行機構(gòu)輸入飽和約束，這些問題的存在不僅會嚴重影響系統(tǒng)的控制精度，甚至會引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定性。因此，如何更好地處理伺服系統(tǒng)不確定性因素和輸入飽和約束問題對于提高系統(tǒng)的跟蹤精度具有重要意義。

在實際的控制系統(tǒng)中，執(zhí)行機構(gòu)由于受物理條件限制，當控制器輸出信號過大時，執(zhí)行機構(gòu)的輸出將進入非線性飽和狀態(tài)，出現(xiàn)控制器輸出的信號與被控對象實際接收的信號不一致的現(xiàn)象，從而導致系統(tǒng)控制性能下降，甚至引起系統(tǒng)失穩(wěn)[4-5]。目前，關(guān)于控制系統(tǒng)輸入飽和約束問題，國內(nèi)外學者開展了相關(guān)研究并取得了一定的研究成果。文獻[6]針對一類具有輸入飽和約束的不確定非線性系統(tǒng)魯棒自適應控制問題，采用光滑雙曲正切函數(shù)近似逼近飽和約束函數(shù)以達到消除飽和的目的，但該控制算法設(shè)計過于復雜，不利于實際工程應用。文獻[7]為解決直流伺服系統(tǒng)的飽和約束問題，利用模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補償策略對飽和約束進行補償，但神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線學習過程需要一定的時間。文獻[8-9]研究了存在控制輸入飽和約束的離散時間線性變參數(shù)系統(tǒng)的H保性能控制問題，控制算法通過將系統(tǒng)的飽和約束處理為一個線性矩陣不等的方法來達到抗飽和的目的。

滑?？刂朴捎趯ο到y(tǒng)參數(shù)不確定性和有界擾動具有很強的魯棒性，被廣泛應用于伺服系統(tǒng)的高精度控制中。但普通滑?？刂坡芍荒茏龅较到y(tǒng)狀態(tài)變量的漸近收斂，即從理論上來講，系統(tǒng)狀態(tài)變量只有當時間趨于無窮大的時候才能獲得最佳控制效果。為提高系統(tǒng)的收斂速度，可在算法滑模面的設(shè)計中加入分數(shù)冪次項，這樣可以做到系統(tǒng)狀態(tài)變量的有限時間收斂。研究表明，有限時間收斂控制除了可以提高系統(tǒng)的收斂速度，還可使系統(tǒng)獲得更好的抗擾動性能[10-13]。

伺服系統(tǒng)通常受摩擦力、測量噪聲以及外部擾動等諸多不確定因素的影響，為了提高其跟蹤控制精度，需要對系統(tǒng)的不確定性因素進行有效處理。目前，干擾觀測器已被廣泛應用于模型參數(shù)不確定性以及系統(tǒng)未知外部擾動的估計中[14-17]。只要能夠精確估計出系統(tǒng)的擾動，那么其對系統(tǒng)控制精度的影響將得到有效的抑制[18]。文獻[14]中，基于干擾觀測器的自適應模糊跟蹤策略被應用于一類多輸入多輸出非線性系統(tǒng)的控制器設(shè)計中，通過干擾觀測器對復合擾動的估計可有效提高系統(tǒng)的控制精度。Liu[16]針對具有時變擾動及未知模型不確定性因素的水下航行器軌跡跟蹤控制問題，提出了采用基于非線性干擾觀測器的反步有限時間滑模控制方法，取得了不錯的控制效果。

本文結(jié)合有限時間滑模和干擾觀測器各自的優(yōu)勢，考慮存在系統(tǒng)不確定因素影響以及具有輸入飽和約束的永磁同步電機伺服系統(tǒng)跟蹤控制問題，提出了具有控制輸入約束的魯棒有限時間控制方法。首先，充分考慮外部未知擾動的影響，利用干擾觀測器實現(xiàn)對系統(tǒng)不確定性因素的在線估計。然后，針對實際應用中執(zhí)行機構(gòu)飽和的問題，設(shè)計具有輸入約束的魯棒有限時間控制器。仿真結(jié)果表明，本文所提控制方法能夠補償系統(tǒng)不確定性對控制效果的影響，提高系統(tǒng)的魯棒性能，同時消除執(zhí)行機構(gòu)飽和約束問題，有利于算法的工程應用。

1 永磁同步電機伺服系統(tǒng)問題描述

由文獻[19]，永磁同步電機伺服系統(tǒng)的機械動力學模型可以描述為

(1)

(2)

(2)式中：sign(·)為符號函數(shù)；vmax為控制輸入的最大值。

(3)

假設(shè)飽和非線性函數(shù)S(u)可表示為

S(u)=u-sat(u)

(4)

則有sat(u)=u-S(u)，將其代入(3)式可得

(5)

本文的控制目標為針對系統(tǒng)(5)存在的不確定性及控制輸入飽和約束問題，基于干擾觀測器設(shè)計抗飽和的魯棒有限時間滑?？刂破?，實現(xiàn)永磁同步電機伺服系統(tǒng)跟蹤誤差有限時間收斂。

2 魯棒有限時間控制器設(shè)計

2.1 干擾觀測器設(shè)計

(6)

(7)

(7)式中，c1，c2，c3為待設(shè)計的觀測器參數(shù)。

將(7)式減去(6)式，可得觀測誤差動態(tài)方程為

(8)

由(8)式可寫出其特征方程為

p3-(c1+c3)p2+(c1c3-c2)p+c2c3=0

(9)

通過合理設(shè)計觀測器增益矩陣參數(shù)c1，c2，c3使得觀測誤差特征方程式(9)是Hurwitz穩(wěn)定的，從而可以保證觀測誤差的漸近收斂。

2.2 抗飽和有限時間滑模控制律設(shè)計

對于存在不確定性的系統(tǒng)(5)，同時考慮控制輸入約束的影響，下面結(jié)合干擾觀測器和有限時間滑模進行控制律設(shè)計，具體設(shè)計過程如下。

首先，定義系統(tǒng)跟蹤誤差為

e=yd-y=yd-x1

(10)

(10)式中，yd為系統(tǒng)參考軌跡，滿足連續(xù)二次可微條件，則e的一階導數(shù)為

(11)

設(shè)計系統(tǒng)滑模面為

(12)

(12)式中：α，β>0為待設(shè)計的系統(tǒng)滑模面參數(shù)；sign(e)φ=|e|φsign(e)；0<φ<1為待設(shè)計的正常數(shù)。

s的一階導數(shù)為

(13)

(14)

(14)式中，?為適當小的正常數(shù)。

則由(5)式、(7)式和(12)式，具有輸入飽和約束的有限時間滑模控制律設(shè)計為

(15)

(15)式中，Δ可表示為

(16)

2.3 穩(wěn)定性分析

引理1[20]如果0

|b2|q+…+|bn|q

(17)

成立。

引理2[21-22]假設(shè)存在一個連續(xù)正定的函數(shù)V(t)，滿足微分方程

(18)

(18)式中，φ>0，0<μ<1是常數(shù)。則對應任意給定的t0，存在有限時間t1，使得(19)式成立。

V1-μ(t)≤V1-μ(t0)-φ(1-μ)(t-t0)，

t0≤t≤t1

(19)

V(t)≡0,?t≥t1

(20)

引理3[23]假設(shè)存在一個連續(xù)正定的函數(shù)V(t)，滿足微分方程

(21)

(21)式中，實常數(shù)γ，l>0，0<η<1，則對于任意給定的t0，V(t)滿足不等式

V1-η(t)≤[γV1-η(t0)+l]e-γ(1-η)(t-t0)-l,

t0

(22)

V(t)≡0,t>ts

(23)

(22)式中，ts滿足

(24)

證明為了分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，構(gòu)建系統(tǒng)的候選Lyapunov函數(shù)為

(25)

對(25式)求導可得

(26)

將(15)式代入(26)式可得

(27)

因此，依據(jù)引理2，存在一個有限時間t1，當滿足t>t1時，V1=0，從而在控制律(15)的作用下可以保證系統(tǒng)滑模面s在有限時間內(nèi)收斂于零。

定理2當系統(tǒng)于有限時間內(nèi)到達滑模面s后，跟蹤誤差將在有限時間內(nèi)收斂到零。

證明一旦系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面s=0，由(12)式可得

(28)

考慮候選Lyapunov函數(shù)

(29)

對(28)式求導，并將(27)式代入可得

(30)

因此，依據(jù)引理3可知，跟蹤誤差e將于有限時間內(nèi)收斂到平衡點。

3 仿真研究

為了更好地驗證控制器的有效性，本文分別對如下3種控制方法的控制效果進行仿真研究。

方法1不考慮控制輸入約束但加入不確定因素補償項的永磁同步電機伺服系統(tǒng)魯棒有限時間控制算法。算法滑模面設(shè)計如(12)式,控制律設(shè)計為

(31)

方法2考慮控制輸入約束但不加入不確定因素補償項的永磁同步電機伺服系統(tǒng)魯棒有限時間控制算法。算法滑模面設(shè)計如(12)式,控制律設(shè)計為

(32)

方法3考慮控制輸入約束同時加入不確定因素補償項的永磁同步電機伺服系統(tǒng)魯棒有限時間控制算法。算法滑模面、控制律設(shè)計分別如(12)式和(14) 式。

假設(shè)系統(tǒng)不確定因素為

x3=4sin(0.5t)+cos(t)+0.5

(33)

為方便對比分析，仿真中永磁同步電機伺服系統(tǒng)的初始條件和控制器部分參數(shù)設(shè)置相同。系統(tǒng)的參考軌跡設(shè)定為yd=0.7sin(t)；飽和限幅值為vmax=8 A；系統(tǒng)的初始位置設(shè)定為x(0)=0.1。

干擾觀測器的參數(shù)設(shè)置為c1=20，c2=-600，c3=-26；控制律參數(shù)設(shè)置為α=3，β=0.2，φ=0.6，κ1=10，κ2=5。

3種控制方法的仿真效果如圖1～圖4。圖1為3種方法的系統(tǒng)狀態(tài)響應曲線；圖2為3種方法的系統(tǒng)跟蹤誤差曲線；圖3為干擾觀測器對系統(tǒng)不確定性因素的觀測誤差；圖4為3種方法的控制輸入信號。由圖1，圖2可見，3種方法都在1.5 s后實現(xiàn)了對給定信號的穩(wěn)定跟蹤，但方法1和方法2的穩(wěn)態(tài)響應時間較方法3要長，且方法1跟蹤誤差出現(xiàn)了明顯的高頻抖振，故總體而言，方法3具有更快的響應速度和更好的跟蹤性能，且基本不受輸入飽和約束和系統(tǒng)不確定性因素的影響。由圖3可見，方法1和方法3中的干擾觀測器均能有效地實現(xiàn)對系統(tǒng)不確定性因素的觀測，即通過選擇合適的干擾觀測器相關(guān)參數(shù)，其觀測誤差可以控制在較小的范圍內(nèi)；由圖4可見，方法1的控制輸入信號在整個系統(tǒng)控制過程中，其值都超過了系統(tǒng)的飽和限幅值，尤其是在控制的初始階段，由于存在較大的初始狀態(tài)誤差，控制輸入信號幅值明顯增加，極易導致系統(tǒng)執(zhí)行機構(gòu)控制輸入飽和問題。而方法2和方法3由于采用了考慮控制輸入飽和約束的魯棒有限時間控制器，其控制輸入信號的幅度可以很好地限定在系統(tǒng)執(zhí)行機構(gòu)飽和限幅值范圍內(nèi)，同時也能夠達到較好的控制效果。

圖1 3種方法的系統(tǒng)狀態(tài)響應Fig.1 System state responses of three methods

圖2 3種方法的系統(tǒng)跟蹤誤差Fig.2 Tracking errors of three methods

圖3 系統(tǒng)觀測誤差Fig.3 Observation errors of the system

圖4 3種方法的控制輸入Fig.4 Control inputs of three methods表1 3種控制方法的控制效果比較Tab.1 Control effect comparison of three methods

控制方法J方法10.070方法20.086方法30.037

仿真對比結(jié)果表明，本文所設(shè)計的基于控制輸入約束的永磁同步電機伺服系統(tǒng)魯棒有限時間控制方法相比于其他2種控制方法具有更好的控制效果，該方法的跟蹤精度高，能很好地消除系統(tǒng)輸入飽和約束和不確定性因素的影響。

4 結(jié) 論

本文針對存在模型參數(shù)非線性不確定性因素和輸入飽和約束的永磁同步電機伺服系統(tǒng)跟蹤控制問題，設(shè)計了一種具有輸入飽和約束的魯棒有限時間控制方法，并用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了閉環(huán)系統(tǒng)的全局有限時間穩(wěn)定。仿真結(jié)果表明，所設(shè)計控制方法不僅具有調(diào)節(jié)時間短、魯棒性強的控制效果，而且能夠有效消除輸入飽和約束對系統(tǒng)跟蹤控制性能的不良影響。