李珊珊，努恩吉雅

(河套學(xué)院理學(xué)系，內(nèi)蒙古 巴彥淖爾 015000)

Greenberg 1971[1]年提出了調(diào)查定量的敏感問題的隨機化回答方法，例如調(diào)查職工平均額外收入多少，偷稅金額等，之后許多學(xué)者對定量敏感問題模型進行了改進，包括借助輔助信息來提高估計敏感變量的精度。文獻[2]在2006年使用了比估計提高了Warner模型的效率。文獻[3]在2007年結(jié)合回歸分析提高了一般化隨機裝置的效率。文獻[4]在2008年提出了雙輔助信息敏感問題問卷調(diào)查技術(shù)。文獻[5]研究了使用輔助信息提高屬性特征隨機化回答技術(shù)的效率。本文探討了在數(shù)量特征敏感問題的隨機化調(diào)查中利用線性轉(zhuǎn)化構(gòu)造比估計量來提高精度的問題。當總體的輔助變量已知時，利用樣本中的最小值和最大值通過線性轉(zhuǎn)化構(gòu)造了比估計量，在一定的條件下，提出的估計量效率較高。

1 Greenberg模型

敏感性問題的均值μY的估計為

估計量的方差為

(1)

2 比率估計量用于Greenberg模型

隨機化裝置盒中有外形相同的兩類卡片：

1)敏感屬性值Y，輔助信息值T；

2)非敏感值X，輔助信息值T。

然后將卡片(a)、(b)以預(yù)定的比例p和1-p放入一個盒子中，回答者做出回答(z1，t1)，(z2，t2)，…，(zn，tn)。

根據(jù)矩估計和比估計的方法μY的估計量為

ER和VR為隨機化裝置的期望和方差，Ed為抽樣設(shè)計的期望。

(2)

其中

證明：

3 線形轉(zhuǎn)化及其比率估計量

假定指導(dǎo)輔助變量t的最小值為tmin和最大值為tmax，那么利用這些值，可以把輔助變量轉(zhuǎn)化成兩個新的輔助變量，分別為

進行線性轉(zhuǎn)化之后，使用兩個轉(zhuǎn)化后的輔助變量可以得出總體均值μY的兩個比率估計量

根據(jù)矩估計和比估計的方法，得到μY的兩個估計量為：

(3)

(4)

4 效率比較

4.1 比較3個比率估計量的偏差的大小

4.2 比較比率估計量的均方誤差的大小

綜上可以得出如下結(jié)論：

4.3 結(jié)論

結(jié)合上面的不等式和上面的12個結(jié)論，對于輔助變量與敏感變量呈正的相關(guān)關(guān)系，可得到結(jié)論：

通過以上結(jié)論，可以在實踐中根據(jù)不同的情況選擇更加優(yōu)良的比率估計量。

5 數(shù)值模擬

表1 估計量的均方誤差

從數(shù)值比較結(jié)果可以得出結(jié)論：提出比率估計量的均方誤差在參數(shù)一定的條件下優(yōu)于Greenberg模型的效率，提出的3種比率估計量在參數(shù)不同的條件下，比率估計量的精度也有所不同，驗證了第4部分理論比較的正確性。