吳華明

(嶺南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 廣東 湛江 524048)

Ivan[1]在1988年用Lebesgue測度作為標準來研究線段自映射混沌集合的大小,得到了C0(I)中存在一個剩余集R，使得對于每一個映射f∈R，對于f而言的每一個Li-Yorke混沌集合[2]的Lebesgue測度為0.顧榮寶[3]用Hausdorff維數(shù)作為度量的標準來研究線段自映射混沌集合的大小，得到了C0(I)中也存在一個剩余集R，使得對于每一個映射f∈R，若C?I對于每一個f而言是Li-Yorke混沌的，則C的Hausdorff維數(shù)dimH(C)=0.文獻[4]將結(jié)果推廣到I2上有類似的結(jié)論.本文將文獻[4]的結(jié)果推廣到高維的情形.

本文主要結(jié)果是：存在剩余集R ?C0(In)，使得對每個f∈R，若C?In對f而言是Li-Yorke混沌的，則C的Hausdorff維數(shù)dimH(C)≤n-1,并且C是第一范疇集.

該結(jié)果對高維笛卡爾積的情形也成立，即在C0(Ini,Ini)中存在一個剩余集Ri，使得對于每個fi∈Ri，i=1,2，若集合Ci?Ini對于fi而言是Li-Yorke混沌的，則dimH(C1×C2)≤n-1，且C1×C2是第一范疇集.

1 預(yù)備知識

1.1 方體

定義 1設(shè)m是任一正整數(shù)，

A={(t1,…,tm)|ri≤ti≤si, i=1,2,…,m}?Rm

顯然Ai均是K的閉子集，根據(jù)黏合引理，若有連續(xù)映射族fi:Ai→Rl,使任意2個在公共面上的取值相同，則有連續(xù)映射：f:K→Rl，使f|Ai=fi.

1.2 方體的面

2) 當ri

易見，若BA,則：

1)B?A，

2) 0≤ dim B≤dimA,

在方體A的面中，有2個特殊的面A0和A1，分別稱為方體A的前面和后面，其中

當rm=sm時，A0=A1=A；當rm

dimA0=dimA1=dimA-1.

顯然C0(A)=C0(A0)∪C0(A1).

對?x=(t1,…,tm)∈A,稱點

x0=(t1,…,tm-1,rm)∈A0,

x1=(t1,…,tm-1,sm)∈A1

分別為x的前影和后影，則x=(1-t)x0+tx1，其中t=(tm-rm)/(sm-rm)，若rm

1.3 典型同構(gòu)設(shè)k

設(shè)A為Rm中的方體，顯然P(A0)=p(A1)=p(A)是Rm中的方體，且p|A0和p|A1都是線性保內(nèi)積的同胚.而且p|C0(A0):C0(A0)→C0(p(A))和p|C0(A1):C0(A1)→C0(p(A))是一一對應(yīng)的，稱p|A0和p|A1為典型同構(gòu).若BA,則p(B)p(A).

1.4 方體上的多重線性擴充任給g0:C0(A)→Rl，對m歸納地定義g:A→Rl如下：當m=1時，A=[r1,s1]，若r1=s1，則A為單點，令g=g0即可；若r1

g(t1)=(1-t)g0(r1)+tg(s1),t1∈A，

其中t=(t1-r1)/(s1-r1),此時,稱g為g0的多重線性擴充.

上述的g有性質(zhì)：

(Ⅰ)g|C0(A)=g0；

(Ⅱ)g連續(xù)；

(Ⅲ)g(A)?[g0(C0(A))]，其中[g0(C0(A))]為g0(C0(A))的凸包；

(Ⅳ) 設(shè)BA，則g|B是g0|C0(B)的多重線性擴充.

設(shè)當m=k-1時，滿足上列性質(zhì)(Ⅰ)～(Ⅳ)的多重線性擴充g已定義，對m=k時定義映射g，且稱滿足性質(zhì)(Ⅰ)～(Ⅳ)的g為g0的多重線性擴充.

給定方體A?Rl,g0:C0(A)→Rl，則在Rk-1中的方體p(A)上，有2個函數(shù)：

g(x)=(1-t)g′(p(x))+tg″(p(x))，

其中x=(t1,…,tk)，t=(tk-rk)/(sk-rk)，若rk

設(shè)K為Rm中的復(fù)合方體，g0:C0(K)→Rl，則g0限制在每個方體上都有一個多重線性擴充，由性質(zhì)(Ⅳ)，這些擴充在公共面上取值一致，故有連續(xù)映射g:K→Rl，使得它在頂點上與g0一致，在每個方體上的限制均為多重線性擴充，且g對于每個方體均滿足性質(zhì)(Ⅲ).易見g也滿足性質(zhì)(Ⅰ)和(Ⅱ).

定義 3設(shè)K為Rm中的復(fù)合方體，g0:C0(K)→Rl，則稱上述g為g0在K上的多重線性擴充.

2 n維情形

為方便起見，先引入一些記號.Z+表示正整數(shù)集，m∈Z+,M=2m,η=2-2m2,ai=i/M，i=0,1,…,M;ci=(ai-1+ai)/2,i=1,2,…,M.

Eim=[ai-1+η,ai-η],

Fim=[ci-η,ci+η],i=1,2,…,M;

Him=[ai-η,ai+η],i=1,2,…,M-1;

H0m=[0,η],HMm=[1-η,1];

Cm={(ci1,ci2,…,cin)|i1,i2,…,in∈{1,2,…,M}};

Dm={a0,a0+η,a1-η,a1+η,…,aM-η,aM};

Qm={(z1,z2,…,zn)|zi1,…,zik∈{0,1},zik+1,…,zin∈Dm-{0,1},i1,i2,…,in為1,2，…,n的一個排列，k=1,2,…，n}.

引理 1R是C0(In)的剩余集.

對每個m∈Z+，Am顯然是C0(In)中的開集，事實上Am是C0(In)的緊致開拓撲的基元素.

(1)

為一復(fù)合方體.

下面定義g0:C0(k)→In如下：

(b) 對z=(z1,z2,…，zn)∈Qm，g0(z)為Cm中距離f(z1,z2,…,zn)最近的點(若這樣的點不唯一，可任取定一個),則存在g0在復(fù)合方體K上的多重線性擴充g，從而g(Em)?(Fm)0，即g∈Am.

往證ρ(f,g)<ε.對?(ci1,ci2,…,cin)∈Cm，

事實上有

|f(ci1,ci2,…,cin)-g(ci1,ci2,…,cin)|≤

對于

?z∈[ai1-1,ai1]×[ai2-1,ai2]×…×[ain-1,ain]，

由(1)式有

|f(z)-f(ci1,ci2,…,cin)|<ε/5.

(3)

事實上，由于[aij-1,aij]的長度不超過2-m，故

由(1)式有|f(z)-f(ci1,ci2,…,cin)|<ε/5,對?z∈Em.

由(2)和(3)式有

|f(z)-g(z)|<2ε/5.

(4)

事實上

|f(z)-g(z)|≤|f(z)-f(ci1,…,cin)|+

|f(ci1,…,cin)-g(ci1,…,cin)|+

|g(ci1,…,cin)-g(z)|<2ε/5.

若(ci1,…,cin)∈Cm∪Qm，則

|f(ci1,…,cin)-f(ch1,…,chn)|<ε/5，

hk=ik或ik+1， k=1,2,…,n.

(5)

事實上

|(ci1,…,cin)-(ch1,…,chn)|≤

由(1)式有

|f(ci1,…,cin)-f(ch1,…,chn)|<ε/5.

由(2)式和(a)、(b)有

|g(ci1,…,cin)-g(ch1,…,chn)|<3ε/5.

(6)

事實上

|g(ci1,…,cin)-g(ch1,…,chn)|=

|g(ci1,…,cin)-f(ci1,…,cin)+

f(ci1,…,cin)-f(ch1,…,chn)+

f(ch1,…,chn)-g(ch1,…,chn)|≤

|g(ci1,…,cin)-f(ci1,…,cin)|+

|f(ci1,…,cin)-f(ch1,…,chn)|+

|f(ch1,…,chn)-g(ch1,…,chn)|<3ε/5.

且至少存在一個1≤t≤n，使

取(ci1,…,cin)為Cm∪Qm與z點距離最小的點(若這樣的點不唯一，可任取一個).若

|f(z)-g(z)|≤

|f(z)-f(ci1,…,cin)|+|f(ci1,…,cin)-

g(ci1,…,cin)|+|g(ci1,…,cin)-g(z)|≤

ε/5+ε/5+|g(ci1,…,cin)-g(ci1,…,cin)|<ε.

因此，Bn是C0(In)的稠密開集，故R是C0(In)的剩余集.

引理 2對于任意f∈R，若集合C?In對于映射f而言是Li-Yorke混沌的，則存在嚴格遞增的正整數(shù)序列{nk}，使得

(7)

證明設(shè)f∈R，則存在嚴格遞增的正整數(shù)序列{nj}，使得對每個j∈N，f∈Anj，C對映射f而言是Li-Yorke混沌的.任給

(8)

只需證明z1與z2不能同時滿足Li-Yorke混沌定義的2個條件時(7)式成立,即證

(9)

(10)

不能同時成立.

Ηn-1+αδ(In(Enk)0)≤n(2m+1)(1/2η)n-1×

|Gi1m×…×Gij-1m×Hijm×Gij+1m×…×Ginm|n-1+α≤

n1+(n-1+α)/2·2m+1+α·ηα<

推論 1任給f∈R，若C?In是對f而言的Li-Yorke混沌集合，且

則dimHC≤n-1.

定理 1在C0(In)中，存在剩余集R ?C0(In)，使得對每個f∈R，若C?In對f而言是Li-Yorke混沌的，則C的Hausdorff維數(shù)dimH(C)≤n-1,并且C是第一范疇集.

證明由引理1，R是C0(In)的剩余集.根據(jù)引理2、引理3和推論1，對?f∈R，若C?In對f而言是Li-Yorke混沌的，則dimHC≤n-1.

往證對f∈R而言的Li-Yorke混沌集合C是第一范疇集即可，即只需證明每一個

是無處稠密的[5].

因此，對上述i1,…,is-1,is+1,…,in∈{1,2,…,M}，is∈{0,1,2,…,M}有

3 n維笛卡爾積情形

引理 4對于任2個非負實數(shù)a、b,下面2條成立:

引理 5設(shè)Ci?Ini對fi而言是Li-Yorke混沌的,i=1,2,則C1×C2?In1+n2對f1×f2而言是Li-Yorke混沌的.

于是

故

再由引理4(ⅱ)得

于是有

從而

引理 6設(shè)Ri是Xi的剩余集，i=1,2，則R1×R2是X1×X2的剩余集，反之，若R是X1×X2的剩余集，則R一定是2個剩余集R1與R2的笛卡兒積.

且

故R1×R2是X1×X2的剩余集，類似地可證明第二個結(jié)論(略).

定理 2設(shè)C0(Ini,Ini)中存在一個剩余集Ri，使得對于每個fi∈Ri，i=1,2，若集合Ci?Ini對于fi而言是Li-Yorke混沌的，則

dimH(C1×C2)≤n-1，

且C1×C2是第一范疇集.

證明因為2個疏子集的笛卡兒積是疏子集(易證)，所以由命題1和引理5即可證得.

致謝嶺南師范學(xué)院重點學(xué)科項目(1171518004)對本文給予了資助，本文的提出與完成得到了導(dǎo)師熊金城和左再思教授的精心指導(dǎo)和幫助，謹致謝意.