張 俊
(貴州財(cái)經(jīng)大學(xué) 數(shù)統(tǒng)學(xué)院, 貴州 貴陽 550025)
MHD方程是等離子體流體動(dòng)力學(xué)理論的重要方程組,它能描述電磁流體狀態(tài)參量隨時(shí)間演化的過程[1-3],它的基本方程由流體力學(xué)中的Navier-Stokes方程和電磁學(xué)中的Maxwell方程組成.Khan等[4]在研究不穩(wěn)定的不可壓MHD流時(shí),得到了
其中,V是流速場(chǎng),T是柯西力張量,ρ是流體密度,J是電流密度,B是總磁場(chǎng).
Rivlin等[5]、Siddiqui等[6]、Palade等[7]和Rossihin等[8]對(duì)于T的不同定義,同時(shí)考慮到二階流體滿足的不同條件和,得到了一個(gè)含有黏性項(xiàng)的磁流體方程
這里η>0是無綱量的黏性參數(shù),μ是跟磁場(chǎng)、密度有關(guān)的正參數(shù).
由于方程解的復(fù)雜性,一般情況下很難求出其解析解,只能求其數(shù)值解,因此研究磁體流方程高效數(shù)值方程顯得尤其重要.對(duì)于不含分?jǐn)?shù)階黏性項(xiàng)的MHD方程,已經(jīng)有了大量的研究結(jié)果,如WENO有限差分格式、高階G-K格式和四步龍格-庫塔法等.對(duì)于上述含分?jǐn)?shù)階項(xiàng)的MHD方程,文獻(xiàn)[9]分析了方程的準(zhǔn)確解,但仍然缺乏高效數(shù)值方法.受文獻(xiàn)[10]的啟發(fā),準(zhǔn)備用差分法來離散分?jǐn)?shù)階項(xiàng),提出一種高效的數(shù)值方法來處理黏性MHD方程.
本文構(gòu)造了一種求解MHD型黏性分?jǐn)?shù)階方程的數(shù)值格式,所提的格式在時(shí)間方向差分,空間方向用Legendre-Galerkin譜方法,分析了格式在時(shí)間方向的穩(wěn)定性,并得到了格式的整體誤差估計(jì)O(Δt2-β+N1-m),數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論證明.
這里考慮如下的MHD分?jǐn)?shù)階方程
(1)
和初值條件
(2)
以及邊界條件
u(-L,t)=u(L,t)=0,t∈(0,T],
(3)
用有限差分方案離散分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),類似于Lin等[10]對(duì)分?jǐn)?shù)階項(xiàng)的處理,有如下的等式成立:
cDβt?2xu(x,tn+1)=
[(j+1)1-β-j1-β]+rn+1=
其中
aj=(j+1)1-β-jβ,
對(duì)于第一步,考慮如下格式
(4)
當(dāng)n≥1,考慮如下格式
an?2xu0)=0,
(5)
其中
定理 2.1時(shí)間離散格式(4)和(5)滿足下列估計(jì)式,即
(6)
(7)
其中
(6)式得證.
由Cauchy-Schwarz不等式可得
丟掉一些正項(xiàng)有
注意
因此有
所以
E(un+1)≤E(u1)+
定理得證.
這里將構(gòu)造(4)和(5)式空間譜離散方案,考慮到該問題的邊界條件,因此將用Lagrange-Galerkin譜方法對(duì)空間進(jìn)行離散,定義N次多項(xiàng)式空間ΡN(Λ),讓
由文獻(xiàn)[11]可知下面的誤差估計(jì)式成立:
‖u-πNu‖0≤N-m‖u‖m,
?u∈Hm(Λ),m>0,
?u∈Hm(Λ),m>0,k=0,1.
(8)
對(duì)于第一步:
(10)
其中
lj(x)是拉格朗日插值多項(xiàng)式.
由Taylor展開式可知
(11)
再定義誤差函數(shù)
enN=u(tn)-unN.
E(enN)≤c(Δt2-β+N1-m),
k=0,1,2,…,M.
(12)
丟掉一些正項(xiàng),由Young不等式可知
兩邊分別對(duì)n=1,2,…,k求和,注意到(8)和(11)式有
同樣的方法,易知
由離散的Gronwall引理得
即可得(12)式.
下面驗(yàn)證數(shù)值算法的有效性.為了得到剛度陣和質(zhì)量陣,將
因很難得到方程的解析解,用數(shù)值方法計(jì)算其收斂階,定義
提出了一種求解黏性分?jǐn)?shù)階MHD方程的數(shù)值格式,分析了數(shù)值格式的穩(wěn)定性,得到了格式的誤差估計(jì),數(shù)值結(jié)果驗(yàn)證了格式在時(shí)間方向的收斂階是2-β階.
表1 不同參數(shù)下的時(shí)間收斂階