劉廣凱 全厚德 康艷梅 孫慧賢 崔佩璋 韓月明

1) (陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū)電子與光學(xué)工程系,石家莊 050003)

2) (西安交通大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,西安 710049)

3) (中國人民解放軍66389部隊,石家莊 050000)

針對雷達、通信系統(tǒng)的正弦中頻信號在低信噪比中難以接收的問題,提出一種經(jīng)隨機共振增強正弦信號的接收方法.通過分析正弦信號的隨機共振機理,引入判決時刻,將非自治的福克?普朗克方程(Fokker?Planck Equation,FPE)轉(zhuǎn)化為自治方程求解,得到FPE的含時間參量的周期定態(tài)解;在得到隨機共振輸出粒子的概率密度基礎(chǔ)上,通過分析能量接收、匹配濾波接收特點,提出基于二次多項式的接收結(jié)構(gòu),通過使偏移系數(shù)最大化,確定二次多項式系數(shù),初步確定了檢驗統(tǒng)計量;為進一步減小誤碼率,結(jié)合“N次采樣取平均”思想,根據(jù)中心極限定理,將問題轉(zhuǎn)換為高斯分布下的假設(shè)檢驗問題,最終提出了隨機共振增強正弦信號的二次多項式接收方法和處理流程.仿真驗證了理論的正確性,并得到： 在最佳匹配隨機共振參數(shù)的限制下,當N=500時,二次多項式接收結(jié)構(gòu)在信噪比大于－17 dB時誤碼率低于2.2 × 10－2.

1 引 言

傳統(tǒng)雷達、通信的中頻接收系統(tǒng)一般在信噪比(signal to noise ratio,SNR)大于0 dB時才能有效檢測和接收,如何使其中頻接收系統(tǒng)在強干擾或極低SNR的電磁環(huán)境中仍能正常工作,是軍事應(yīng)急通信研究的重點內(nèi)容之一.對偶序列跳頻(dual?sequence?frequency?hopping,DSFH)通信模式作為新型軍事應(yīng)急通信手段,通過傳輸碼元0和1分別選擇兩組偽隨機序列控制的跳頻載波信道,選中的作為通信信道,而未選中的作為對偶信道,接收端通過檢測信道占用情況判斷傳輸碼元[1,2].與傳統(tǒng)通信模式將信息調(diào)制在基帶部分有很大不同的是,DSFH以兩條射頻序列出現(xiàn)與否代表碼元0和1,其信息調(diào)制在射頻部分.這種信息調(diào)制方式?jīng)Q定了只要某一支路的中頻正弦信號存在,接收碼元就判決為此支路約定代表的碼元[2].且一般采用較低數(shù)據(jù)速率,作為新的抗干擾通信模式,多用于高速率軍事通信受到強干擾無法實施時的應(yīng)急通信.同時,一般采用超外差接收方式,其典型的中頻接收信號為正弦信號,是隨機共振(stochastic resonance,SR)系統(tǒng)的典型輸入信號形式之一.

SR作為一種非線性物理現(xiàn)象,當信號、噪聲與SR系統(tǒng)三者匹配時,噪聲通過非線性系統(tǒng)對信號檢測起到積極的增強作用,打破了以往認為噪聲總是有害的觀點.Benzi等[3]在對地球冰川期變化的研究中首次提出SR的概念,而后該現(xiàn)象在物理、生物、電子等領(lǐng)域得到印證[4?8],大量研究人員將其用于信號強度低于判決門限時的信號檢測接收問題[9].對于經(jīng)SR處理后的信號檢測接收問題,關(guān)鍵在于設(shè)計合理高效的接收結(jié)構(gòu),即檢驗統(tǒng)計量.不同信號環(huán)境對應(yīng)不同的最優(yōu)接收結(jié)構(gòu),對此問題,大量學(xué)者展開研究.Galdi等[10]在高斯白噪聲環(huán)境下,應(yīng)用最大似然檢測原理,分析了基于SR的最優(yōu)接收問題,給出了平均值、過零檢測和非相干檢測三種檢驗統(tǒng)計量,初步解決了SR與信號檢測結(jié)合的問題.Zozor和Amblard[11]針對非高斯噪聲條件,討論了SR系統(tǒng)作為預(yù)處理單元如何檢測正弦信號問題,并在小信號假設(shè)下應(yīng)用泰勒展開法,以SNR為指標得到了局部最優(yōu)接收結(jié)構(gòu)[12].Chen等[13,14]詳細討論了基于SR理論的信號檢測問題,推導(dǎo)了不同準則下的檢測概率和虛警概率,得到了廣義SR接收結(jié)構(gòu).Wang等[15]針對SR理論改進了傳統(tǒng)能量檢測結(jié)構(gòu),以SNR為指標,應(yīng)用朗之萬方程(Langevin equation,LE)從粒子軌道角度進行了數(shù)值仿真.Zhang等[16]在α穩(wěn)定噪聲情況下應(yīng)用SNR指標,通過SNR取極值的必要條件,分析了單門限檢測接收SR增強后的信號及最優(yōu)檢測門限問題.Zhang和Song[17]研究了色噪聲對邏輯SR信號的影響,得出在色噪聲環(huán)境下添加周期信號可以提高邏輯SR的檢測效果的結(jié)論.在得到合理高效的接收結(jié)構(gòu)后,關(guān)鍵在于得到有無正弦信號這兩種假設(shè)下檢驗統(tǒng)計量的輸出概率密度,即求解表征SR系統(tǒng)輸出概率密度的?？?普朗克方程(Fokker?Planck equation,FPE)方程;但由于FPE中非自治項的加入,使得輸出無定態(tài)解[18,19],文獻[20]針對小信號特點從線性化角度分析了FPE的解問題,文獻[21]應(yīng)用Meshless方法,得到了FPE的數(shù)值解,但目前所得的解形式很少應(yīng)用于信號檢測問題.

針對正弦信號經(jīng)SR系統(tǒng)增強后的檢測接收問題,通過分析正弦信號的SR機理,假設(shè)電磁粒子SR行為瞬時完成,引入判決時刻,將非自治的FPE轉(zhuǎn)化為自治方程求解,得到FPE的含時間參量的周期定態(tài)解;在得到SR輸出粒子的概率密度基礎(chǔ)上,通過分析能量接收、匹配濾波接收特點,提出基于二次多項式的接收方法,為進一步減小誤碼率,結(jié)合“N次采樣取平均”思想,根據(jù)中心極限定理,將問題轉(zhuǎn)換為典型的高斯分布下的假設(shè)檢驗問題,并給出了接收方法步驟和理論值;最后進行了仿真驗證.

2 隨機共振的信號增強機理分析

2.1 正弦信號的隨機共振描述

典型的隨機共振系統(tǒng)可由下面的朗之萬方程來描述：

其中a,b為非負參數(shù);Acos(ω0t+φ) 為弱的外部周期驅(qū)動信號;Γ(t) 是高斯白噪聲,滿足E[Γ(t)]=0,E[Γ(t)Γ(t+s)]=2Dδ(s) ,參數(shù)D稱為強度.運用線性響應(yīng)近似理論[3],可知系統(tǒng)(1)的長時間平均響應(yīng)為

由于經(jīng)典的隨機共振現(xiàn)象只能放大低頻信號,但在雷達、通信系統(tǒng)中,用作中頻信號的正弦波,其頻率一般在1 kHz左右,是典型大參數(shù)信號,因而無法直接應(yīng)用SR理論,必須應(yīng)用尺度變換將該中頻信號轉(zhuǎn)換為能被隨機共振機理處理的小參數(shù)信號.為此,引入以下歸一化變量代換[22]則(1)式轉(zhuǎn)化為

由此可見,我們的頻率尺度變換公式為ω0/a=2πf,即輸入信號經(jīng)過歸一化尺度變換后變?yōu)榈皖l信號,其頻率僅為原來的 1/a;當a足夠大時,ω0/a就足夠地小.相應(yīng)地,信號幅度變換公式為當a足夠大、b足夠小時,輸入信號經(jīng)過歸一化尺度變換后變成了弱信號.與此同時,噪聲強度變?yōu)榧唇o定的噪聲經(jīng)由尺度變換也變成了弱噪聲.

注意到直接對朗之萬方程(3) 模擬一次,可以得到隨機過程x(t) 的一條樣本軌道,而在實際的應(yīng)用當中,我們更關(guān)注的卻是大量樣本軌道的統(tǒng)計性質(zhì),因此常常需要對方程(3)做大量的隨機模擬.理論上,回避大量隨機模擬的方法是直接考慮隨機過程的概率密度函數(shù).設(shè)ρ(x,t) 為粒子在時刻t位于位置x的概率密度,其演化滿足FPE[23]

和自然邊界條件.由于方程(4)是一個變系數(shù)的線性方程,其定態(tài)解不存在,但是可以證明其存在周期定態(tài)解[4,18];特別地,在絕熱消去意義上,可以得到方程(4)的周期定態(tài)解形如

其中Z(t) 是與t有關(guān)的概率歸一化常數(shù).

2.2 SR增強后判決時刻的輸出概率密度

為了將概率密度函數(shù)(5)用于正弦信號的檢測接收問題,假設(shè)電磁粒子從瞬態(tài)進入周期定態(tài)的演化過程非?？?從而可忽略粒子從初始狀態(tài)向準平衡的周期定態(tài)演化的過渡時間;或者說,假定在引入判決時刻t0之時,電磁粒子的擴散運動已經(jīng)達到了周期定態(tài),且粒子在勢阱內(nèi)的停留時間遠大于穩(wěn)態(tài)過渡時間,即出現(xiàn)在勢阱內(nèi)的概率遠大于其他位置的概率.假設(shè)勢阱由雙穩(wěn)態(tài)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和正弦信號的極值點決定,從而以判決時刻t0時的周期定態(tài)概率密度表征SR輸出粒子在勢阱內(nèi)的概率密度.

其中積分上下限x1,x2由概率歸一化常數(shù)決定,對于對稱雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)x1=-x2.

從(6)式可以得到,某判決時刻的正弦信號相當于在SR系統(tǒng)中添加了線性漂移力,會使粒子向兩側(cè)勢阱牽引,增加粒子在勢阱的出現(xiàn)和停留概率;正的漂移力牽引粒子向正側(cè)勢阱聚集,負的漂移力牽引粒子向負側(cè)勢阱聚集,但由于SR系統(tǒng)輸出粒子的對稱性和正弦信號的周期性,最終粒子的輸出概率密度呈現(xiàn)對稱性.同時,由于正弦信號的周期性,不同判決時刻正弦信號的大小不同,決定的漂移力大小也不同;當判決時刻位于正弦信號的波峰或波谷位置時,引入的線性漂移力最大,粒子在勢阱的停留時間最長,此時的概率密度最大.

3 二次多項式接收方法

3.1 檢驗統(tǒng)計量設(shè)計

目前通信系統(tǒng)多采用能量檢測、包絡(luò)檢測或匹配濾波方式接收,均可以看作廣義二次多項式形式的接收方式,基于此思想,提出經(jīng)SR系統(tǒng)增強的正弦信號二次多項式接收結(jié)構(gòu)如圖1所示.

如圖1所示,混有噪聲的正弦信號經(jīng)過SR系統(tǒng),得到增強后的待檢測信號x(t) ,經(jīng)判決開關(guān)取樣,得到判決時刻t0的SR系統(tǒng)輸出值x(t0) ,即正弦信號波峰、波谷驅(qū)動SR系統(tǒng)的輸出值,此時x(t0)的概率密度可由(8)式計算得到.對x(t0) 進行二次多項式g(·) 運算,得到判決時刻的輸出值g(x0),且g(x0) 為正弦驅(qū)動信號處于波峰、波谷時,接收系統(tǒng)的輸出值;平均N個獨立同分布的g(x0) ,得到檢驗統(tǒng)計量Λ(t0) ;當Λ(t0)≥r0時判為H1(存在正弦信號),當Λ(t0)＜r0時判為H0(不存在正弦信號).

圖1 SR系統(tǒng)增強正弦信號的二次多項式接收結(jié)構(gòu)Fig.1.Quadratic polynomial receiving structure for sine signals enhanced by SR.

當檢驗統(tǒng)計量服從高斯分布時,誤碼率Pe與偏移系數(shù)d存在解析關(guān)系,且高斯分布時,偏移系數(shù)非高斯分布時,Pe與d負相關(guān)[6,25].非高斯分布的偏移系數(shù)d定義如下[6,25]：

當g(·) 在二次多項式函數(shù)形式的約束時,通過使偏移系數(shù)d最大,確定g(·) 的系數(shù).設(shè)二次多項式g(x)=l1x2+l2x+l3,則兩種假設(shè)下的偏移系數(shù)

由(8)式可得,二次多項式的偏移系數(shù)d(l1,l2,l3)與常數(shù)項l3無關(guān),僅由系數(shù)l1,l2和x的一至四階原點矩決定,且d(l1,l2,l3) 有線性偏移不變性.令則

令

將(10)式代入(9)式得

非高斯分布時,Pe與d負相關(guān)[6,25],所以欲得最小Pe,需計算最大d;通信系統(tǒng)多以最小誤碼率為準則,則問題轉(zhuǎn)化為

由函數(shù)取極值的必要條件得

設(shè)l1=ml2時即

求解(14)式可得m的數(shù)值解.此時g(x)=其在兩種假設(shè)下的期望和方差

其中μ1,σ1為g(x0) 在H1假設(shè)下的期望和標準差;μ0,σ0為g(x0) 在H0假設(shè)下的期望和標準差.

至此,經(jīng)SR系統(tǒng)增強的二次多項式接收正弦信號問題轉(zhuǎn)化為經(jīng)典的高斯分布下的假設(shè)檢驗問題.且正弦信號的接收中頻頻率先驗已知,當檢測到正弦信號存在時,接收碼元判定為“1”;否則判為“0”;以最小錯誤概率為準則,則誤碼率

其中r0為判決門限;μ1,μ0為兩種假設(shè)下g(x0) 單元的期望;σ1,σ0為兩種假設(shè)下g(x0) 單元的標準差.

對于最小錯誤概率準則,判決門限在兩種假設(shè)下概率密度相等,即f1(r0)=f0(r0) 時,Pe取得最小值,即

化簡得

則判決門限r(nóng)0可由(19)式數(shù)值計算得到.

3.2 接收算法流程

根據(jù)3.1節(jié)的理論,經(jīng)SR增強正弦信號的二次多項式接收算法如下：

1)根據(jù)(6)式計算兩種假設(shè)下SR系統(tǒng)輸出的概率密度函數(shù)ρ(x,t|H1) ,ρ(x,t|H0) 和一至四階原點矩μ11,u12,μ13,u14和μ01,u02,μ03,u04;

2)根據(jù)(10)和(14)式確定g(x) 的系數(shù)l1,l2;

3)根據(jù)(15)式計算g(x) 在兩種假設(shè)下的期望μ1,μ0和標準差σ1,σ0;

4)根據(jù)(19)式計算最小錯誤概率準則下的判決門限r(nóng)0;

5)根據(jù)(17)式計算最小錯誤概率Pe.

4 仿真實驗

通過搭建基于SR增強的二次多項式接收正弦信號的Simulink模型,對比分析理論值和仿真值,驗證理論推導(dǎo)的正確性.仿真參數(shù)如下： 正弦信號頻率為1 kHz,中頻采樣率為200 kHz,最佳匹配SR的噪聲功率值參見文獻[22]的表3.

4.1 正弦信號經(jīng)SR系統(tǒng)后的時、頻域波形

混合強噪聲的正弦信號時域、頻域波形分別見圖2(a)和圖2(b),經(jīng)SR系統(tǒng)增強輸出后的時域、頻域波形分別見圖2(c)和圖2(d).當輸入SNR=－18 dB時,時域圖(圖2(a))和頻域圖(圖2(b))呈現(xiàn)出雜亂的、無規(guī)律的,無法看到1 kHz正弦信號分量的任何特征;然而經(jīng)SR系統(tǒng)處理后,時域圖(圖2(c))出現(xiàn)周期性特征,說明存在周期分量信號;通過頻域圖(圖2(d))觀察到1 kHz出現(xiàn)明顯的信號分量(采樣點數(shù)20000個,頻率分辨率10 Hz,所以峰值出現(xiàn)在99.95處),且輸出全局SNR為－14.0957 dB,提高了3.9043 dB.這是因為SR單元對信號的處理可相當于非線性低通濾波,會增強低頻區(qū)的某些頻率分量,減弱其他的頻率分量.但與線性濾波器只改變輸出頻譜結(jié)構(gòu),不改變輸出各頻率的概率密度的性質(zhì)不同的是,SR單元在改變頻譜結(jié)構(gòu)的同時,也改變了輸出粒子的概率密度(見圖3).經(jīng)過SR系統(tǒng)后,平坦分布的高斯白噪聲將向低頻區(qū)聚集,使低頻區(qū)能量變大,和低頻正弦信號一起驅(qū)動粒子在雙穩(wěn)態(tài)勢壘之間躍遷,時域信號出現(xiàn)一定的周期特性,頻域觀察更顯著,改變了含噪信號的頻譜結(jié)構(gòu),宏觀上表現(xiàn)為SNR增大.

4.2 正弦信號經(jīng)SR系統(tǒng)增強后的概率密度

正弦信號未經(jīng)SR處理的粒子概率密度如圖3(a)所示,經(jīng)SR系統(tǒng)增強后在不同位置的ρ(x,t)理論值和仿真值如圖3(b)所示,其部分局部如圖3(c)所示.黑色實線為有驅(qū)動力時的ρ(x,t0|H1),紅色虛線為無驅(qū)動力時的ρ(x,t0|H0) ,黑色實線為選取兩個不同的判決時刻,即分別為的對應(yīng)時刻,無驅(qū)動力的情況可視為的對應(yīng)時刻.在未經(jīng)SR處理之前,正弦信號淹沒在高斯噪聲之中,且SNR極低,粒子的概率分布情況絕大部分表征了高斯噪聲的性質(zhì),因信號強度相較噪聲太小,導(dǎo)致有無信號時,兩種假設(shè)下的概率密度幾乎無差別,圖3(a)很好地說明了這一點.經(jīng)過SR處理之后,粒子的分布不再服從高斯分布,體現(xiàn)了SR的非線性作用;同時理論和仿真曲線都表明,引入判決時刻的正弦信號相當于系統(tǒng)中添加了線性漂移力,會牽引粒子向兩側(cè)勢阱聚集,增長粒子在穩(wěn)態(tài)勢阱的駐留時間,增加粒子在勢阱的出現(xiàn)概率,從而加大兩種不同假設(shè)下ρ(x,t) 的差異,更加有利于區(qū)分有無正弦信號這兩種假設(shè),提高正弦信號的檢測能力.且根據(jù)兩條不同判決時刻的黑色實線可看出,不同判決時刻對應(yīng)的正弦信號數(shù)值大小不同,決定的線性漂移力也不同,從而在兩側(cè)勢阱的概率也不同;當判決時刻位于正弦信號的波峰或波谷位置時,引入的線性漂移力最大,SR系統(tǒng)的粒子在勢阱的停留時間最長,在勢阱的概率密度也相應(yīng)最大.從濾波角度來看,輸入粒子的高斯分布特性經(jīng)過SR單元處理后,變?yōu)榉歉咚狗植?但同時也可看到,有無信號驅(qū)動下SR輸出概率密度差異較小,導(dǎo)致直接將SR應(yīng)用于DSFH的信號檢測出現(xiàn)較大的虛警;故而設(shè)計二次多項式接收結(jié)構(gòu)和N次判決平均,進一步擴大接收檢驗統(tǒng)計量在有無信號下的概率密度差異,提高SR應(yīng)用于DSFH的接收性能.

圖3 粒子處于不同位置時的概率密度(輸入SNR=－14 dB dB,噪聲功率 σ2=4 ,信號幅度 A=0.4 ,SR系統(tǒng)參數(shù) a=1×104 ,b=2.6406×1012) (a)未經(jīng)SR處理的粒子的分布概率;(b)經(jīng)SR處理后粒子的分布概率;(c)經(jīng)SR處理后粒子的分布概率局部圖Fig.3.Probability density function of particles of SR (input SNR=－14 dB,the noise intensity σ2=4 ,signal amplitude A=0.4 ,parameters of system a=1×104 ,b=2.6406×1012)： (a) The probability density of particles before SR processed;(b) the prob?ability density of particles after SR processed;(c) the partial of probability density of particles after SR processed.

4.3 不同判決點數(shù)的系統(tǒng)判決時刻輸出

不同判決點數(shù)N時系統(tǒng)在判決時刻的輸出仿真值如圖4所示,圖4(a)為單次檢驗統(tǒng)計量g(x0)的波形,圖4(b)為g(x0) 的多次(N=10)平均波形.可以看出不同N時,對于檢驗統(tǒng)計量g(x0) 的發(fā)散程度不同.這是因為判決時刻時,粒子的運動大部分集中于勢阱內(nèi),其位置由勢阱決定;但同時受到噪聲影響,粒子不會在勢阱內(nèi)靜止不動,而是在一定范圍內(nèi)抖動,出現(xiàn)圖4(a)中情形,其平衡位置就是勢阱的大概位置.圖4(b)為經(jīng)過N次平均之后的波形,進一步體現(xiàn)了平衡位置所在,同時減小了隨機變量g(x0) 的抖動范圍.從而證明了N次平均統(tǒng)計量更有利于提高判決準確性.

圖4 不同N時 g(x0) 的輸出值(輸入SNR=－18 dB,噪聲功率 σ2=4 ,信號幅度 A=0.25 ,SR系統(tǒng)參數(shù) a=1×104 ,b=3.3856×1012) (a) N=1時檢驗統(tǒng)計量的時域波形;(b) N=10時檢驗統(tǒng)計量的時域波形Fig.4.Output of g(x0) at different N (input SNR=－18 dB,the noise intensity σ2=4 ,signal amplitude A=0.25 ,parameters of system a=1×104 ,b=3.3856×1012)： (a) The waveform of test statistics when N =1;(b) the waveform of test statistics when N =10.

圖5 不同N時g(x0)的輸出概率密度(輸入SNR=－14 dB,噪聲功率 σ2=4 ,信號幅度A=0.4,SR系統(tǒng)參數(shù)a=1×104,b=2.6406×1012 ,g(x)=x2+0.0701x) (a) N=1時粒子的分布概率;(b) N=10時粒子的分布概率;(c) N=50時粒子的分布概率;(d) N=100時粒子的分布概率Fig.5.Output probability density function of g(x0) at different N (input SNR=－14 dB,the noise intensity σ2=4 ,signal amp?litude A=0.4 ,parameters of system a=1× 104,b=2.6406×1012 ,g(x)=x2+0.0701x)： (a) The output probability density when N =1;(b) the output probability density when N=10;(c) the output probability density when N=50;(d) the output prob?ability density when N=100.

不同判決點數(shù)N時系統(tǒng)的輸出概率密度理論值和仿真值如圖5所示,理論值為由E[g(x0)]和σ[g(x0)]確定的高斯分布,仿真值為系統(tǒng)的輸出頻率.從圖5(a)和圖5(b)可以看出,在N不符合中心極限定理條件時,系統(tǒng)輸出的頻率與高斯分布的概率密度相差較大;從圖5(c)和圖5(d)可以看出,當N＞ 50時,符合中心極限定理條件,系統(tǒng)輸出的頻率與相應(yīng)的高斯分布符合較好;且隨著N的增大,系統(tǒng)輸出的方差σ2/N減小,粒子的聚集性更加集中,在均值附近出現(xiàn)的概率更大,更加有利于區(qū)分兩種不同的假設(shè),理論和仿真均說明這一點.

4.4 不同接收結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)輸出誤碼率

不同接收結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)輸出誤碼率如圖6所示.可以看到,直接N次累積平均接收結(jié)構(gòu)的誤碼率最大,其次是能量接收結(jié)構(gòu),二次多項式g(x) 接收結(jié)構(gòu)的誤碼率最小;驗證了二次多項式接收結(jié)構(gòu)的性能優(yōu)于能量接收和直接累積平均接收結(jié)構(gòu),但三者性能相差不大.這是因為N次累積平均接收結(jié)構(gòu)與包絡(luò)接收一致,而能量接收與包絡(luò)接收性能相差無幾.根據(jù)“3.2節(jié) 接收算法流程”中第二步： “根據(jù)(10)式和(14)式確定g(x) 的系數(shù)l1,l2”,同時依據(jù)偏移系數(shù)d的線性偏移不變性,可確定此時二次多項式g(x) 接收結(jié)構(gòu)的最優(yōu)系數(shù)為： 二次項系統(tǒng)為1,一次項系數(shù)分別為[0.4616,0.3312,0.2291,0.1421,0.1002,0.0701],常數(shù)項無影響,一次項系數(shù)較二次項系統(tǒng)相差較大,起主要作用的是二次項系數(shù),所以和能量接收性能相差不大.同時,不同接收結(jié)構(gòu)主要改變的是不同假設(shè)情況下系統(tǒng)輸出的期望,對于方差影響不大;而在高斯分布時系統(tǒng)輸出的誤碼率主要由方差決定;所以三者接收性能差別不大.

圖6 不同接收結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)輸出誤碼率Fig.6.Output bit error ratio of different receiving structure.

4.5 不同判決點數(shù)時系統(tǒng)輸出誤碼率

不同判決點數(shù)時系統(tǒng)輸出誤碼率如圖7所示.可以看到,隨著判決點數(shù)N的增大,系統(tǒng)輸出誤碼率越來越小,理論和仿真曲線均是如此.這是因為當接收結(jié)構(gòu)一定時,系統(tǒng)輸出的期望是一定的,不同判決點數(shù)決定的是系統(tǒng)輸出的方差;在中心極限定理條件下,系統(tǒng)輸出在兩種假設(shè)時均服從高斯分布,其方差為σ2/N;隨著N的增大,方差減小,兩種假設(shè)的分離度越來越大,檢測接收的性能會越來越好.采用N點平均判決,必須確保一個碼元周期內(nèi)存在N個可供判決的波峰、波谷值;即判決點數(shù)N越多,需要正弦信號在一個碼元時間內(nèi)的周期越多,對于系統(tǒng)的采樣頻率和正弦信號載頻一定時,必須降低碼元速率,即通信系統(tǒng)中以“有效性換可靠性”思想的體現(xiàn).在忽略兩種假設(shè)輸出概率密度差別二元對稱信道條件下,單符號的平均最大信息量c與誤碼率關(guān)系為c=1+Pelog2(Pe)+(1-Pe)log2(1-Pe),采用N點平均判決時,超外差接收的DSFH模式在某SNR條件下的最大信息速率R與誤碼率關(guān)系為Pelog2(Pe)+(1-Pe)log2(1-Pe)].當N=500時,二次多項式接收結(jié)構(gòu)在SNR＞ －17 dB時誤碼率低于 2.2×10-2,可應(yīng)用于DSFH通信模式的軍事應(yīng)急通信.

圖7 不同N時的二次多項式接收結(jié)構(gòu)的誤碼率Fig.7.Output bit error ratio of quadratic polynomial re?ceiving structure at different N.

5 總 結(jié)

SR系統(tǒng)在輸入信號、噪聲和系統(tǒng)參數(shù)匹配的情況下,對低頻小信號有天然的共振效果,通過過采樣將超外差接收的DSFH中頻正弦信號等效到采樣頻帶的低頻區(qū),此時噪聲會與低頻信號一起提高低頻區(qū)響應(yīng);加大了極低SNR下有無信號的區(qū)別,更有利于信號檢測接收.同時,SR應(yīng)用于DSFH的信號檢測,并不會改變DSFH空域信號的窄帶特性,判決時刻對同步要求較低,非常適合于極低SNR下的軍事應(yīng)急通信場景,進一步擴展了軍事應(yīng)急通信的可用手段.信號檢測只關(guān)注在判決時刻的檢驗統(tǒng)計量情況,據(jù)此特點,一改傳統(tǒng)“先確定檢驗統(tǒng)計量,再確定判決時刻”的處理方法;同時根據(jù)雙穩(wěn)態(tài)SR的勢阱特點,在確定檢驗統(tǒng)計量之前,引入判決時刻,巧妙地將非自治FPE轉(zhuǎn)換為自治FPE求解.根據(jù)SR和信號檢測的特點,合理改變判決時刻與檢驗統(tǒng)計量的處理順序的思想,以及所得ρ(x,t) 的求取方法及結(jié)果為SR應(yīng)用于信號檢測接收問題提供了借鑒;所提的二次多項式接收方法進一步補充了正弦信號經(jīng)SR系統(tǒng)增強后的接收策略.同時,多項式接收結(jié)構(gòu)的冪次受系統(tǒng)穩(wěn)定性的約束,這也是下一步的主要研究內(nèi)容.