彭一鳴 薛煜 肖光宗 于濤 謝文科? 夏輝 劉爽 陳欣 陳芳琳 孫學成

1) (中南大學物理與電子學院,長沙 410083)

2) (國防科技大學前沿交叉學科學院,長沙 410073)

應用螺旋譜分析理論,推導了相干合成渦旋光束螺旋譜分量的位置和大小,數值分析驗證了理論推導的正確性.基于上述譜分析理論,可將螺旋譜分析結果作為相干合成渦旋光束質量評價函數并指導相干合成參數優(yōu)化.結果表明： 隨著子光束數量和束腰半徑的增加、組束環(huán)半徑的減少可提高目標合成拓撲荷的模式純度,同時獲得高質量渦旋光束.這與采用桶中功率等傳統(tǒng)評價函數得到的結論具有一致性.

1 引 言

渦旋光束是在傳播方向上中心強度或軸向強度為零、相位具有螺旋上升或下降梯度分布的環(huán)形光束,又稱暗中空光束[1].與普通高斯光束相比,渦旋光束具有許多優(yōu)點,例如自身攜帶軌道角動量、暗中空結構等,這些獨特性質在自由空間光通信[2,3]、光學微操控[4?6]、量子信息處理[7]、光學測量[8]、超分辨成像[9]、激光加工和材料處理[10]等領域有著重要的應用.近年來隨著人們對渦旋光束研究的深入,高功率渦旋光束的應用需求也在不斷增加.在光學微操控中,需要高功率渦旋光束實現(xiàn)高驅動力的微粒操控[11,12];對于自由空間光通信,為實現(xiàn)遠距離穩(wěn)定傳輸,提高系統(tǒng)信噪比,需要高功率、高質量的渦旋光束[13];在激光加工和材料處理領域,激光消融和表面燒蝕等應用也對渦旋光束的功率提出了更高需求[10].

傳統(tǒng)產生渦旋光束的方法有計算全息法[14]、螺旋相位板法[15]、空間光調制器法[16]、幾何模式轉換法[17,18]等.但是,受衍射效率的限制計算全息法僅適合低階渦旋光束的產生;空間光調制器無法處理高功率光束;高質量螺旋相位板制作困難;幾何光學模式轉換法對光學器件的加工制作要求較高,轉換系統(tǒng)結構復雜且不易控制渦旋的參數.相比之下,相干合成渦旋光束在降低系統(tǒng)成本、提高熱管理效率和靈活光束控制等方面都具有明顯的優(yōu)勢.基于相干合成技術,Yu等[19]和Xie等[20]已經實現(xiàn)高光束質量特定渦旋光束的相干合成,且系統(tǒng)架構具有向高功率拓展的優(yōu)勢.

在實際應用中,對光束質量進行有效評價是非常必要的.針對不同應用,人們定義了不同光束質量評價函數,例如聚焦光斑尺寸、遠場發(fā)散角、斯特列爾比、衍射極限倍數β因子、光束參數乘積、桶中功率和M2因子等,也形成了多種檢測方法[21?23].對于相干合成渦旋光束,傳統(tǒng)分析方法主要利用桶中功率、相關系數等.但這些評價函數均基于強度分布定義,只能對強度分布進行評價,而不能反映合成渦旋光束相位特征.

本文應用螺旋譜分析理論,對相干合成貝塞爾?高斯(Bessel?Gaussian,BG)渦旋光束進行定量譜分析.理論推導了相干合成渦旋光束螺旋譜分量的位置和大小.以目標譜分量純度為評價函數對合束子光束數量、子光束束腰半徑、組束環(huán)半徑等參數進行了優(yōu)化,驗證了其作為相干合成渦旋光束評價函數的可行性,本文對深入理解相干合成渦旋光束的技術本質具有一定參考意義.

2 理論基礎

2.1 渦旋光束譜分析理論

柱坐標系下,沿z軸傳輸的渦旋光束復振幅表達式為

其中E0表示振幅,r為軸向距離,?為方位角,z是傳輸距離,l表示拓撲荷數,k=2π/λ為波數,λ為波長.由于任意z處,kz為常數,所以只考慮螺旋相位項 exp(-ilφ).

為了定量分析渦旋光束螺旋相位譜特征,這里引入螺旋諧波分析方法,設有任意l和l′階螺旋諧波函數分別為 exp(ilφ) 和 exp(il′φ) ,則

即,螺旋諧波函數構成一組完備正交基.因此,設任意光場復振幅w(r,φ,z) 可在諧波函數exp(ilφ)張成的線性空間進行展開,即

拓撲荷數為l的諧波與整個光束能量的比值即為相對功率或第l階模式的純度,其表達式為

利用上述螺旋譜分析理論可求得相干合成渦旋光束中不同譜分量的相對功率或純度.

2.2 相干合成渦旋光束螺旋譜理論分析

對環(huán)形排列的高斯光束陣列加載離散渦旋相位,相干合成n階BG渦旋光束.源平面高斯光束陣列及相位分布如圖1(a)和圖1(b)所示.具有離散螺旋相位的高斯光束陣列在自由空間的傳播方程為[24]

其中

M是子光束數量,R是組束環(huán)半徑;為z處光斑半徑,w0是源平面高斯子光束束腰半徑;為z處的曲率半徑;為高斯光束的共焦參數;m=0,1,是第m束子光束中心與x軸的夾角,是第m束子光束額外附加的相位,n是拓撲荷數,故相鄰子光束間相位相差單位為弧度.

當M=12,n=2,R=1.2 mm,w0=0.24 mm時,子光束陣列及相位分布如圖1(a)和圖1(b)所示,根據(6)和(7)式,計算z=2 m處與光軸垂直平面內的合成光場強度、相位分布如圖1(c)和圖1(d)所示,對比圖1(c)與圖1(e),圖1(d)與圖1(f)可見,(6)和(7)式所示的相干合成渦旋光束是可行的.

結合譜分析理論,任意z平面處相干合成渦旋光束第l階螺旋諧波振幅為

由(4)式對al(r,z) 積分得l階螺旋諧波能量Cl為

圖1 M=12,n=2,R=1.2 mm,w0=0.24 mm時的高斯光束陣列 (a)源平面空間分布;(b)源平面相位分布;(c)傳輸2 m后合成渦旋光束強度分布;(d)傳輸2 m后合成渦旋光束相位分布;(e)標準2階BG渦旋光束強度分布;(f)標準2階BG渦旋光束相位分布Fig.1.Gaussian beam array with M=12,n=2,R=1.2 mm,w0=0.24 mm： (a) Source plane spatial distribution;(b) source plane phase distribution;(c) light field distribution of synthetic vortex beam after 2 m transmission;(d) phase distribution of syn?thetic vortex beam after 2 m transmission;(e) light field distribution of standard 2nd order BG vortex beam;(f) phase distribution of standard 2nd order BG vortex beam.

即可計算出相干合成光束l階諧波的能量占比或模式純度Pl.

為了進一步探究相干合成渦旋光束螺旋譜位置,可令

則

將(11)式代入(8)式得

又因為M束子光束光場分布完全相同,故合成光場具有周期性,即

根據(13)式,利用積分換元可將(12)式化簡為

觀察(14)式發(fā)現(xiàn),當且僅當n-l=α·M(α為任意整數),即l=n-α·M時,式中

可通過洛必達法則進行等價無窮小化簡,得出

此時有al=0 ,即相應的螺旋譜分量Pl=0.也就是說,當

滿足時,拓撲荷數為l的螺旋諧波才會在相干合成渦旋光束中出現(xiàn).這一結論說明能夠通過子光束數量M和目標合成拓撲荷數n來確定相干合成光束非0譜的位置,此結論是本文的主要理論研究結果.

2.3 相干合成渦旋光束螺旋譜數值分析

以M=8 ,n=1 為例,計算了w0=0.2 mm,R=2.1 mm,λ=632.8 nm時,z=10 m處相干合成渦旋光束的強度和相位分布如圖2(a)和圖2(b)所示.根據(8)式計算得到非0譜主成分振幅系數分別是a-15,a-7,a1,a9和a17,根據(3)式,將主成分線性疊加后得到z=10 m處重建光場的強度分布和相位分布如圖2(c)和圖2(d)所示.對比圖2(a)與圖2(c),圖2(b)與圖2(d)發(fā)現(xiàn),螺旋諧波疊加光場與原相干合成渦旋光束的強度分布和相位分布幾乎完全一致,這充分驗證了譜分析過程的正確性.

根據(9)式可計算得到M不同時,目標合成拓撲荷n為1的相干合成渦旋光束螺旋譜分布及大小,如圖3(a)－(c)所示.

圖2 z=10 m處相干合成渦旋光束的(a)強度分布和(b)光束相位分布;螺旋諧波重建的(c)強度分布和(d)相位分布Fig.2.Target plane at z=10 m： (a) Light field distribu?tion of coherent synthetic vortex beam;(b) phase distribu?tion of coherent synthetic vortex beam;(c) light field distri?bution of spiral harmonic reconstruction light field;(d) phase distribution of spiral harmonic reconstruction light field.

圖3(a)中,當M為8時,拓撲荷為1的螺旋諧波相對功率最高,為31.97%,正是相干合成渦旋光束的目標拓撲荷.根據譜分析理論,可以預測合成光束非0譜必然出現(xiàn)在l=1-8α(α為任意整數)等位置處,如l=－15,－7,9,17等主成分純度分別為11.53%,25.69%,22.20%和8.62%;同樣,如圖3(b)所示,當M=12時,P1=45.61%,其他非0成分出現(xiàn)在l=1-12α(α為任意整數)等位置處,如l=－23,－11,13,25等主成分純度分別為4.14%,26.38%,21.20%和2.68%;如圖3(c)所示,M=16時亦是如此.這與相干合成渦旋光束螺旋譜分布公式(16)所預測的譜成分位置結論完全一致.

3 目標譜純度用于相干合成光束質量評價與參數優(yōu)化

3.1 基于譜分析理論的相干合成渦旋光束參數優(yōu)化

3.1.1 子光束數量M

根據(7)和(9)式,計算了n=1,w0=0.2 mm,R=2.1 mm,λ=632.8 nm時,M=8和M=16兩種情況z=10 m處相干合成BG渦旋光束的強度分布、相位分布以及螺旋譜分布,分別如圖4(a)、圖4(c)、圖4(e)和圖4(b)、圖4(d)、圖4(f)所示.M=8和M=16時拓撲荷n=1的螺旋諧波相對功率分別為31.97%和60.61%.可見,其他參數相同時,M越大合成渦旋光束越接近標準拓撲荷為1的BG渦旋光束.進一步對比發(fā)現(xiàn)：M=16時合成渦旋光束環(huán)外旁瓣明顯較少,主環(huán)能量更高,光束質量更好;同時合成相位分布中環(huán)上交叉條紋更少,相位分布更加光滑.

圖3 相干合成渦旋光束螺旋譜分布及大小(其中n=1,z=10 m,w0=0.2 mm,R=2.1 mm) (a) M=8;(b) M=12;(c) M=16Fig.3.Coherent synthetic vortex beam spiral spectrum distribution and size (n=1,z=10 m,w0=0.2 mm,R=2.1 mm)： (a) M=8;(b) M=12;(c) M=16.

當w0=0.2 mm,R=2.1 mm,z=10 m 時,不同目標拓撲荷相干合成BG渦旋光束中心譜純度Pl隨子光束數量M的變化趨勢如圖5所示.可見,隨著M不斷增大,非目標螺旋譜分量逐漸減小至0,目標合成拓撲荷的螺旋諧波純度不斷增加,趨近100%,合成光束趨近標準BG渦旋光束.

3.1.2 源平面束腰半徑

根據(7)和(9)式,計算了n=1,M=12,R=2.1 mm,λ=632.8 nm時w0=0.15 mm和w0=0.3 mm兩種情況z=10 m處相干合成BG渦旋光束的強度分布、相位分布以及螺旋譜分布,分別如圖6(a)、圖6(c)、圖6(e)和圖6(b)、圖6(d)、圖6(f)所示.w0=0.15 mm和w0=0.3 mm時拓撲荷n=1的螺旋諧波相對功率分別為35.12%和67.75%.可見,其他參數相同時,w0越大合成渦旋光束越接近標準拓撲荷為1的BG渦旋光束.進一步對比發(fā)現(xiàn)：w0=0.3 mm時合成渦旋光束環(huán)外旁瓣明顯較少,主環(huán)能量更高,光束質量更好;同時合成相位分布中,環(huán)上交叉條紋更少,相位分布更加光滑.

當M=12,R=2.1 mm,z=10 m時,不同目標拓撲荷相干合成BG渦旋光束中心譜純度Pl隨子光束束腰半徑w0的變化趨勢如圖7所示.可見,隨著w0不斷增大,非目標拓撲荷螺旋譜分量逐漸減小至0,目標合成拓撲荷的螺旋諧波純度不斷增加,趨近100%,合成光束趨近標準BG渦旋光束.

3.1.3 組束環(huán)半徑

根據(7)和(9)式,計算了n=1,M=12,w0=0.2 mm,λ=632.8 nm時,R=1 mm和R=2.2 mm兩種情況z=10 m處相干合成BG渦旋光束的強度分布、相位分布以及螺旋譜分布,分別如圖8(a)、圖8(c)、圖8(e)和圖8(b)、圖8(d)、圖8(f)所示.R=1 mm和R=2.2 mm時拓撲荷n=1的螺旋諧波相對功率分別為88.92%和43.62%.可見,其他參數相同時,R越小合成渦旋光束越接近標準拓撲荷為1的BG渦旋光束.進一步對比發(fā)現(xiàn)：R=1 mm時合成渦旋光束環(huán)外旁瓣明顯較少,主環(huán)能量更高,光束質量更好;同時合成相位分布中環(huán)上交叉條紋更少,相位分布更加光滑.

圖4 相干合成BG渦旋光束(n=1,z=10 m,w0=0.2 mm,R=2.1 mm) (a) M=8時強度分布;(b) M=16時強度分布;(c) M=8時相位分布;(d) M=16時相位分布;(e) M=8時螺旋譜分布;(f) M=16時螺旋譜分布Fig.4.Coherently synthesized BG vortex beam (n=1,z=10 m,w0=0.2 mm,R=2.1 mm)： (a) M=8,light intensity distribu?tion;(b) M=16,light intensity distribution;(c) M=8,phase distribution;(d) M=16,phase distribution;(e) M=8,spiral distri?bution;(f) M=16,spiral distribution.

圖5 不同階合成渦旋光束拓撲荷模式純度Pl隨子光束數量M的變化趨勢(w0=0.2 mm,R=2.1 mm,z=10 m)Fig.5.Variation trend of the spectral purity Pl of the dif?ferent order synthetic vortex beams with the number of sub?beams M (w0=0.2 mm,R=2.1 mm,z=10 m).

當M=12,w0=0.2 mm,z=10 m時,不同目標拓撲荷相干合成BG渦旋光束中心譜純度Pl隨組束環(huán)半徑R的變化趨勢如圖9所示.由圖9可見,隨著R不斷增大,非目標拓撲荷螺旋譜分量逐漸增大,目標合成拓撲荷的螺旋諧波純度不斷減小,趨近0,更難相干合成標準BG渦旋光束.

圖6 相干合成BG渦旋光束(n=1,z=10 m,M=12,R=2.1 mm) (a) w0=0.15 mm時強度分布;(b) w0=0.3 mm時強度分布;(c) w0=0.15 mm時相位分布;(d) w0=0.3 mm時相位分布;(e) w0=0.15 mm時螺旋譜分布;(f) w0=0.3 mm時螺旋譜分布Fig.6.Coherently synthesized BG vortex beam (n=1,z=10 m,M=12,R=2.1 mm)： (a) w0=0.15 mm,light intensity distri?bution;(b) w0=0.3 mm,light intensity distribution;(c) w0=0.15 mm,phase distribution;(d) w0=0.3 mm,phase distribution;(e) w0=0.15 mm,spiral distribution;(f) w0=0.3 mm,spiral distribution.

圖7 不同階合成渦旋光束拓撲荷模式純度Pl隨子光束束腰半徑w0的變化(M=12,R=2.1 mm,z=10 m)Fig.7.Variation trend of the spectral purity Pl of the dif?ferent order synthetic vortex beams with sub beam waist radius w0 (M=12,R=2.1 mm,z=10 m).

3.2 基于譜分析理論的相干合成渦旋光束質量評價

基于上文對相干合成參數M,w0,R的討論,我們發(fā)現(xiàn)合成光束螺旋譜分量的位置和大小直觀影響了相干合成渦旋光束的光束質量和螺旋相位的合成效果.目標合成拓撲荷的模式純度Pl越高,合成光束的環(huán)外旁瓣就會越少,主環(huán)能量更高,相位分布更光滑,光束質量更好,更接近連續(xù)渦旋相位的標準BG渦旋光束.這與采用傳統(tǒng)評價函數桶中功率等作為評價函數優(yōu)化的結論具有一致性.因此基于譜分析理論,我們可以通過計算相干合成渦旋光束目標拓撲荷的模式純度來定量評價渦旋光束質量.與此同時,綜合M,w0,R三個參數考慮,可通過占空比Q表示光束陣列圓形排布的緊密程度,其中調節(jié)M,w0,R的大小改變Q值,進而調控合成光場螺旋譜分量的分布和大小,指導渦旋光束的相干合成.

圖8 相干合成BG渦旋光束(n=1,z=10 m,M=12,w0=0.2 mm) (a) R=1 mm時強度分布;(b) R=2.2 mm時強度分布;(c) R=1 mm時相位分布;(d) R=2.2 mm時相位分布;(e) R=1 mm時螺旋譜分布;(f) R=2.2 mm時螺旋譜分布Fig.8.Coherently synthesized BG vortex beam (n=1,z=10 m,M=12,w0=0.2 mm)： (a) R=1 mm,light intensity distribu?tion;(b) R=2.2 mm,light intensity distribution;(c) R=1 mm,phase distribution;(d) R=2.2 mm,phase distribution;(e) R=1 mm,spiral distribution;(f) R=2.2 mm,spiral distribution.

圖9 不同階合成渦旋光束拓撲荷模式純度Pl隨組束環(huán)半徑R的變化(M=12,w0=0.2 mm,z=10 m)Fig.9.Variation trend of the spectral purity Pl of the dif?ferent order synthetic vortex beams with beam ring radius R (M=12,w0=0.2 mm,z=10 m).

4 結 論

本文基于渦旋光束譜分析理論準確地預測了相干合成渦旋光束螺旋譜分量的位置及占比,結果表明： 當子光束數量M和目標合成拓撲荷數n滿足n-l=α·M(α為任意整數)時,拓撲荷數為l的螺旋諧波才會在相干合成渦旋光束中出現(xiàn).此外,基于譜分析理論研究與相干合成仿真結果,驗證了將目標拓撲荷純度作為評價函數指導合束參數優(yōu)化的可行性,并得出結論： 隨著子光束數量和束腰半徑的增加、組束環(huán)半徑的減少可提高目標合成拓撲荷的模式純度,同時獲得高質量渦旋光束,這與采用桶中功率等傳統(tǒng)評價函數得到的結論具有一致性,與傳統(tǒng)基于強度定義的評價函數相互補充.本文對于深入理解相干合成渦旋光束的技術本質、相干合成參數的優(yōu)化具有一定的指導意義與應用價值.