張坤

摘要：多元函數(shù)積分學(xué)中，曲面積分是十分重要的內(nèi)容之一。它不僅拓展了一元函數(shù)積分學(xué)，還有其特殊的實(shí)際應(yīng)用。本文從對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的定義、投影面轉(zhuǎn)化以及高斯公式三個(gè)方面出發(fā)，結(jié)合計(jì)算方法的復(fù)雜性，通過(guò)典型例題探討對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算方法及應(yīng)注意的問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：對(duì)坐標(biāo)的曲面積分;高斯公式;典型例題

中圖分類(lèi)號(hào)：G648?????文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B????文章編號(hào)：1672-1578（2019）28-0183-02

1.問(wèn)題的提出

在物理應(yīng)用中我們常常碰到求穩(wěn)定流動(dòng)（流速與時(shí)間無(wú)關(guān)）的不可壓縮流體在單位時(shí)間內(nèi)流向有向曲面指定側(cè)的流體流量問(wèn)題。根據(jù)數(shù)學(xué)模型的建立我們得到了解決這一問(wèn)題方法即使用對(duì)坐標(biāo)的曲面積分。模型的建立是解決問(wèn)題的第一步，如何正確計(jì)算這個(gè)積分是我們第二步。下面我們通過(guò)一個(gè)典型例題來(lái)構(gòu)建我們計(jì)算對(duì)坐標(biāo)曲面積分的方法。

2.對(duì)坐標(biāo)的曲面積分方法

定義直接計(jì)算法：采用對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的定義直接計(jì)算。直接計(jì)算法思想直接，但可能計(jì)算較復(fù)雜。

投影面轉(zhuǎn)化法：利用對(duì)坐標(biāo)的曲面積分與對(duì)面積的曲面積分的聯(lián)系，借助轉(zhuǎn)化投影面，統(tǒng)一積分微元的方法。這一方法的特點(diǎn)是將對(duì)坐標(biāo)的曲面積分化歸到一個(gè)投影面上，而這個(gè)投影面的二重積分計(jì)算難度不大。

高斯公式計(jì)算法：當(dāng)曲面積分中的三個(gè)三元函數(shù)和積分曲面滿足高斯公式成立的條件時(shí)，我們可以使用高斯公式將對(duì)坐標(biāo)的曲面積分轉(zhuǎn)化為計(jì)算三重積分。該方法能將對(duì)坐標(biāo)曲面積分轉(zhuǎn)化為三重積分，計(jì)算難度有可能大幅度降低，但可能遇到不滿足高斯公式條件的情況，此時(shí)我們需要構(gòu)造條件讓題設(shè)滿足然后進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

典型例題：計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲面積分∫∫∑（z2+x）dydz-zdxdy，其中∑是拋物面z=2（x2+y2）介于平面z=0及z=2之間部分的下側(cè)，如圖

解法一（定義直接計(jì)算法）：∑在yoz面投影為Dyz：12y2≤z≤2，-2≤y≤2

∑=∑1+∑2，∑1∶x=2z-y2，（y，z）∈Dyz，朝前，

∑2∶x=-2z-y2，（y，z）∈Dyz，朝后

則∫∫∑（z2+x）dydz=∫∫∑1 （x2+x）dydz+∫∫∑2（z2+x）dydz

=∫∫Dyz（z2+2z-y2）dydz-∫∫Dyz（z2-2z-y2）dydz=2∫∫Dyz2z-y2dydz

=2∫2-2dy∫212y22z-y2dz=4π

同理：∑在xoy面投影為Dxy∶x2+y2≤4，∑∶z=12（x2+y2），（x，y）∈Dxy，朝下

∫∫∑-zdxdy=∫∫Dxy-12（x2+y2）（-dxdy）=12∫∫Dxy（x2+y2）dxdy=12∫2π0dθ∫20r2·rdr=4π

所以原式∫∫∑（z2+x）dydz-zdxdy=∫∫∑（z2+x）dydz+∫∫∑-2dxdy=4π+4π=8π

此題使用定義法需要分別計(jì)算兩個(gè)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分，而且這兩個(gè)曲面積分再轉(zhuǎn)化為二重積分時(shí)積分計(jì)算復(fù)雜度較大，容易出現(xiàn)計(jì)算失誤，從而使整體計(jì)算錯(cuò)誤。但此方法理解思路清晰簡(jiǎn)明。

解法二（投影面轉(zhuǎn)化法）：利用兩類(lèi)曲面積分之間的聯(lián)系，使用投影面轉(zhuǎn)換法。

∑在xoy面投影為Dxy∶x2+y2≤4，∑∶z=12（x2+y2），（x，y）∈Dxy，朝下，則∑上任意一點(diǎn)處切平面的法線向量（朝下）為（2x，2y，-2），

可得cosα=xx2+y2+z2，cosy=-1x2+y2+z2

∫∫∑（z2+x）dydz=∫∫∑（z2+x）cosαdS=∫∫∑（z2+x）cosα·1cosydxdy=∫∫∑（z2+x）·（-x）dxdy

原式∫∫∑（z2+x）dydz-zdxdy=∫∫∑（z2+x）·（-x）dxdy-zdxdy

=∫∫Dxy（（12（x2+y2））2+x）·（-x）dxdy-（12（x2+y2））dxdy

=∫∫Dxy（x2+12（x2+y2））dxdy=∫2π0dθ∫20（r2cos2θ+12r2）rdr=8π

此題使用投影面轉(zhuǎn)化法，首先需要將兩個(gè)積分部份化歸為一個(gè)，但是化歸為哪一個(gè)需要做出選擇，而選擇的方向決定了后面計(jì)算的難度，所以需要經(jīng)驗(yàn)判斷。其次要將其中一個(gè)坐標(biāo)面的積分化為另一個(gè)必須要清楚兩個(gè)坐標(biāo)面積分的轉(zhuǎn)換關(guān)系，此處將引入空間曲面與其在坐標(biāo)面的投影面之間的關(guān)系，而此關(guān)系又是使用曲面上一點(diǎn)處切平面的法線向量搭建的，需要學(xué)生有多元函數(shù)微分學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)。第三轉(zhuǎn)化為一個(gè)坐標(biāo)面的積分時(shí)仍然要考慮二重積分的計(jì)算方法。此方法有幾個(gè)非常關(guān)鍵但是又容易出錯(cuò)的步驟，只有通過(guò)多練習(xí)才能熟練掌握。

解法三（高斯公式計(jì)算法）：由于此題設(shè)不滿足高斯公式中關(guān)于閉曲面的條件，則需要添加輔助面∑′∶z=2，x2+y2≤4（朝上），使得題設(shè)中∑+∑′成為一封閉曲面外側(cè)且分片光滑，兩個(gè)三元函數(shù)z2+x在-z封閉曲面所圍區(qū)域Ω內(nèi)一階偏導(dǎo)存在并連續(xù)（其中Ω∶12（x2+y2）≤z≤2，x2+y2≤4），則

所以原式

此題使用高斯公式計(jì)算法，首先要判斷題設(shè)是否滿足高斯公式成立的條件，由于不滿足光滑曲面封閉，添加輔助面成為關(guān)鍵，特別要注意添加輔助面的側(cè)，這個(gè)側(cè)與題設(shè)的曲面的側(cè)結(jié)合要構(gòu)成封閉曲面的外側(cè)，如果不是外側(cè)是內(nèi)側(cè)那么要通過(guò)加符號(hào)改面?zhèn)榷?。其次添加的輔助面的曲面積分應(yīng)方更計(jì)算，否則使用此方面不僅沒(méi)有簡(jiǎn)化計(jì)算，反而增加了計(jì)算步驟使得計(jì)算過(guò)程更加復(fù)雜。

2.總結(jié)

我們可以看到三種方法都能有效的將對(duì)坐標(biāo)的曲面積分計(jì)算完成，定義直接計(jì)算理解簡(jiǎn)單清晰但轉(zhuǎn)化為二重積分后計(jì)算復(fù)雜度高，而投影面轉(zhuǎn)化法和高斯公式計(jì)算法理解和構(gòu)造有難度但轉(zhuǎn)化為二重積分后計(jì)算復(fù)雜度低。在解決實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行對(duì)坐標(biāo)的曲面積分計(jì)算時(shí)，不能只單純掌握一種方法，幾種方法配合使用才能在理解和計(jì)算之間找到最適合問(wèn)題的綜合方法。

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