潘文清

(南京市金陵中學(xué) 江蘇 南京 210016)

機械能守恒定律是很多物理現(xiàn)象遵循的重要規(guī)律，因此被列為高中物理的重要內(nèi)容，也是高考的必考內(nèi)容之一.機械能守恒定律涉及的問題一般難度大，較為靈活，綜合性強，解題過程復(fù)雜，從而成為高中物理學(xué)習(xí)的重點和難點.

筆者在學(xué)習(xí)過程中發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用機械能守恒定律解題需要明確以下3點：(1)研究對象是什么，即哪個物體或者哪些物體組成的系統(tǒng)機械能守恒；(2)運動過程是什么，即上述研究對象在哪個運動過程中機械能守恒；(3)運動狀態(tài)是什么，即上述運動過程的初始運動狀態(tài)和結(jié)束運動狀態(tài)是什么.值得注意的是，機械能中的勢能(重力勢能和彈性勢能)與位置有關(guān)，而機械能中的動能與速度有關(guān)，因此這里的運動狀態(tài)指位置和速度.

1 典型問題

圖1 例1情境圖

【例1】圖1所示輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)為κ，其一端固定于水平地面，另一端與質(zhì)量為mA的物塊A相連并在高度h1處平衡靜止不動，質(zhì)量為mB的物塊B從h2的高度無初速度自由下落至高度h1，在高度h1處與物塊A接觸后兩物塊粘連在一起并獲得共同的速度(可以認(rèn)為這一階段是在瞬間發(fā)生的)，然后兩物塊繼續(xù)向下運動并壓縮彈簧，求彈簧的最大壓縮量.

根據(jù)題意，分析出本題的3個運動過程和4個運動狀態(tài)(位置和速度)，如圖2所示，其中狀態(tài)2為物塊B剛剛接觸物塊A的瞬時，此時物塊A的速度仍為零，狀態(tài)3為物塊B與物塊A粘連在一起，并獲得共同速度的瞬時.

圖2 例1情境的狀態(tài)分析

(1)運動過程Ⅰ：狀態(tài)1-狀態(tài)2.這一過程中物塊B為自由落體運動，只有重力做功，其機械能守恒，也就是說，物塊B在運動過程Ⅰ中狀態(tài)1的機械能和狀態(tài)2的機械能相等，于是有

(1)

解得

(2)運動過程Ⅱ：狀態(tài)2-狀態(tài)3.根據(jù)題意，這一過程是瞬間發(fā)生的，故兩物塊的位置沒有變化，但兩物塊的速度均有突變，假設(shè)vA3=vB3=v3，則物塊A的速度由零突變?yōu)関3，物塊B的速度由vB2突變?yōu)関3，因此無論是物塊A和彈簧組成的系統(tǒng)的機械能，還是物塊B的機械能，亦或是物塊A、彈簧以及物塊B組成的系統(tǒng)的機械能都不守恒(兩物塊之間的接觸力做功).但由于這一過程是瞬間發(fā)生的，所以兩物塊組成的系統(tǒng)的動量守恒，也就是說，兩物塊組成的系統(tǒng)在運動過程Ⅱ中狀態(tài)2的動量和狀態(tài)3的動量相等，于是有

mBvB2=mAv3+mBv3

(2)

解得

(3)運動過程Ⅲ：狀態(tài)3-狀態(tài)4.這一過程中兩物塊一起向下運動壓縮彈簧，重力和彈力做功，兩物塊和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，也就是說，兩物塊和彈簧組成的系統(tǒng)在運動過程Ⅲ中狀態(tài)3的機械能和狀態(tài)4的機械能相等，于是有

(3)

其中x為狀態(tài)3(亦為狀態(tài)1)彈簧的壓縮量，根據(jù)物塊A的重力和彈簧的彈力相等，有mAg=κx，得

將其代入上式，解得

和

最后得彈簧的最大壓縮量

δ=x+a=

(4)

2 幾點思考

2.1 常見錯誤

求解本題的一個常見錯誤就是認(rèn)為兩物塊和彈簧組成的系統(tǒng)在全過程中機械能守恒，也就是說，兩物塊和彈簧組成的系統(tǒng)在全過程中狀態(tài)1的機械能和狀態(tài)4的機械能相等，于是有

(5)

解得

和

最后得彈簧的最大壓縮量

δ=x+a=

(6)

產(chǎn)生錯誤的原因是沒有注意到在運動過程Ⅱ中兩物塊之間的接觸力做功使得兩物塊和彈簧組成的系統(tǒng)的機械能減少而不守恒.為了避免這一錯誤，需要分析物塊在運動過程中有沒有速度突變.

2.2 舉一反三

在上述典型問題中，如果沒有物塊A(即mA=0)，物塊B在高度h1處與彈簧接觸并粘連在一起，其他條件不變.將mA=0代入式(4)和式(6)得到同樣的結(jié)果.事實上，由式(2)可知物塊B的速度沒有突變，物塊B和彈簧組成的系統(tǒng)在運動過程Ⅱ中機械能守恒，從而物塊B和彈簧組成的系統(tǒng)在全過程中機械能守恒.

在上述典型問題中，如果h2=h1，(即物塊B在高度h1處靜止釋放)，其他條件不變.將h2=h1代入式(4)和式(6)得到同樣的結(jié)果.事實上，這時就沒有運動過程Ⅰ，將vB2=0代入式(2)得vA3=vB3=v3=0，物塊A和物塊B均沒有速度突變，所以兩物塊和彈簧組成的系統(tǒng)在運動過程Ⅱ中機械能守恒，從而兩物塊和彈簧組成的系統(tǒng)在全過程中機械能守恒.

2.3 類似問題

【例2】如圖3所示，長為L的細(xì)繩一端固定在O點，另一端系一質(zhì)量為m的小球，開始時小球位于A點，OA與水平線的夾角為30°且OA=L.若將小球由A點靜止釋放，求小球運動到最低位置的速度.

圖3 例2情境圖

根據(jù)題意，分析出本題的3個運動過程和4個運動狀態(tài)(位置和速度)，如圖4所示.

圖4 例2情境的狀態(tài)分析

其中狀態(tài)2為細(xì)繩即將繃緊前的瞬時，此時小球的速度向下，狀態(tài)3為細(xì)繩剛剛繃緊的瞬時，此時小球的速度變?yōu)榇怪庇诩?xì)繩，狀態(tài)4為小球到達最低位置的瞬時.運動過程Ⅰ(狀態(tài)1-狀態(tài)2)為小球的自由落體運動，小球機械能守恒；運動過程Ⅱ(狀態(tài)2-狀態(tài)3)小球的速度方向發(fā)生突變，小球機械能不守恒，但小球在垂直于細(xì)繩方向的動量守恒；運動過程Ⅲ(狀態(tài)3-狀態(tài)4)為小球小球以O(shè)為圓心、L為半徑的圓周運動，小球機械能守恒.具體計算請讀者自己完成.

3 結(jié)束語

總之，應(yīng)用機械能守恒需要明確哪個(或哪些)物體組成的系統(tǒng)在哪個運動過程的初始運動狀態(tài)與結(jié)束運動狀態(tài)的機械能相等.此外，如果物體的運動速度(大小或方向)在運動過程中有突變，則該物體在這一運動過程的機械能一定是不守恒的，包含該物體在內(nèi)的系統(tǒng)的機械能在這一運動過程也一定是不守恒的.需要注意的是，如果物體的運動速度在運動過程中沒有突變，一般不能得出機械能一定守恒的結(jié)論.