王睿博

(電子科技大學(xué)信通學(xué)院 四川 成都 611731)

王啟州

(電子科技大學(xué)英才學(xué)院 四川 成都 611731)

吳彥旭

(電子科技大學(xué)信通學(xué)院 四川 成都 611731)

鄔劭軼 吳明和 滕保華

(電子科技大學(xué)物理學(xué)院 四川 成都 611731)

1 引言

受迫振動(dòng)是物理學(xué)中一個(gè)重要的內(nèi)容，在各個(gè)大學(xué)物理教科書和眾多學(xué)術(shù)文獻(xiàn)中均有介紹和討論[1～5].但是在教科書和相關(guān)論文中多是討論位移共振和速度共振，即討論通過改變策動(dòng)力的頻率而導(dǎo)致振子系統(tǒng)的振幅、速度等極大的情形，同時(shí)對速度共振時(shí)系統(tǒng)中各個(gè)力的功與共振時(shí)速度極大值的相互關(guān)系也鮮見討論.

本文將策動(dòng)力頻率和阻尼系數(shù)選作自變量，分別計(jì)算在兩個(gè)不同參數(shù)坐標(biāo)下阻尼力以及策動(dòng)力和回復(fù)力3個(gè)力所做的功，并通過分析阻尼力的功與速度共振的相互關(guān)系，更深入了解受迫振動(dòng)中的共振現(xiàn)象.

2 受迫振動(dòng)中功的表達(dá)式

設(shè)質(zhì)量為m，勁度系數(shù)為κ，阻尼系數(shù)為γ的振子系統(tǒng)，在回復(fù)力-κx，阻尼力-γv和策動(dòng)力F0cos(ωt)3個(gè)力作用下做受迫運(yùn)動(dòng)，其動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可表示為

x=Acos(ωt+φ0)

(2)

其中A為振幅，φ0為位移的初相，它們分別為[1,2]

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

3 受迫振動(dòng)中作用力做功的特點(diǎn)分析

3.1 速度共振頻率下作用力做功的特點(diǎn)

當(dāng)一個(gè)振子系統(tǒng)做受迫振動(dòng)時(shí)，可以通過改變策動(dòng)力頻率來分析系統(tǒng)的共振現(xiàn)象，從而看到人們常說的位移共振、速度共振等物理現(xiàn)象.求解A(ω)和ωA(ω)的極值，可以得到位移共振和速度共振時(shí)所對應(yīng)的兩個(gè)共振圓頻率分別為

(8)

為了深入理解速度共振時(shí)系統(tǒng)中的能量轉(zhuǎn)換情況，我們以策動(dòng)力頻率為自變量分別來分析阻尼力以及策動(dòng)力和回復(fù)力等3個(gè)力所做的功.

圖1 阻尼力、策動(dòng)力、回復(fù)力及合力的做功曲線

圖1中的參數(shù)分別設(shè)定為：阻尼β=0.7 N/(kg·m/s)，固有圓頻率ω0=2 rad/s，策動(dòng)力幅值f=1 N/kg.圖中線虛線、點(diǎn)劃線和點(diǎn)虛線3條虛線分別代表阻尼力以及策動(dòng)力和回復(fù)力所做的功，而實(shí)線代表合力所做的功，平行于縱軸的虛線標(biāo)記的頻率為速度共振圓頻率ω0.

可以看出，阻尼力、策動(dòng)力、回復(fù)力等3個(gè)分力所做的功都是關(guān)于策動(dòng)力頻率的單峰形態(tài)，但是做功峰值對應(yīng)的頻率不同，分別位于系統(tǒng)速度共振頻率的左右.阻尼力和策動(dòng)力做功的極值對應(yīng)的頻率大于系統(tǒng)速度共振頻率，而回復(fù)力做功的極值對應(yīng)的頻率則小于速度共振頻率.也就是說，系統(tǒng)處在速度共振頻率下，3個(gè)分力做的功都不是其極值.

但是在速度共振頻率下，策動(dòng)力和阻尼力在整個(gè)過程中始終相互抵消，即

Fdriving=fcos(ω0t)

(9)

fdamping=-2βv=

(10)

這就意味著，在速度共振時(shí)，策動(dòng)力做的正功始終彌補(bǔ)阻尼力的負(fù)功，于是此時(shí)系統(tǒng)的功完全由回復(fù)力決定，即在速度共振時(shí)系統(tǒng)相當(dāng)于處于沒有外力的簡諧運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，使得合力做功為極大值，從而使振子的速度為極大值.從圖1可以明顯看出，在速度共振時(shí)，3個(gè)分力做的功在ω0處都不是其極值，但是合力的功在ω0處卻是其極值.

3.2 小于或大于速度共振頻率時(shí)阻尼做功的特點(diǎn)

下面分析策動(dòng)力頻率不等于速度共振頻率時(shí)，阻尼系數(shù)對阻尼力做功的影響.我們以系統(tǒng)阻尼系數(shù)作為自變量，可以得到在策動(dòng)力頻率和固有頻率保持固定的條件下，阻尼力做功對阻尼系數(shù)的依賴關(guān)系圖.圖2為阻尼系數(shù)坐標(biāo)下阻尼力做功的圖像，其中參數(shù)設(shè)置為固有圓頻率ω0=2 rad/s、策動(dòng)力幅值f=1 N/kg.

圖2 阻尼系數(shù)坐標(biāo)下阻尼力的功

可以發(fā)現(xiàn)，在阻尼系數(shù)坐標(biāo)下阻尼力做功的特點(diǎn)比較特殊，其做功曲線呈現(xiàn)出多峰形態(tài)，并且峰值對應(yīng)的阻尼系數(shù)各不相同.從圖2中點(diǎn)虛線和線虛線可以看出，當(dāng)策動(dòng)力頻率小于固有頻率時(shí)，阻尼力做的功是關(guān)于阻尼系數(shù)的雙峰結(jié)構(gòu)，即阻尼力功的極值對應(yīng)兩個(gè)不同的阻尼系數(shù)，根據(jù)阻尼力功的表達(dá)式Wf，可以得到雙峰的位置和功的極值分別為

(11)

這表明，阻尼力在兩個(gè)不同阻尼系數(shù)下都會達(dá)到其功的極值狀態(tài)，且極值相等.

當(dāng)策動(dòng)力頻率大于固有頻率時(shí)，阻尼力的功呈現(xiàn)單峰形態(tài)，如圖2中實(shí)線所示.

4 結(jié)論

本文分別從策動(dòng)力頻率和阻尼系數(shù)兩個(gè)不同角度，分析了阻尼力以及策動(dòng)力和回復(fù)力3個(gè)力所做的功，以及阻尼力的功與速度共振的一些細(xì)節(jié)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)了在速度共振頻率下，3個(gè)分力的功都不是其極值，但是其合力的功卻是極值；而當(dāng)策動(dòng)力頻率小于固有頻率時(shí)，存在兩個(gè)阻尼系數(shù)使阻尼力的功都會達(dá)到極值狀態(tài)，從而對共振現(xiàn)象有了更加深入的認(rèn)識.