張榮利
(黃石市第十六中學(xué) 湖北 黃石 435002)
劉紅日
(湖北師范大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院 湖北 黃石 435002)
駐波是一類特殊的干涉現(xiàn)象.當(dāng)兩列頻率相同、振動(dòng)方向相同、振幅相等,相差恒定的波在同一直線上沿相反方向傳播時(shí)就會(huì)在疊加區(qū)域產(chǎn)生駐波.駐波在力學(xué)、電磁學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域有重要的應(yīng)用.根據(jù)維度不同,駐波可以分為一維駐波、二維駐波和三維駐波[1],根據(jù)振動(dòng)的物理量不同可以分為機(jī)械駐波和電磁駐波等.駐波的主要特點(diǎn)是波形位置固定,相鄰波節(jié)之間分段振動(dòng)而總能量不變.雖然各段之間沒有能量傳播,但是各段內(nèi)部存在瞬態(tài)能量傳遞.雖然關(guān)于駐波的能量問題已經(jīng)有很多研究[2,3],但是關(guān)于駐波內(nèi)部瞬態(tài)能量傳播的討論較少[4].以機(jī)械駐波為例,瞬態(tài)能量傳播與波線上質(zhì)元的位移以及能量變化直接相關(guān).只有從質(zhì)元的位移和形變出發(fā)對(duì)駐波能流密度進(jìn)行分析才能弄清駐波瞬態(tài)能量轉(zhuǎn)化和轉(zhuǎn)移的機(jī)理.本文以一維機(jī)械橫波形成的駐波為例,通過駐波中質(zhì)元的位移、能量和能流密度的圖像,再結(jié)合形變與彈性勢(shì)能的關(guān)系,對(duì)駐波內(nèi)部瞬態(tài)能量傳播給出了直觀分析,并分析了能流產(chǎn)生的機(jī)理,得到的結(jié)果有助于形象直觀理解駐波內(nèi)部能量傳播.
以橫波為例,設(shè)角頻率為ω,波幅為A的兩列相干波,振動(dòng)方向均沿y軸,沿x軸向相反方向傳播,其方程為[1]
(1)
則駐波方程為
y=y1+y2=2Acosωtcoskx
(2)
(3)
dEk=2ρA2ω2dVsin2ωtcos2kx
(4)
而質(zhì)元的勢(shì)能為[1]
(5)
其中G為彈性介質(zhì)的切變模量(橫波).由式(2)對(duì)x求偏微分得到
代入式(5)得到
dEp=2GdVk2A2sin2kxcos2ωt
(6)
彈性橫波的波速
(7)
代入式(6)得到
dEp=2ρA2ω2dVcos2ωtsin2kx
(8)
由式(4)與式(8)得到質(zhì)元的總能量
dE=dEk+dEp=
2ρA2ω2dV(sin2ωtcos2kx+cos2ωtsin2kx)
(9)
在水平向右的x軸上,由式(1)可得,右行波在dV質(zhì)元中的能量[2]
dE1=ρdVA2ω2sin2(ωt-kx)
能量密度
能流密度
I1=ε1v=ρvA2ω2sin2(ωt-kx)
(10)
左行波在dV質(zhì)元中的能量
dE2=ρdVA2ω2sin2(ωt+kx)
能量密度
能流密度
I2=-ε2v=-ρvA2ω2sin2(ωt+kx)
(11)
上式中負(fù)號(hào)代表左行波能量傳播方向沿x軸負(fù)向.則駐波的總能流密度
I=I1+I2=ρvA2ω2sin2(ωt-kx)-
ρvA2ω2sin2(ωt+kx)
得到
I=ρvA2ω2[sin2(ωt-kx)-sin2(ωt+kx)]=
-ρvA2ω2sin 2kxsin 2ωt
(12)
因?yàn)椴▌?dòng)沿x軸傳播,能量也只能沿x軸正向或者負(fù)向傳播,如果根據(jù)式(12)計(jì)算出的I為正值,則代表波線上某處能量沿x軸正向傳播,反之,如果I為負(fù)值,則代表該處能量沿x軸負(fù)向傳播.
圖時(shí)間內(nèi)駐波的瞬態(tài)能流圖
圖時(shí)間內(nèi)駐波的瞬態(tài)能流圖
由圖1(a)可見,在t=0時(shí),駐波的波形為一余弦函數(shù)圖形,波線上除了波節(jié)之外的所有質(zhì)元均處于最大位置,運(yùn)動(dòng)速度為零,此時(shí)質(zhì)元的所有能量全部為彈性勢(shì)能.由圖可見,波節(jié)處質(zhì)元形變最大,而波腹處形變?yōu)榱?,因此波?jié)處能量最大,而波腹處能量為零.同時(shí)可見此時(shí)波線上能流密度處處為零,因此t=0時(shí)波線上無能量傳播.
由圖1和圖2可見,在駐波振動(dòng)過程中的任何時(shí)刻,波節(jié)處能流密度始終為零, 說明雖然駐波在振動(dòng)過程中各段內(nèi)部有能量傳播,但從總體上看是分段獨(dú)立振動(dòng)的,各分段之間沒有能量傳播.
以彈性橫波為例,在不考慮重力的情況下,除了所有質(zhì)元均處于平衡位置的狀態(tài)之外,如圖1(c)和2(c)所示的狀態(tài),質(zhì)元越靠近波腹形變?cè)叫?,越靠近波?jié)形變?cè)酱?當(dāng)質(zhì)元由最大位置向平衡位置振動(dòng)時(shí),某一質(zhì)元受到相鄰的離波節(jié)較近的一側(cè)質(zhì)元的切應(yīng)力大于相鄰的離波節(jié)較遠(yuǎn)的另一側(cè)質(zhì)元的切應(yīng)力,切應(yīng)力的合力指向平衡位置,做正功,將彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能.而質(zhì)元由平衡位置向最大位置運(yùn)動(dòng)時(shí),受到的切應(yīng)力的合力仍然指向平衡位置,做負(fù)功,將動(dòng)能轉(zhuǎn)化為彈性勢(shì)能.因此彈性橫波形成的駐波,能量的轉(zhuǎn)化和轉(zhuǎn)移要通過切應(yīng)力做功來實(shí)現(xiàn).
雖然駐波是分段振動(dòng)的,每一段在振動(dòng)過程中能量守恒,與獨(dú)立諧振子有相似之處,但其中任意彈性質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)與獨(dú)立諧振子有著本質(zhì)區(qū)別.以波腹處質(zhì)元為例,當(dāng)其位移最大時(shí),能量為零,處在平衡位置時(shí)能量最大,在振動(dòng)過程中能量并不守恒.其他位置的質(zhì)元也一樣,在振動(dòng)過程中部分時(shí)段吸收能量,總能量增加,部分時(shí)段釋放能量,總能量減小.而獨(dú)立的彈性諧振子,振動(dòng)過程中總能量始終守恒.
對(duì)于波節(jié)處的質(zhì)元,在振動(dòng)過程中始終“不動(dòng)”,其實(shí)只是質(zhì)心不動(dòng).在振動(dòng)過程中,波節(jié)處的質(zhì)元要不斷改變剪切形變大小來實(shí)現(xiàn)彈性勢(shì)能的吸收和釋放.
(1) 一維彈性駐波,在相鄰的兩個(gè)波節(jié)之間存在著瞬態(tài)能量傳播,能量部分時(shí)段從波腹傳到波節(jié),部分時(shí)段從波節(jié)到波腹.在傳輸過程中,相鄰兩波節(jié)之間總能量不變.
(3)當(dāng)所有質(zhì)元均處于平衡位置時(shí),質(zhì)元的能量全部為動(dòng)能,此時(shí)波腹能量最大,波線上能流密度處處為零,局部沒有能量定向傳播.
(4)當(dāng)所有質(zhì)元均具有最大位移時(shí),質(zhì)元能量全部為彈性勢(shì)能,此時(shí)波節(jié)處質(zhì)元能量最大,波線上能流密度處處為零,局部亦無能量傳播.