林建福

(金秀瑤族自治縣民族高中 廣西 來(lái)賓 545799)

先用積分法求出均勻帶電半球面軸線(xiàn)上的電勢(shì)表達(dá)式，然后利用電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)的關(guān)系求出軸線(xiàn)上電場(chǎng)強(qiáng)度的表達(dá)式，并用所得表達(dá)式求出球心處的電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度.

1 均勻帶電半球面軸線(xiàn)上的電勢(shì)

設(shè)有一半經(jīng)為R的均勻帶電半球面，電荷面密度為σ，現(xiàn)求出其軸線(xiàn)上的電勢(shì)表達(dá)式.如圖1所示，在軸線(xiàn)上任取一點(diǎn)p，則p點(diǎn)的電勢(shì)可以表示為如下積分

(1)

積分遍及整個(gè)半球面.

圖1 均勻帶電半球面

采用球坐標(biāo)形式，式(1)化為

即

所以

(2)

由于z=0是式(2)的一個(gè)奇異點(diǎn)，對(duì)于球心處(z=0)的電勢(shì)將于下文給出.

當(dāng)z≥-R且z≠0時(shí)

(3)

當(dāng)z<-R時(shí)

(4)

上述式(3)、(4)即為均勻帶電半球面軸線(xiàn)上除去球心處(z=0)任意一點(diǎn)的電勢(shì)表達(dá)式.

2 均勻帶電半球面軸線(xiàn)上的電場(chǎng)強(qiáng)度

由于電場(chǎng)強(qiáng)度E等于電勢(shì)梯度的負(fù)值[1]

E=-V

設(shè)均勻帶電半球面軸線(xiàn)上電場(chǎng)強(qiáng)度為E，則

當(dāng)z>-R時(shí)，由式(3)有

所以

(5)

當(dāng)z<-R時(shí)，由式(4)有

所以

(6)

上述式(5)、(6)即為均勻帶電半球面軸線(xiàn)上除去球心處(z=0)的電場(chǎng)強(qiáng)度的表達(dá)式.

由于電場(chǎng)強(qiáng)度的法向分量在帶電面兩側(cè)存在突變[2]，對(duì)于z=-R處即半球面所在處的電場(chǎng)強(qiáng)度并不能直接由上述式(5)、(6)給出，下面我們單獨(dú)求出z=-R處的電場(chǎng)強(qiáng)度.設(shè)從z=-R所在處上下兩邊趨于該點(diǎn)時(shí)，電場(chǎng)強(qiáng)度的極限分別為E+和E-，則z=-R處的電場(chǎng)強(qiáng)度為[3]

由式(5)、(6)可分別求出

因此z=-R處的電場(chǎng)強(qiáng)度為

(7)

3 均勻帶電半球面球心處的電勢(shì)與電場(chǎng)

由于z=0是式(2)、(3)、(5)的奇異點(diǎn)，故不能直接應(yīng)用這些式子求出z=0處的電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度，現(xiàn)直接應(yīng)用積分法求出z=0處的電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度.

球心處的電勢(shì)

球心處的電場(chǎng)強(qiáng)度

作為對(duì)比，我們?cè)俑鶕?jù)式(3)、(5)，采用取極限的方法求解z=0處的電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度.

球心處的電勢(shì)

球心處的電場(chǎng)強(qiáng)度

可見(jiàn)，兩種方法求出的球心處的電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度是一致的.球心處的電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度分別為

和