陳一軍，成剛虎

(西安理工大學(xué) 印刷包裝與數(shù)字媒體學(xué)院，陜西 西安 710048)

密度線(xiàn)性方程式[1-2]，包括蒙版方程和灰平衡方程，也被稱(chēng)為彩色復(fù)制方程[1-4]，是重要的色彩平衡分析模型和工具，在印刷工程領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。前者作為電子分色、制版修色、以及專(zhuān)色油墨配置[5-8]的理論基礎(chǔ)，支撐著密度體系下的印前工藝；后者作為印刷質(zhì)量分析中不可或缺的工具[9-17]，在過(guò)程控制中發(fā)揮著獨(dú)特作用。

但是，在科學(xué)實(shí)驗(yàn)與生產(chǎn)實(shí)踐中，經(jīng)常出現(xiàn)與密度線(xiàn)性方程不相符合的現(xiàn)象[1-2]。隨著印刷質(zhì)量需求的不斷提升，密度線(xiàn)性平衡方程存在的問(wèn)題逐漸凸顯出來(lái)。

針對(duì)密度線(xiàn)性方程在應(yīng)用中出現(xiàn)的問(wèn)題，業(yè)界一直在不斷尋求著產(chǎn)生誤差的工程原因和改善途徑[6,12]。1953年，美國(guó)學(xué)者Evans曾建議方程組中加入常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行修正。1962年另一位美國(guó)學(xué)者Pobboravsky提出了一組高階非線(xiàn)性方程組，以求提高密度平衡分析求解精度[1-3]。直至近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者依然進(jìn)行著探索分析[8,16-17]。這些研究有的針對(duì)配色精度問(wèn)題進(jìn)行了蒙版方程應(yīng)用分析和模型改進(jìn)[5-6,18-19]，有的針對(duì)灰平衡控制進(jìn)行了密度線(xiàn)性方程的應(yīng)用研究[9-12]、誤差分析[13-16]和改良探索[16-17]。

不可否認(rèn)的是：這些研究都一定程度上提高了密度線(xiàn)性方程特定條件下的應(yīng)用精度[5-6,16-17]，但究其本質(zhì)都是改良性的，受制于固有的認(rèn)識(shí)局限，很少有人對(duì)其理論基礎(chǔ)提出過(guò)質(zhì)疑。因此，雖然某些場(chǎng)合應(yīng)用誤差得到控制，也注定是很有限的。

其實(shí)，密度的可加性與比例性失效問(wèn)題，早已得到關(guān)注，并長(zhǎng)期出現(xiàn)在教科書(shū)中[1-3]。但是，之所以會(huì)產(chǎn)生失效問(wèn)題，究竟是因?yàn)閷?shí)際印刷(包括實(shí)驗(yàn))中印刷材料的不理想造成的？還是模型的科學(xué)性存在瑕疵引起的？這些問(wèn)題一直懸而未決。遺憾的是，這些問(wèn)題卻并未引起業(yè)界足夠的應(yīng)有重視。鑒于此，在前期研究[20-22]的基礎(chǔ)上，作者開(kāi)展了本文的理論探索分析。

1 密度線(xiàn)性方程式的發(fā)展演變及其理論基礎(chǔ)

密度是一個(gè)光學(xué)概念，被定義為透射(或反射)率的倒數(shù)的對(duì)數(shù)[1-3]，用以度量材料吸收光輻射的程度。

1.1 密度平衡方程式的發(fā)展演變

密度平衡方程式伴隨著印刷技術(shù)的發(fā)展而產(chǎn)生，根據(jù)不同的應(yīng)用場(chǎng)合而具有不同的形式，但是其本質(zhì)都一樣。照相蒙版方程的發(fā)展?jié)u進(jìn)過(guò)程就是密度平衡方程式的發(fā)展歷程。

伴隨早期的照相制版工藝?yán)碚?，產(chǎn)生了第一代照相蒙版模型。

在這個(gè)模型中，紙張和油墨都是理想化的。即假定紙張不產(chǎn)生光吸收，而油墨具有理論上的選擇性吸收特性。那么，原稿紅、綠、藍(lán)三色密度DR、DG、DB即為青、品、黃三色油墨主密度C、M、Y。

亦即：

(1)

顯然，依據(jù)這樣的關(guān)系進(jìn)行分色制版會(huì)造成很大的誤差，因?yàn)闆](méi)有考慮油墨的不純潔性。于是，考慮實(shí)際油墨的選擇性吸收不足以及不應(yīng)有吸收的情況，就需要尋求新的蒙版模型。

分析可知，因?yàn)椴捎脤?shí)際油墨進(jìn)行印刷，獲得的印刷稿上，每種單色油墨除了不盡吸收其互補(bǔ)色光線(xiàn)之外，還有對(duì)應(yīng)的不應(yīng)有吸收。因此，蒙版分色時(shí)，原稿的分色密度(即蒙版密度)除了含有主密度外，還應(yīng)該考慮兩個(gè)副次密度的貢獻(xiàn)。也就是說(shuō)，在蒙版方程(1)中，需要計(jì)入另外兩種油墨的副次密度的作用。那么，究竟應(yīng)該如何考慮副次密度的影響呢？

因?yàn)槊芏缺徽J(rèn)為并且被證明是可加的，于是，“根據(jù)密度相加原理，三色油墨疊印的合成密度等于各單色密度之和”。與此同時(shí)，為簡(jiǎn)化計(jì)算，引入了密度的比例性設(shè)定，即假設(shè)密度具有比例性特征。于是就產(chǎn)生了蒙版方程[1—4]：

(2)

式中：cG、cB、mR、mB、yR、yG分別代表各色油墨副次密度與主密度的比例系數(shù)。

顯然，式(2)是一個(gè)線(xiàn)性化密度平衡方程式，其一般通用式[1-4]為：

(3)

式中：ψY、ψM、ψC分別代表黃、品、青三原色油墨印刷匹配給定色密度時(shí)所需的各色油墨比例；DYB、DMB、DCB分別代表藍(lán)濾色片下黃、品、青油墨印刷實(shí)地塊的密度；DYG、DMG、DCG分別代表綠濾色片下黃、品、青油墨印刷實(shí)地塊的密度；DYR、DMR、DCR分別代表紅濾色片下黃、品、青油墨印刷實(shí)地塊的密度；DR、DG、DB分別代表紅、綠、藍(lán)濾色片下待配色塊的密度。

只要將式(3)的右邊替換成不同等級(jí)的中性灰分色密度DZR、DZG、DZB，就變成了灰平衡方程[1-3]。

1.2 密度線(xiàn)性方程式的理論基礎(chǔ)分析

有了密度線(xiàn)性平衡方程，進(jìn)行色彩分析，就有了理論依據(jù)[1,4]。而且，線(xiàn)性化處理之后，可操作性更強(qiáng)，也方便了工程應(yīng)用。因此，一定意義上講，在印刷工程由模擬(照相制版和主觀(guān)分析)階段走向數(shù)字化分析處理進(jìn)程中，也發(fā)揮了積極作用。

但是，在密度線(xiàn)性方程式(3)中，密度的可加性與比例性是其核心技術(shù)支撐[1-4]。如果沒(méi)有可加性支持，線(xiàn)性化平衡方程根本建立不起來(lái)。缺乏了比例性限定，雖然是線(xiàn)性方程，就會(huì)增加方程的求解復(fù)雜性，從而失去工程應(yīng)用價(jià)值。

2 密度線(xiàn)性方程式的理論局限性分析

密度線(xiàn)性方程式之所以存在理論局限性，一方面是因?yàn)樵谄浣⑦^(guò)程中憑借的密度可加性存在瑕疵，另一方面是因?yàn)闉楸阌诠こ虘?yīng)用而強(qiáng)加的密度比例性設(shè)定存在原始誤差。盡管目前國(guó)內(nèi)所有的色彩學(xué)教科書(shū)都引用了可加性的證明過(guò)程[1-3]，表面看來(lái)似乎沒(méi)有問(wèn)題。但是，仔細(xì)研究可知，其理論依據(jù)還是存在問(wèn)題的。

2.1 密度可加性及其理論依據(jù)

見(jiàn)圖1，光通量為φ的光線(xiàn)通過(guò)兩層物質(zhì)后的合成透射率τ和合成密度值Dτ為：

(4)

圖1 多層疊合密度示意圖[1]

以此類(lèi)推，三色印刷時(shí)，有：

(5)

此乃密度的可加性及其理論依據(jù)。

據(jù)此，印刷行業(yè)就認(rèn)為：“三色油墨疊印的合成密度等于各單色密度之和”[1-2]。

2.2 密度可加性的分析研判

盡管上述理論推導(dǎo)過(guò)程無(wú)可厚非，但是，一旦與其工程背景相結(jié)合，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，密度可加性不具有一般意義，一旦被泛化，必然會(huì)因?yàn)闂l件不對(duì)稱(chēng)而引發(fā)數(shù)學(xué)邏輯問(wèn)題和物理支持問(wèn)題。

同樣，密度的比例性設(shè)定也不合理，隱含了明顯的邏輯錯(cuò)誤，違背了光的可加性原理。

2.2.1密度可加性不符合數(shù)理邏輯

我們知道，半調(diào)印刷時(shí)，網(wǎng)點(diǎn)關(guān)系結(jié)構(gòu)微觀(guān)上有兩種狀態(tài)，即“網(wǎng)點(diǎn)并列”與“網(wǎng)點(diǎn)重疊”[2-3]。盡管對(duì)于各層油墨完全疊合時(shí)，方程(4)和(5)似乎成立，但是，僅僅依靠網(wǎng)點(diǎn)重疊(實(shí)地狀態(tài))時(shí)的可加性，并不能證明一般狀態(tài)下的可加性。

在既有“網(wǎng)點(diǎn)并列”也有“網(wǎng)點(diǎn)重疊”的一般情況下，區(qū)域密度是兩種情況的合成，而區(qū)域密度的形成機(jī)理較單一狀態(tài)的合成要復(fù)雜一些[21-22]。

這里以雙色疊印為例進(jìn)行簡(jiǎn)化分析。面積率分別為a和b的兩色版疊印，網(wǎng)點(diǎn)重疊面積率為c，那么空白區(qū)域面積率即為1-a-b+c，其網(wǎng)目調(diào)微觀(guān)結(jié)構(gòu)模型見(jiàn)圖2。

圖2 雙色疊印的微觀(guān)結(jié)構(gòu)模型(不同區(qū)域面積率關(guān)系)

如果認(rèn)為紙張是理想化的，不吸收光線(xiàn)，即沒(méi)有密度，那么，網(wǎng)點(diǎn)密度與實(shí)地密度的關(guān)系可以根據(jù)Murray-Davis公式[1-3,20]取得。

第一色單獨(dú)印刷時(shí)，有：

(1-a)+a10-Ds1=10-Dτ1

(6)

第二色單色印刷時(shí)，有：

(1-b)+b10-Ds2=10-Dτ2

(7)

兩色疊印后，依據(jù)色光加色法，可以推知：

(1-a-b+c)+(a-c)10-Ds1+(b-c)10-Ds2+c10-Ds12=10-Dτ

(8)

如果計(jì)入紙張影響，即為：

(1-a-b+c)10-D0+(a-c)10-Ds1+(b-c)10-Ds2+c10-Ds1=10-Dτ

(9)

式中：D0、Ds1、Ds2和Ds12分別表示紙白、第一色、第二色以及疊印色的實(shí)地密度；而Dτ即為兩色疊印色網(wǎng)點(diǎn)密度。

從式(8)～(9)可以看出: 無(wú)論是完全網(wǎng)點(diǎn)重疊(即a=b=c)，或是兩色網(wǎng)點(diǎn)完全并列(c=0)，還是既有網(wǎng)點(diǎn)重疊又有網(wǎng)點(diǎn)并列的一般情況，只要不是兩色都是實(shí)地，那么，即使Ds1+Ds2=Ds12，一般情況下也不存在Dτ1+Dτ2=Dτ。

也就是說(shuō)，線(xiàn)性可加性不具有一般性。即使實(shí)地條件下滿(mǎn)足密度可加性，網(wǎng)點(diǎn)密度也不會(huì)服從可加性。

另外，從式(9)可以看出，可加性設(shè)定引起的計(jì)算誤差，不但與紙張?zhí)匦杂嘘P(guān)，也與網(wǎng)點(diǎn)大小有關(guān)，還與決定疊印網(wǎng)點(diǎn)相對(duì)關(guān)系的加網(wǎng)參數(shù)有關(guān)。

2.2.2密度可加性偏離了共同的物理基礎(chǔ)

密度是光學(xué)概念[1-2]，應(yīng)用于具體的工程實(shí)際時(shí)，為了使測(cè)量結(jié)果具有一致性和可比性，總是要設(shè)定相應(yīng)的物理?xiàng)l件。在印刷行業(yè)，實(shí)用中，一般是以標(biāo)準(zhǔn)光源及其標(biāo)準(zhǔn)照射條件、測(cè)量環(huán)境為限定條件的[1-2,18,22]。

為什么被嚴(yán)格證明了的式(4)，與印刷實(shí)際不相符合呢？

其根本原因在于，油墨具有選擇性吸收特性，油墨反射密度既具有光譜依賴(lài)性，也具有光強(qiáng)依賴(lài)性，隨光譜成分的改變而改變，也隨光源照射強(qiáng)度的改變而改變。

在多層油墨疊合[1,3-4]呈色機(jī)制中，各層油墨吸收光線(xiàn)的光譜范圍和光強(qiáng)是依次遞減的。當(dāng)光線(xiàn)照射在墨層上時(shí)，首層油墨最先進(jìn)行選擇性吸收，接著才能依次透射給下面各層油墨。但是，光線(xiàn)經(jīng)首層墨層吸收后，其光譜成分與光強(qiáng)都減小了。也就是說(shuō)，第二層油墨的入射條件已經(jīng)變化了。同樣，第三層墨層的光照頻譜范圍更小了，光照強(qiáng)度更弱了。因此。除首層油墨外，其余各層油墨的實(shí)際入射條件都與首層大不相同了，其實(shí)際阻光系數(shù)、或者透光系數(shù)減小了，已經(jīng)與首層油墨沒(méi)有可比性，因此其有效密度并沒(méi)有單獨(dú)測(cè)量時(shí)那么大。因此，才會(huì)出現(xiàn)“實(shí)際印刷中，幾種油墨疊印時(shí)，用同一濾色片測(cè)得的疊印色塊的密度值往往明顯比各單色油墨密度值之和要小”[1]的情況。

在式(4)的證明中，Dτ1與Dτ2根本不具有物理意義上的可比性。因?yàn)閮烧叩恼丈錀l件發(fā)生了變化[19]。嚴(yán)格意義上講，此時(shí)的Dτ2已不再是標(biāo)準(zhǔn)條件下的密度了，而是另一種照射條件下的“密度”值。這種情況下，如果要利用這種所謂的可加性，就必須附以不同照射條件下的“密度”值。這顯然是不現(xiàn)實(shí)的。一是我們根本就不可能精確模擬出變化萬(wàn)千的照射條件；二是即使可做到精確模擬測(cè)量，那么需要積累的不同條件下的“密度”值數(shù)量龐大，可操作性極其有限。

綜上分析，在進(jìn)行可加性證明的邏輯分析中，忽視了其物理基礎(chǔ)的不一致性。如果承認(rèn)這種所謂的可加性，必然會(huì)造成理論誤差。

2.2.3密度可加性固有理論問(wèn)題的旁論佐證

其實(shí)，在印刷領(lǐng)域，幾個(gè)常識(shí)性現(xiàn)象和相關(guān)結(jié)論也佐證了可加性存在理論問(wèn)題。

1)印刷色序的不同，呈色效果會(huì)產(chǎn)生較大差異[2]。除了首層反射影響外，可加性失效也是其中重要因素。因此，人們不得不通過(guò)認(rèn)真分析進(jìn)行色序設(shè)計(jì)。

2)網(wǎng)點(diǎn)并列與網(wǎng)點(diǎn)重疊不具有同樣的呈色效果[1-2,21-22]，因此，才出現(xiàn)了復(fù)雜的印刷呈色模型——Neugebauer方程，同時(shí)，人們才不得不重視加網(wǎng)對(duì)印刷呈色的影響[7]。

3)即使是理想的條件，密度也不服從可加性。比如，理想的青墨和品墨實(shí)地疊印得到理想的藍(lán)色實(shí)地塊。但是，顯然其密度并不符合可加性，即lg1.5+ lg1.5并不等于lg3；可見(jiàn)，那種認(rèn)為理想條件下可加性無(wú)可厚非[2]的認(rèn)識(shí)是存在錯(cuò)覺(jué)的。

4)線(xiàn)性化的Lambert-Beer方程在印刷領(lǐng)域是不成立的。之所以如此，其實(shí)正是因?yàn)槊芏炔痪哂芯€(xiàn)性可加性所致。因?yàn)椋绻脝紊“?采用相同油墨)在紙張上印兩次，就得到了厚度加倍的印刷樣張。假定紙張是理想的，那么，按照可加性，樣張上色塊的密度就應(yīng)該翻倍。可是，這樣的結(jié)論顯然是荒謬的[1]。這也從側(cè)面告訴我們，密度并不服從可加性。

2.3 密度比例性的邏輯考察

密度比例性的理論誤差主要來(lái)源于網(wǎng)點(diǎn)密度與實(shí)地密度之間復(fù)雜的非線(xiàn)性關(guān)系[20]。

2.3.1密度的比例性概念及其內(nèi)涵

所謂的密度的比例性，就是“各單色油墨在印刷網(wǎng)點(diǎn)面積率不同時(shí)，用紅、綠、藍(lán)濾色片測(cè)得的密度值，相互間保持比例(線(xiàn)性)關(guān)系?；蛘哒f(shuō)，各色油墨副次密度與主密度之比為常數(shù)”[1-2]。

顯然，密度的比例性就是對(duì)油墨不純潔現(xiàn)實(shí)性的接受和設(shè)定。對(duì)于理想的油墨，其主密度為無(wú)窮大，副次密度為0，無(wú)比例性可言。

2.3.2密度比例性的理論誤差研究

根據(jù)[5]的研究可知，單一油墨印刷網(wǎng)點(diǎn)面積率為a的色塊，油墨實(shí)地密度為Ds(與之對(duì)應(yīng)的反射率為ρs)，空白區(qū)域的面積為1-a，紙張密度D0(對(duì)應(yīng)反射率ρ0)，那么，根據(jù)光通量的可加性，網(wǎng)目調(diào)總反射率和主密度[1-2,20]為：

ρ=(1-a)×ρ0+(a×ρs)

(10)

即：

(1-a)10-D0+a10-Ds=10-Dτ

(11)

顯然，這一關(guān)系對(duì)于油墨的主、次密度都是成立的。即：

(1-a)10-D01+a10-Ds1=10-Dτ1

(12)

式中：D01、Ds1分別為對(duì)應(yīng)的紙張副次密度和油墨實(shí)地塊副次密度。

所謂密度的比例性，在這里就意味著Dτ1與Dτ之比應(yīng)該等于Ds1與Ds之比[1]。但是，根據(jù)式(11)～(12)，不難推出：

(13)

式(13)表明，無(wú)論D0是否為0(即無(wú)論是否考慮紙張的不純潔性)，理論上講，密度的比例性都是不存在的；而且，網(wǎng)目調(diào)區(qū)域內(nèi)，任一油墨副次密度與主密度之比都是關(guān)于紙張密度的函數(shù)，而且隨面積率a的變化而非線(xiàn)性變化?？梢?jiàn)，密度不具有定常比例性。

3 可加性與比例性設(shè)定的誤差分析

密度線(xiàn)性方程式依靠密度可加性而建立，憑借比例性設(shè)定而簡(jiǎn)化。上述理論剖析表明，這種密度的線(xiàn)性化處理必然地引入了系統(tǒng)誤差。但是，理論上存在的瑕疵究竟會(huì)產(chǎn)生多大的實(shí)際影響呢？這里借助仿真分析方法，僅僅對(duì)可加性與比例性設(shè)定所引起的系統(tǒng)誤差及其影響因素進(jìn)行分析考查(其實(shí)驗(yàn)辨析可參看文獻(xiàn)[1])。

3.1 實(shí)驗(yàn)及其實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)獲取

對(duì)印刷色空間進(jìn)行12級(jí)分割，設(shè)計(jì)了四色印刷測(cè)試版，在方正印捷C1060彩色數(shù)碼印刷機(jī)上進(jìn)行了印刷實(shí)驗(yàn)，在實(shí)驗(yàn)室測(cè)取了相關(guān)數(shù)據(jù)。其中，相關(guān)色樣的印刷實(shí)測(cè)平均數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。

表1 仿真分析用標(biāo)準(zhǔn)實(shí)地塊的印刷實(shí)測(cè)密度

3.2 比例性理論誤差的仿真分析

基于表1標(biāo)準(zhǔn)實(shí)地色塊實(shí)測(cè)分光密度數(shù)據(jù)，借助于式(11)～(12)，取得青品黃三色色塊各灰度級(jí)的主次密度仿真計(jì)算值見(jiàn)表2。

表2 青品黃三色各灰度級(jí)的主次密度仿真計(jì)算值

基于表2數(shù)據(jù)，依據(jù)式(13)，青品黃三色各灰度級(jí)的主次密度之比見(jiàn)圖3。顯然，青品黃三色主次密度都不服從比例性假定。

圖3 青品黃三色主次密度之比變化曲線(xiàn)

3.3 可加性理論誤差的仿真分析

限于篇幅，并為方便計(jì)算，這里以線(xiàn)型網(wǎng)[4,22]為例，僅以雙色疊印密度進(jìn)行仿真分析。

依據(jù)表1數(shù)據(jù)，依靠式(9)，取得紅綠藍(lán)三復(fù)色各灰度級(jí)主次密度，結(jié)果見(jiàn)表3。其變化規(guī)律見(jiàn)圖9，并將其與各單色相加而得的合成密度進(jìn)行比較。

無(wú)論是青品疊印的藍(lán)色、品黃疊印的紅色、還是青黃疊印的綠色，其合成密度都與仿真計(jì)算密度存在一定差異。而且差異大小在不同灰度級(jí)上表現(xiàn)出不同的量級(jí)。

采用不同的油墨、紙張、以及加網(wǎng)參數(shù)，都會(huì)取得類(lèi)似的分析結(jié)果。盡管結(jié)果會(huì)有所差異，但是，都能取得相同的結(jié)論。這就是：密度比例性與可加性總是存在著誤差。其差異性體現(xiàn)了理論誤差的可變性與依賴(lài)性。

表3 紅綠藍(lán)三色各級(jí)密度計(jì)算值

圖4 紅綠藍(lán)三色合成主密度與仿真計(jì)算密度之比較曲線(xiàn)

4 研究結(jié)論

立足業(yè)界廣泛接受的色光加色法[1-4,20]，本文在不計(jì)工藝誤差(工藝過(guò)程誤差、測(cè)量誤差等)基礎(chǔ)上，僅僅從理論角度考察了密度線(xiàn)性方程式賴(lài)以生存的物理基礎(chǔ)，對(duì)其應(yīng)用誤差進(jìn)行了理論探究、仿真分析，取得了如下研究結(jié)論。

1)密度雖然具有隨墨層增加同向變化的特性，但是密度可加性在理論上是不存在的。不但缺乏共同的物理基礎(chǔ)支持，而且也不符合數(shù)理邏輯?？杉有栽O(shè)定產(chǎn)生的理論誤差受階調(diào)濃淡層次以及加網(wǎng)參數(shù)的影響。

2)密度的比例性在理論上也是不存在的。受制于紙張的吸收特性、網(wǎng)點(diǎn)面積率的影響，比例性設(shè)定具有變值系統(tǒng)誤差特征。

3)密度線(xiàn)性方程式存在理論誤差，密度不存在線(xiàn)性關(guān)系，其誤差影響無(wú)法消除。進(jìn)入色度評(píng)價(jià)時(shí)代，建議停止使用密度線(xiàn)性方程式。