安徽工程大學(xué)數(shù)理學(xué)院，安徽 蕪湖，241000

1 引言

養(yǎng)老金計(jì)劃可以分為DB計(jì)劃和DC計(jì)劃。在DB養(yǎng)老金計(jì)劃下，員工的退休金的額度將會(huì)在其加入DB養(yǎng)老金計(jì)劃時(shí)給定，因此計(jì)劃的投資風(fēng)險(xiǎn)主要由DB養(yǎng)老金計(jì)劃發(fā)起人承擔(dān)。羅伊(Roy，2012)[3]指出DB養(yǎng)老金計(jì)劃主要面臨人口和市場(chǎng)變動(dòng)的兩大風(fēng)險(xiǎn)。

在過去十年里，空前的市場(chǎng)波動(dòng)和利率的持續(xù)下降，一連串的壞消息使許多DB計(jì)劃的發(fā)起人遭受了巨大的損失。Cox 等人(Cox，2013)[4]發(fā)現(xiàn)死亡率的意外提高增加了DB養(yǎng)老金的負(fù)債，面臨著嚴(yán)峻的養(yǎng)老基金赤字問題。其結(jié)果是，Coughlan 等人(2013)[5]發(fā)現(xiàn)近幾年DB養(yǎng)老金計(jì)劃發(fā)起人對(duì)用策略來減少他們DB養(yǎng)老金風(fēng)險(xiǎn)的興趣逐漸增加。Lin 等人(Lin，2015)[1]提出用長(zhǎng)壽對(duì)沖和DB養(yǎng)老金收購(gòu)(buyout)來減少DB養(yǎng)老金風(fēng)險(xiǎn)。王曉軍等人(王曉軍，2018)[6]從保險(xiǎn)公司風(fēng)險(xiǎn)管理的角度看，長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)使得保險(xiǎn)公司的未來負(fù)債增加，特別是在長(zhǎng)期低利率環(huán)境下，長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的影響更加突出。與這一觀察一致，Lin 等人(Lin，2017)[7]發(fā)現(xiàn)，在企業(yè)風(fēng)險(xiǎn)管理框架中收購(gòu)比長(zhǎng)壽對(duì)沖創(chuàng)造更多的價(jià)值。陳翠霞等人(2018)[8]基于buyin和buyouts 進(jìn)行DB養(yǎng)老金計(jì)劃去風(fēng)險(xiǎn)化研究并對(duì)其定價(jià)。Cox 等人(Cox，2017)[2]研究創(chuàng)新的方法去獲得資金不足的DB養(yǎng)老金計(jì)劃的DB養(yǎng)老金收購(gòu)在提升價(jià)值上的途徑，他們提出兩種期權(quán)，即DB養(yǎng)老金基金期權(quán)(funding 期權(quán))和DB養(yǎng)老金收購(gòu)期權(quán)(buyout 期權(quán))。

公認(rèn)的期權(quán)定價(jià)理論創(chuàng)始人是法國(guó)數(shù)學(xué)家 Louis Bachelicr?，F(xiàn)代期權(quán)定價(jià)理論的革命發(fā)生在1973年，美國(guó)金融學(xué)家 Black和Scholes[9]在有效市場(chǎng)和股票價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)等一系列假設(shè)條件下，運(yùn)用連續(xù)交易保值策略推出了 Black-Scholes 定價(jià)模型。Cox 等人(Cox，2017)[2]的這篇文獻(xiàn)展示了如何明確地為這些期權(quán)定價(jià)，可獲得的公開預(yù)測(cè)死亡率表由Lee和Carter(1992)[10]的死亡率模型統(tǒng)計(jì)。Cox 等人(Cox，2013)[11]他們的工作促進(jìn)了越來越多的DB養(yǎng)老金去風(fēng)險(xiǎn)研究，DB養(yǎng)老金套期保值政策被認(rèn)為是由風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移所需的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)、搜索和信息成本等交易成本以及監(jiān)測(cè)和執(zhí)行合同執(zhí)行的成本決定的。

本文主要基于Cox 等人(Cox，2017)[2]提出的兩個(gè)期權(quán)定價(jià)方式作進(jìn)一步改進(jìn)，在計(jì)算DB養(yǎng)老金資產(chǎn)指數(shù)時(shí)，將隨機(jī)通貨膨脹率考慮進(jìn)去，本文假設(shè)通脹風(fēng)險(xiǎn)由服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)的物價(jià)指數(shù)來度量。目前現(xiàn)有的文獻(xiàn)還沒有考慮通脹在DB養(yǎng)老金風(fēng)險(xiǎn)定價(jià)的影響。與目前現(xiàn)有文獻(xiàn)相比，本文的創(chuàng)新點(diǎn)表現(xiàn)為以下三個(gè)方面：(1)本文研究的兩個(gè)期權(quán)有利于減少DB養(yǎng)老金風(fēng)險(xiǎn)，對(duì)DB養(yǎng)老金風(fēng)險(xiǎn)管理的文獻(xiàn)進(jìn)行補(bǔ)充。(2)為了增加市場(chǎng)的流動(dòng)性，減少道德風(fēng)險(xiǎn)和逆向選擇問題，引入一個(gè)透明的DB養(yǎng)老金基金指數(shù)基于市場(chǎng)指數(shù)、公開可獲得的死亡率表和DB養(yǎng)老金強(qiáng)制性繳費(fèi)。(3)我們?yōu)槟壳暗腄B養(yǎng)老金風(fēng)險(xiǎn)定價(jià)研究做出貢獻(xiàn)，我們展示了如何為這些新的DB養(yǎng)老金去風(fēng)險(xiǎn)化證券定價(jià)，同時(shí)認(rèn)識(shí)到投資風(fēng)險(xiǎn)、通貨膨脹風(fēng)險(xiǎn)、長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)和利率風(fēng)險(xiǎn)。

2 基本框架

2.1 DB養(yǎng)老金負(fù)債指數(shù)

DB養(yǎng)老金負(fù)債指數(shù)是基于一組年齡為x0人數(shù)為N(0)的退休群體。為確保透明度，在計(jì)算t時(shí)DB養(yǎng)老金負(fù)債指數(shù)時(shí)，我們根據(jù)預(yù)測(cè)的未來死亡率使用一個(gè)公開的人口死亡率表。假設(shè)隊(duì)列中的每個(gè)幸存成員每年都獲得P的生存福利，并在每年年底支付。對(duì)于給定的計(jì)劃，在時(shí)間t=0 時(shí)，我們可以使用N(0)隊(duì)列成員的平均年福利。然后，PLIt是在t時(shí)向N(t)個(gè)未亡退休人員支付的所有未來養(yǎng)恤金的現(xiàn)值：

在時(shí)間t=0 時(shí)，已知退休人員人數(shù)N(0)和年費(fèi)P。因此，在0 時(shí)刻，PLI0是已知的：PLI0=N(0)·Pax0。在(1)中，ax0+t是年齡x=x0+t在t時(shí)刻給定的預(yù)測(cè)死亡率的生存貼現(xiàn)因子：

DB養(yǎng)老金負(fù)債的價(jià)值與長(zhǎng)期企業(yè)債券的收益率密切相關(guān)，正如 GüKaynak 等人(2005年)[12]指出的那樣，“由于許多宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的發(fā)布和貨幣政策公告，長(zhǎng)期遠(yuǎn)期利率大幅波動(dòng)”。雖然 Cox(Cox,1985)[13]和Hull and White(Hull and White,1990)[14]文獻(xiàn)中存在各種短期利率模型，但很少有人提出簡(jiǎn)單有效的模型來捕捉長(zhǎng)期利率的變化。在本文中，我們謹(jǐn)慎地使用CIR 模型(Cox,1985年)[13]來說明DB養(yǎng)老金估值率的動(dòng)態(tài)變化。即DB養(yǎng)老金估值率滿足以下過程：

其中v是平均回歸率，θ和σp是DB養(yǎng)老金估值率的長(zhǎng)期均值和瞬時(shí)波動(dòng)率，是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng)。通過控制參數(shù)σp，DB養(yǎng)老金估值率的波動(dòng)相對(duì)平穩(wěn)，有望與長(zhǎng)期利率行為相一致。利用 2001年1月至2010年12月的美國(guó)國(guó)稅局綜合公司債券利率月度數(shù)據(jù)，我們得到了表1所示的最大似然估計(jì)數(shù)。

2.2 DB養(yǎng)老金資產(chǎn)指數(shù)

假設(shè)DB養(yǎng)老金資產(chǎn)指數(shù)PAIt是由t時(shí)刻的三個(gè)指數(shù)組成：美國(guó)標(biāo)準(zhǔn)普爾 500 指數(shù)(i=1)、美林公司債券指數(shù)(i=2)和3個(gè)月國(guó)債指數(shù)(i=3)，其權(quán)重分別為ω1，ω2和ω3。在物理風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度下(P)，標(biāo)普 500 指數(shù)在t時(shí)刻的過程A1,t由下面這個(gè)隨機(jī)微分方程描述

其中α1是標(biāo)普 500 指數(shù)的瞬時(shí)期望回報(bào)，σ1是標(biāo)普500指數(shù)的瞬時(shí)波動(dòng)率 。是均值為0 方差為t的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，λ1為泊松過程N(yùn)1t單位時(shí)間內(nèi)的抵達(dá)率，獨(dú)立同分布大小V1j，j=1,2,...被建模為對(duì)數(shù)正態(tài)隨機(jī)變量，因此，它的對(duì)數(shù)Y1j=logV1j是一個(gè)均值為m1、標(biāo)準(zhǔn)差為s1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量。泊松事件將導(dǎo)致標(biāo)普 500 指數(shù)中預(yù)期的百分比改變相當(dāng)于k1=E(V1j-1)。隨機(jī)微分方程(5)的解為：

為了在測(cè)度變化下保持相同的跳躍擴(kuò)散框架，我們遵循 Gerber和Shiu(1994)[15]的方法，采用對(duì)數(shù)資產(chǎn)收益的必要變換作為鞅等價(jià)測(cè)度，證明了這種風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度是最接近的鞅等價(jià)測(cè)度。通過其相應(yīng)的Radon-nikodym 導(dǎo)數(shù)定義風(fēng)險(xiǎn)中性 Esscher 測(cè)度P*(Xt,h)為：

表1 DB養(yǎng)老金估值率的最大似然參數(shù)估計(jì)Table1 Estimation of maximum likelihood parameter of BD pension estimation rate

其中h是常數(shù)，使得存在。

其中r是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，是一個(gè)P*測(cè)度下的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，并且新的泊松和跳躍大小參數(shù)是：

確定了參數(shù)h，使得是關(guān)于Esscher 風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度P*的鞅。更具體地說，參數(shù)h滿足：

這種物理風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度和風(fēng)險(xiǎn)中性 Esscher 測(cè)度下的參數(shù)之間的顯式解析關(guān)系為第5 節(jié)的數(shù)值說明提供了很大的方便。

美林公司債券指數(shù)和3個(gè)月國(guó)債指數(shù)(i=3)的動(dòng)態(tài)過程被建模為幾何布朗運(yùn)動(dòng)：

其中常數(shù)α2(α3)是美林公司債券指數(shù)(3個(gè)月國(guó)債指數(shù))的漂移項(xiàng)，其瞬時(shí)波動(dòng)率為σ2(σ3)。在(11)和(12)中的是均值為0 方差為t的標(biāo)準(zhǔn)布朗

假設(shè)資產(chǎn)的價(jià)格X(t)可表示為：

大量的事實(shí)證明，在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)條件下，通貨膨脹是時(shí)有發(fā)生的，我們假設(shè)通貨膨脹是隨機(jī)過程，其價(jià)格水平Qt服從如下的隨機(jī)微分方程：

命題1 如果標(biāo)普 500 指數(shù)在t時(shí)刻的過程A1,t滿足隨機(jī)微分方程(5)，美林公司債券指數(shù)(i=2)和3個(gè)月國(guó)債指數(shù)(i=3)的動(dòng)態(tài)過程滿足幾何布朗運(yùn)動(dòng)(11)，則基于通貨膨脹風(fēng)險(xiǎn)(14)下的隨機(jī)方程(15)的解為：

證明

其中ω1+ω2+ω3=1，根據(jù)幾何布朗運(yùn)動(dòng)求解公式(17)解得：

DB養(yǎng)老金資產(chǎn)指數(shù)PAIt是由指數(shù)I在時(shí)間t組成的市場(chǎng)投資組合的價(jià)值決定的。即

為了增加模型校準(zhǔn)的觀測(cè)量，我們利用 1988年1月至2010年12月的月數(shù)據(jù)估計(jì)了這三個(gè)指標(biāo)的(6)和(11)中的參數(shù)。美國(guó)標(biāo)準(zhǔn)普爾 500 指數(shù)、美林公司債券指數(shù)和3個(gè)月國(guó)債指數(shù)的月度歷史數(shù)據(jù)都是從數(shù)據(jù)流中獲取的。由于建議的退休金方案只有在每年年底才可行使，所以我們將每月的估計(jì)數(shù)轉(zhuǎn)換為按年計(jì)算的估計(jì)數(shù)。表2 報(bào)告了年度最大似然估計(jì)數(shù)。

2.3 DB養(yǎng)老金基金指數(shù)

基于指數(shù)證券化降低了道德風(fēng)險(xiǎn)和逆向選擇，增加了流動(dòng)性，降低了交易成本，并提供了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化和透明的結(jié)構(gòu)。具體來說，t時(shí)刻的DB養(yǎng)老金基金指數(shù)PFIt是指DB養(yǎng)老金資產(chǎn)指數(shù)PAIt與DB養(yǎng)老金負(fù)債指數(shù)PLIt的比率：

由于我們?cè)谟?jì)算DB養(yǎng)老金資產(chǎn)指數(shù)時(shí)考慮了通貨膨脹，這因此就改變了DB養(yǎng)老金基金指數(shù)，下面我們來討論通貨膨脹下的DB養(yǎng)老金基金期權(quán)和DB養(yǎng)老金收購(gòu)期權(quán)的定價(jià)方式。

表2 三種資產(chǎn)指數(shù)的最大似然參數(shù)估計(jì)Table2 Estimation of maximum likelihood parameters of three asset indexes

3 DB養(yǎng)老金期權(quán)定價(jià)

根據(jù)上述DB養(yǎng)老金資產(chǎn)和負(fù)債指數(shù)模型，可以使用傳統(tǒng)的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)技術(shù)對(duì)基金和收購(gòu)期權(quán)進(jìn)行估價(jià)。

3.1 資金充足計(jì)劃下的DB養(yǎng)老金期權(quán)

考慮一項(xiàng)DB養(yǎng)老金計(jì)劃，該計(jì)劃在0 時(shí)刻得到全額資助。假設(shè)其資金狀況與DB養(yǎng)老金基金指數(shù)PFIt高度相關(guān)。為了管理其DB養(yǎng)老金基金風(fēng)險(xiǎn)，該計(jì)劃可以購(gòu)買以下的n年基金期權(quán)，并設(shè)置敲定水平K。期權(quán)定義為名義金額NA、可行使期權(quán)的觸發(fā)基金指數(shù)z，當(dāng)敲定水平K＞z。它可以在時(shí)間t=1,2,...,n時(shí)被執(zhí)行，當(dāng)且僅當(dāng)PFIt＜z，t時(shí)刻的收益概述如下：

我們定義了第二個(gè)期權(quán)，它識(shí)別收購(gòu)提供者的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，如下所示，與觸發(fā)水平z、敲定水平K和期限n的定義相同。這一收購(gòu)期權(quán)提供了一個(gè)目前資金充足的計(jì)劃，在t時(shí)有以下回報(bào)：

其中Rt是t時(shí)刻估計(jì)的收購(gòu)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。在(11)中，這種收購(gòu)期權(quán)的收益高于基金期權(quán)。因此，收購(gòu)期權(quán)的價(jià)格將高于基金期權(quán)。

3.2 資金不充足計(jì)劃下的DB養(yǎng)老金期權(quán)

與資金充足的DB養(yǎng)老金計(jì)劃不同的是，資金不足的計(jì)劃可能沒有立即進(jìn)行收購(gòu)的現(xiàn)金。為了使DB養(yǎng)老金收購(gòu)可行，這樣的計(jì)劃可以購(gòu)買具有敲定水平和名義金額的年期基金期權(quán)，但必須滿足當(dāng)。以下表達(dá)式描述時(shí)間處此期權(quán)的值：

資金不足的公司可能希望在基金比率達(dá)到z后立即進(jìn)行收購(gòu)交易。在資金完全到位的情況下，我們引入了一種確認(rèn)的提供者的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)的收購(gòu)期權(quán)。對(duì)于這種資金不足的計(jì)劃，收購(gòu)期權(quán)的回報(bào)，但在時(shí)間t的定義如下：

3.3 期權(quán)定價(jià)

給定期權(quán)收益函數(shù)(19)，資金充足的DB養(yǎng)老金的n年基金期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)中性價(jià)格(按名義金額的百分比計(jì)算)可以表示為

其中T1表示第一個(gè)觀察到的年底，即DB養(yǎng)老金基金指數(shù)低于觸發(fā)水平z。DB養(yǎng)老金群體N*(t)在(23)中的生存演化是基于轉(zhuǎn)換后的死亡率，以反映市場(chǎng)對(duì)死亡率改善的預(yù)期。

如果在基金期權(quán)的頂部添加了直接收購(gòu)功能，且結(jié)構(gòu)完全相同，則n年收購(gòu)期權(quán)的價(jià)格將由下式給定

其中

是收購(gòu)功能的期權(quán)溢價(jià)。請(qǐng)注意，Rt是一個(gè)在時(shí)間t時(shí)資金充足的DB養(yǎng)老金計(jì)劃的立即收購(gòu)溢價(jià)。據(jù) Lin 等人(2017b)[16]，Rt可以分解為投資風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)和長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。更具體地說，考慮到PAIt=PLIt在t時(shí)刻，

其中立即收購(gòu)?fù)顿Y風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)Pinvest,t由下式給出

其中

及時(shí)收購(gòu)長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)Plongevity,t如下

為了獲得DB養(yǎng)老金基金和收購(gòu)期權(quán)的價(jià)格，我們需要使用反映市場(chǎng)對(duì)未來死亡率改善的預(yù)期的轉(zhuǎn)換死亡率。我們使用 Wang 變換來扭曲死亡率。要轉(zhuǎn)換的隨機(jī)變量是生命年齡x在時(shí)間 0 時(shí)的剩余壽命時(shí)間T(x,0)。該變換適用于其從而得到轉(zhuǎn)換后的cdc如下：

其中累積概率

是一個(gè)生命年齡x在時(shí)間上 0 在s年內(nèi)死亡的概率。在(29)中，λ＞0 是系統(tǒng)長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的市場(chǎng)價(jià)格。Ф(·)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)cdf。經(jīng)過變換，我們可以得到年齡為x的風(fēng)險(xiǎn)中性的s年生存率用于定價(jià)：

同樣，根據(jù)(21)中定義的資金不足計(jì)劃的n年基金期權(quán)收益可以獲得期權(quán)價(jià)格通過

其中T2表示第一個(gè)觀察到的年底，即DB養(yǎng)老金基金指數(shù)超過觸發(fā)水平z。最后，對(duì)于資金不足的計(jì)劃的n年基金期權(quán)收益可以獲得其價(jià)格是

其中

也是收購(gòu)附加的溢價(jià)。

4 數(shù)值計(jì)算

假設(shè)時(shí)間為0 時(shí)刻，W 公司的所有計(jì)劃參與者都達(dá)到退休年齡x0=65，每名退休人員只要是在每年年底還活著，每年可領(lǐng)取 60000 便士的生存津貼。這個(gè)群體假設(shè)有N(0)=5000 名退休人員在0 時(shí)刻與美國(guó)男性人口有相同的死亡經(jīng)歷，因此，它遵循了DB養(yǎng)老金負(fù)債指數(shù)PLIt在(1)中的相同動(dòng)態(tài)。進(jìn)一步假設(shè)W 公司最初將其DB養(yǎng)老金資產(chǎn)的比例ω1=0.5 投資于美國(guó)標(biāo)準(zhǔn)普爾 500 指數(shù)、ω2=0.45 投資于美林公司債券指數(shù)和ω3=0.05 投資于3個(gè)月國(guó)債指數(shù)在0 時(shí)刻時(shí)。我們進(jìn)一步假設(shè) W 公司選擇在每年年底將其資產(chǎn)配置重置為初始權(quán)重。

在0 時(shí)刻，W 公司的DB養(yǎng)老金計(jì)劃資金充足，基金比率為1。為了對(duì)沖未來面臨資金限制時(shí)無(wú)法彌補(bǔ)嚴(yán)重資金赤字的風(fēng)險(xiǎn)，公司以t=0 時(shí)的價(jià)格購(gòu)買了一個(gè)終身DB養(yǎng)老金基金期權(quán)。該期權(quán)允許公司在整個(gè)計(jì)劃的整個(gè)生命周期內(nèi)，當(dāng)DB養(yǎng)老金基金指數(shù)PFIt低于觸發(fā)級(jí)別z時(shí)行使該期權(quán)。當(dāng)在t時(shí)刻觸發(fā)此基金期權(quán)時(shí)，給定敲定水平K，W 公司將獲得由(19)確定的報(bào)酬。

假設(shè) 0 時(shí)刻的DB養(yǎng)老金估值率為rp,0，長(zhǎng)期無(wú)風(fēng)險(xiǎn)率低于1%，等于r=0.047。在(23)中，我們計(jì)算了不同觸發(fā)水平z和敲定基金比率K下的基金期權(quán)溢價(jià)PFω。結(jié)果見表3。當(dāng)觸發(fā)水平為z=0.8，敲定水平為K=1.00 時(shí)，如果基金指數(shù)PFIt降低到80%，W 公司將行使此期權(quán)。當(dāng)這種情況發(fā)生時(shí)，該期權(quán)將支付足以彌補(bǔ)整個(gè)資金短缺的款項(xiàng)，因?yàn)樵撚?jì)劃的供資狀況遵循PFIt。為獲得這一期權(quán)，在0 時(shí)刻按初始DB養(yǎng)老金負(fù)債比例PLI0表示，W 公司支付保險(xiǎn)費(fèi)等于PFω=11。28%。

W 公司可以購(gòu)買具有不同觸發(fā)和敲定水平的其他基金期權(quán)。由于觸發(fā)和敲定水平下降，基金期權(quán)溢價(jià)也會(huì)下降。這是因?yàn)樗惶赡苡|發(fā)該期權(quán)，如果該期權(quán)被觸發(fā)，則該期權(quán)的回報(bào)較低。例如，如表3所示，當(dāng)觸發(fā)級(jí)別z從 0.8 降至0.7，敲定基金比率K從 1.00 降至0.90 時(shí)，基金期權(quán)溢價(jià)PFω從 11.28% 降至6.08%。

如果在未來出現(xiàn)嚴(yán)重的資金赤字后，W 公司很難為退休人員的DB養(yǎng)老金提供資金，那么它可能想通過收購(gòu)來降低DB養(yǎng)老金的風(fēng)險(xiǎn)。然而，在這種情況下，DB養(yǎng)老金收購(gòu)成本將高得令人望而卻步。除了用現(xiàn)金注入來彌補(bǔ)資金赤字外，W 公司還必須支付收購(gòu)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。為了對(duì)沖這一風(fēng)險(xiǎn)，W 公司可以購(gòu)買DB養(yǎng)老金收購(gòu)期權(quán)。表3的最后一列顯示了在給定觸發(fā)水平下購(gòu)買收購(gòu)期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)價(jià)格PRω。例如，當(dāng)觸發(fā)器z=0.8 時(shí)，買斷附加成本PRω=5.62%。這意味著 W 公司需要支付 16.90%(PFω+PRω=11.28%+5.62%)的溢價(jià)才能購(gòu)買這種收購(gòu)期權(quán)。這種收購(gòu)期權(quán)允許 W 公司在養(yǎng)老基金指數(shù)降至z=0.8 時(shí)將其全部DB養(yǎng)老金負(fù)債轉(zhuǎn)移給期權(quán)賣方。類似于基金期權(quán)的模式，收購(gòu)期權(quán)的價(jià)格隨著觸發(fā)水平的降低而下降。當(dāng)觸發(fā)水平z從 0.8 降至0.7 時(shí)，收購(gòu)期權(quán)溢價(jià)PRω從 16.90%(PFω+PRω=11.28%+5.62%)降至12.35%(PFω+PRω=9.21%+3.14%)。

對(duì)于資金充足的養(yǎng)老公司來說，收購(gòu)期權(quán)是否很昂貴？為了回答這個(gè)問題，我們?cè)诘? 時(shí)間比較了收購(gòu)期權(quán)和即時(shí)DB養(yǎng)老金收購(gòu)的成本。跟蹤Eqs.(25)-(28)，如果公司將其DB養(yǎng)老金義務(wù)在0 時(shí)轉(zhuǎn)移給收購(gòu)風(fēng)險(xiǎn)承擔(dān)者，則我們獲得的收購(gòu)價(jià)格等于R0=13.83%。當(dāng)觸發(fā)點(diǎn)為z=0.8 時(shí)，收購(gòu)期權(quán)溢價(jià)為PRω=16.90%。雖然收購(gòu)期權(quán)要求的現(xiàn)金流出要高于0 時(shí)刻收購(gòu)，但當(dāng)期權(quán)被觸發(fā)時(shí)，它提供了額外的保護(hù)，彌補(bǔ)了整個(gè)資金赤字，至少占DB養(yǎng)老金負(fù)債的22.20%。如果將觸發(fā)因素降低到z=0.7%，則收購(gòu)期權(quán)的總成本僅為PRω=12.35%，低于即時(shí)收購(gòu)R0=13.83%的價(jià)格，如果 W 公司只想在最需要保護(hù)的時(shí)候轉(zhuǎn)移DB養(yǎng)老金風(fēng)險(xiǎn)，就可以購(gòu)買低觸發(fā)水平的收購(gòu)期權(quán)(例z=0.7)。

與像 W 公司這樣的計(jì)劃資金充足的公司相比，資金不足的公司可能希望從資產(chǎn)負(fù)債表中消除DB養(yǎng)老金負(fù)債，因?yàn)閺?qiáng)制性DB養(yǎng)老金繳款會(huì)帶來巨大的財(cái)政負(fù)擔(dān)。隨著DB養(yǎng)老金收購(gòu)，他們不得不等到他們的計(jì)劃得到充分的資金，他們有財(cái)政資源支付買斷風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。收購(gòu)期權(quán)使得DB養(yǎng)老金收購(gòu)變得越來越容易。假設(shè) U 公司的DB養(yǎng)老金計(jì)劃與 W 公司的DB養(yǎng)老金計(jì)劃成員和資產(chǎn)組成相同，但在第0 時(shí)其資金不足 20%(基金比率為PFI0=80%)。它購(gòu)買了一個(gè)終身基金期權(quán)，當(dāng)DB養(yǎng)老金基金指數(shù)PFIt提高到觸發(fā)水平z時(shí)，該期權(quán)提供資金。具有不同觸發(fā)和敲定水平的終身基金期權(quán)的價(jià)格如表4所示?？紤]到具有再平衡的固定權(quán)重，如果 U 公司購(gòu)買一個(gè)觸發(fā)水平z=0.85、敲定水平K=1.00的終身基金期權(quán)，則需要支付PFu=6.82%的基金期權(quán)溢價(jià)。當(dāng)DB養(yǎng)老金基金指數(shù)PFIt提高到0.85 時(shí)，這一基金期權(quán)將覆蓋全部資金赤字。如果 U 公司希望在期權(quán)被觸發(fā)時(shí)進(jìn)行收購(gòu)，它將需要支付額外的收購(gòu)附加溢價(jià)PRu=6.12% 來實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)。在這種情況下，DB養(yǎng)老金收購(gòu)期權(quán)的總溢價(jià)為PBu=12.94%(=PFu+PRu=6.82%+6.12%)。請(qǐng)注意，與立即收購(gòu)相比，它要便宜得多，后者將花費(fèi) 33.83%(=20%的資金赤字+13.83%的收購(gòu)溢價(jià))。如果 U 公司選擇一個(gè)觸發(fā)率更高的收購(gòu)期權(quán)，那么DB養(yǎng)老金收購(gòu)期權(quán)的成本就會(huì)更低。例如，當(dāng)z=0.9 時(shí)，收購(gòu)期權(quán)溢價(jià)降至PBu=7.72%(=PFu+PRu=2.96%+4.76%)。

我們還發(fā)現(xiàn)，基金和收購(gòu)期權(quán)溢價(jià)隨著初始基金比率PFI0而降低。例如，當(dāng)z=0.90，K=1.00，z=0.9 時(shí)，基金(收購(gòu))期權(quán)溢價(jià)為2.08%(6.05%)，低于PFI0=0.8，2.96%(7.72%)。這是因?yàn)橘Y金嚴(yán)重不足的計(jì)劃更難改進(jìn)和觸發(fā)給定的觸發(fā)水平z。因此，對(duì)于z和K的每一個(gè)組合，對(duì)于資金不足的計(jì)劃，基金和收購(gòu)期權(quán)都比較便宜。

表3 資金充足計(jì)劃的終身基金和收購(gòu)期權(quán)溢價(jià)，并不斷調(diào)整權(quán)重Table3 Lifetime fund and acquisition option premium for fund-sufficient programs,and constantly adjust the weight

表4 資金不足計(jì)劃的終身基金和收購(gòu)期權(quán)溢價(jià)，并不斷調(diào)整權(quán)重Table4 Under-funded plan life fund and acquisition option premium,and constantly adjust the weight

5 結(jié)論

本文考慮通貨膨脹服從隨機(jī)微分方程，在計(jì)算DB養(yǎng)老金資產(chǎn)指數(shù)時(shí)，把通貨膨脹考慮進(jìn)去，會(huì)使得計(jì)算出來的期權(quán)價(jià)格更符合實(shí)際情況。首先對(duì)DB養(yǎng)老金資產(chǎn)指數(shù)和DB養(yǎng)老金負(fù)債指數(shù)的演化進(jìn)行了建模，得到了養(yǎng)老基金指數(shù)的動(dòng)態(tài)變化。然后，我們計(jì)算了保險(xiǎn)公司承擔(dān)DB養(yǎng)老金資產(chǎn)收益不確定風(fēng)險(xiǎn)的投資風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)和長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，這種風(fēng)險(xiǎn)解釋了DB養(yǎng)老金參與者壽命比預(yù)期長(zhǎng)的風(fēng)險(xiǎn)，并將通貨膨脹風(fēng)險(xiǎn)考慮進(jìn)去，在計(jì)算DB養(yǎng)老金資產(chǎn)指數(shù)時(shí)加入通貨膨脹。經(jīng)過計(jì)算，加入通貨膨脹后的期權(quán)價(jià)格會(huì)比 Cox 等人(Cox,2017)[2]計(jì)算出期權(quán)價(jià)價(jià)格高。在對(duì)于DB養(yǎng)老金計(jì)劃資金充足與不充足兩種情況進(jìn)行了分情況討論，我們證明，對(duì)于資金充足的計(jì)劃來說，DB養(yǎng)老金期權(quán)會(huì)為其提供推遲收購(gòu)的時(shí)間，而對(duì)于資金不足的計(jì)劃來說，DB養(yǎng)老金期權(quán)是一種成本效益高的方式，可以更快地進(jìn)行收購(gòu)。為了證明我們的結(jié)果的穩(wěn)健性，我們探討了一個(gè)參數(shù)中的值變化如何影響DB養(yǎng)老金期權(quán)價(jià)格。數(shù)值算例驗(yàn)證了定價(jià)模型的可靠性，得到了合理的結(jié)果。