陳旭陽(yáng)， 韓振南， 寧少慧

(1.太原理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 太原，030024) (2.太原科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 太原，030024)

引 言

基于各種原因，機(jī)械設(shè)備采集到的振動(dòng)信號(hào)普遍存在噪聲干擾，使得故障特征提取成為故障診斷的重點(diǎn)和難點(diǎn)。離散小波變換在分解過(guò)程中的隔點(diǎn)抽樣和重構(gòu)過(guò)程中的隔點(diǎn)插零造成的虛假頻率成分，易產(chǎn)生較嚴(yán)重的頻率混疊，雙樹復(fù)小波變換的頻率混疊抑制特性在很大程度上抑制了頻率混疊現(xiàn)象的產(chǎn)生，但不能從根本上消除頻率混疊現(xiàn)象。因此為了準(zhǔn)確提取故障特征，有效地將信號(hào)展開，從特定的頻率段中識(shí)別故障特征，避免頻率混疊的方法具有非常重要的意義。雙樹復(fù)小波變換(dual-tree complex wavelet transform,簡(jiǎn)稱DTCWT)是傳統(tǒng)離散小波變換的改進(jìn)方法[1]，即用奇、偶濾波器組實(shí)現(xiàn)小波的分解與重構(gòu)，不僅具有傳統(tǒng)小波的時(shí)頻局部化分析能力，而且有離散小波所不具備的抗頻率混疊性、近似平移不變性、完全重構(gòu)性、有限的數(shù)據(jù)冗余和高效的計(jì)算效率等優(yōu)良性質(zhì)[2-3]。

Dragomiretskiy等[4]提出一種自適應(yīng)信號(hào)處理方法——變分模態(tài)分解(variational modal decomposition,簡(jiǎn)稱VMD)。該方法通過(guò)迭代搜尋變分模型最優(yōu)解來(lái)確定每個(gè)分量的頻率中心及帶寬從而能夠自適應(yīng)地實(shí)現(xiàn)信號(hào)的頻域剖分及各分量的有效分離[5]。摒棄了遞歸篩分剝離這一信號(hào)分解方式的束縛，因此能夠有效緩解或避免模態(tài)混疊、過(guò)包絡(luò)、欠包絡(luò)、邊界效應(yīng)等一系列問(wèn)題，具有較高的運(yùn)算效率及良好的噪聲魯棒性。

峭度作為分析信號(hào)有無(wú)故障的指標(biāo)，是無(wú)量綱參數(shù)，它與載荷、尺寸、轉(zhuǎn)速等無(wú)關(guān)，對(duì)強(qiáng)沖擊故障較為敏感，非常適用于診斷表面損傷類故障。峭度指標(biāo)絕對(duì)值越大的分量中含有故障沖擊的成分越多。依據(jù)峭度最大原則選取出相關(guān)頻段信號(hào)做分析，可以有效地檢測(cè)到瞬態(tài)信號(hào)。峭度指標(biāo)絕對(duì)值越大，故障越嚴(yán)重。

本研究將雙樹復(fù)小波變換與變分模態(tài)分解(dual-tree complex wavelet transform-variational mode decomposition,簡(jiǎn)稱DTCWT-VMD)結(jié)合,提出了一種改進(jìn)雙樹復(fù)小波變換方法,將其應(yīng)用于齒輪箱振動(dòng)信號(hào)故障特征提取。由于采用變分模態(tài)分解將雙樹復(fù)小波變換得到的窄帶信號(hào)進(jìn)行自適應(yīng)分解,從根本上消除了頻率混疊現(xiàn)象,提高了信號(hào)分解的信噪比和頻率選擇性。仿真和實(shí)驗(yàn)分析結(jié)果表明,該方法能有效地消除頻率混疊現(xiàn)象,減少頻率干擾，有效識(shí)別故障特征。

1 基本理論

1.1 雙樹復(fù)小波變換

雙樹復(fù)小波變換采用二叉樹結(jié)構(gòu)的兩路濾波器組進(jìn)行信號(hào)的分解和重構(gòu)，一樹生成實(shí)部，一樹生成虛部，合理設(shè)計(jì)實(shí)、虛部樹低通濾波器，滿足半采樣延遲條件，具有近似平移不變性。兩樹濾波器采樣頻率相同，但是它們之間的延遲恰好是一個(gè)采樣間隔，這樣虛部樹中第1層的二抽取恰好采到實(shí)部樹中二抽取所丟掉的采樣值，在獲得了復(fù)小波變換的平移不變性的同時(shí)避免了大量的計(jì)算并且具有容易實(shí)現(xiàn)的優(yōu)勢(shì)。

圖1所示為3層雙樹復(fù)小波分解和重構(gòu)過(guò)程。

小波函數(shù)表示

ψ(t)=ψh(t)+iψg(t)

(1)

其中：ψh(t)，ψg(t)為兩個(gè)實(shí)小波；i為復(fù)數(shù)單位。

圖1中，虛線上方實(shí)部樹變換的小波系數(shù)和尺度系數(shù)可由式(2)和(3)計(jì)算

(2)

(j=1,2,…,J)

(3)

圖1 雙樹復(fù)小波變換分解和重構(gòu)Fig.1 Decomposition and reconstruction of double-tree complex cavelet transform

同理，下方虛部樹變換的小波系數(shù)和尺度系數(shù)可由式(4)和(5)計(jì)算

(4)

(j=1,2,…,J)

(5)

因此，可得到雙樹復(fù)小波變換的小波系數(shù)和尺度系數(shù)

(6)

(j=1,2,…,J)

(7)

最后，雙樹復(fù)小波變換的小波系數(shù)和尺度系數(shù)可由式(8)和(9)重構(gòu)

(8)

(9)

雙樹復(fù)小波變換后的重構(gòu)信號(hào)可表示為

(10)

1.2 變分模態(tài)分解

VMD的目標(biāo)是基于經(jīng)典維納濾波-希爾伯特變換和混頻的變分問(wèn)題，根據(jù)信號(hào)自身的頻域特性完成頻帶的劃分，并將其分解為指定個(gè)數(shù)的本征模態(tài)函數(shù)分量，在再現(xiàn)輸入時(shí)具有特定的稀疏特性。該方法在獲取分解分量時(shí)通過(guò)迭代搜尋變分模型最優(yōu)解來(lái)確定每個(gè)分量的頻率中心及帶寬從而能夠自適應(yīng)地實(shí)現(xiàn)信號(hào)的頻域剖分及各分量的有效分離[5-7]。在信號(hào)分解精度和噪聲魯棒性方面具有明顯優(yōu)勢(shì)，但需預(yù)先確定模態(tài)數(shù)k，而目前k只能靠先驗(yàn)知識(shí)進(jìn)行預(yù)估。如果預(yù)估的k與實(shí)際信號(hào)存在差異，會(huì)導(dǎo)致分解誤差較大。

假定將原始信號(hào)分解為k個(gè)IMF分量，則對(duì)應(yīng)的約束變分模型表達(dá)式[8]為

(11)

其中：{uk}={u1,…，uk}為分解得到的k個(gè)IMF分量；{ωk}={ω1,…，ωk}為各分量的頻率中心。

為求上式約束變分的最優(yōu)解，引入如下增廣Lagrange函數(shù)，即

L({uk},{ωk},λ)=

(12)

其中：α為懲罰參數(shù)；λ為L(zhǎng)agrange乘子。

利用交替方向乘子算法ADMM更新以上參數(shù)和求取上述增廣Lagrange表達(dá)式式的鞍點(diǎn)[9]。具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

2) 執(zhí)行循環(huán)：n=n+1;

(13)

4) 更新ωk

(14)

5) 更新λ

(15)

6) 重復(fù)步驟(2)～(5)，直到滿足迭代停止條件

(16)

結(jié)束迭代，得到k個(gè)IMF分量。

1.3 粒子群優(yōu)化

不同于進(jìn)化類算法的復(fù)雜遺傳因子的過(guò)程，粒子群優(yōu)化算法采用速度-位移模式進(jìn)行全局優(yōu)化搜索。同時(shí)繼承人工智能的記憶特性，可以根據(jù)當(dāng)前最好的那個(gè)粒子位置及時(shí)調(diào)整搜索策略，是一種高效的搜索算法[10]。

粒子群算法的思想來(lái)源是鳥群覓食的群體共享機(jī)制模擬。每個(gè)粒子都是解空間中的一個(gè)解，根據(jù)自己和同伴的經(jīng)驗(yàn)隨時(shí)改變自己的速度和位置從而到達(dá)目標(biāo)地點(diǎn)。每個(gè)粒子的最優(yōu)解即個(gè)體極值為pb，而整個(gè)群體的最優(yōu)解即全局極值為gb，每個(gè)粒子都是通過(guò)pb和gb隨時(shí)調(diào)整自己的位置和速度。改變位置和速度的公式為

Vi(t+1)=ωVi(t)+c1rand(pbi-xi(t))+

c2rand(gb-xi(t))

(17)

Xi(t+1)=xi(t)+Vi(t)

(18)

具體步驟為

1) 初始化各粒子的速度和位置。

2) 確定一個(gè)適應(yīng)度函數(shù)，適應(yīng)度函數(shù)為雙樹復(fù)小波分解各分量的峭度最大值。

3) 比較粒子個(gè)體與種群的適應(yīng)度值，粒子中峭度值最大的粒子為個(gè)體最優(yōu)值，種群中峭度值最大的粒子為種群最優(yōu)值。

4) 通過(guò)式(17，18)更新粒子的速度和位置。i表示第i個(gè)粒子，t表示迭代次數(shù)，rand為[0 1]上的隨機(jī)數(shù)，c1,c2為學(xué)習(xí)因子。一般情況下,種群規(guī)模t取10次,視問(wèn)題的復(fù)雜程度而定;ω取0.4～1;c1和c2都取1.0。每次更新位置時(shí)計(jì)算一次適應(yīng)度值。

5) 計(jì)算粒子和種群的適應(yīng)度值，與前一步中的個(gè)體和種群最優(yōu)值進(jìn)行比較，更新個(gè)體和種群最優(yōu)值。判斷新種群是否達(dá)到終止條件即各層分解后各分量的峭度最大值所對(duì)應(yīng)的分解層數(shù)，達(dá)到則執(zhí)行步驟6，否則繼續(xù)執(zhí)行步驟4。

6) 退出迭代，輸出全局最優(yōu)值(即峭度最大值所在的分解層數(shù))。

2 實(shí)施流程

2.1 實(shí)施步驟

1) 通過(guò)粒子群尋優(yōu)，尋找最優(yōu)分解層數(shù)。

2) 雙數(shù)復(fù)小波分解并分別對(duì)低頻、高頻分量進(jìn)行單支重構(gòu)。

3) 對(duì)各重構(gòu)后高頻分量分別進(jìn)行變分模態(tài)分解，并通過(guò)最大峭度值尋找各高頻分量經(jīng)過(guò)分解后的主頻分量。

4) 分析雙數(shù)復(fù)小波分解并單支重構(gòu)后的低頻分量以及經(jīng)過(guò)上述步驟處理后的各高頻分量的頻譜圖。

5) 分別與只進(jìn)行雙樹復(fù)小波分解以及只進(jìn)行變分模態(tài)分解后的頻譜圖對(duì)比，并得出結(jié)論。

2.2 流程圖

圖2 流程圖Fig.2 Flow chart

3 仿真結(jié)果分析

構(gòu)造如下齒輪局部故障仿真信號(hào)驗(yàn)證本方法的可行性和有效性，調(diào)制-載波信號(hào)的表達(dá)式

x(t)=(|sin(100πt)|+|sin(200πt)|)·

|sin(400πt)|

(19)

圖3為該信號(hào)波形圖和頻譜圖。圖4為上述仿真信號(hào)各分量信號(hào)單獨(dú)的波形圖和頻譜圖。

圖3 仿真信號(hào)波形及頻譜Fig.3 Simulation signal waveform and spectrum

圖4 各分量信號(hào)波形及頻譜Fig.4 Each component signal waveform and spectrum

圖5為信號(hào)經(jīng)過(guò)雙樹復(fù)小波三層分解后的各分量信號(hào)的波形圖和頻譜圖。從圖中可以看出，分解后得到的信號(hào)分量比較接近圖4原仿真信號(hào)各分量波形，但是b2和b3分量存在頻率混疊現(xiàn)象，而且在b2，b3中有鄰帶頻率成分，分解效果不是很理想。

圖5 雙樹復(fù)小波分解各分量波形及頻譜Fig.5 Double wave complex wavelet decomposition of components and spectrum

圖6為用VMD方法分量個(gè)數(shù)k取3分解得到的波形圖和頻譜圖，從波形圖可以看到分解效果不理想，和圖4原仿真信號(hào)的波形相差較大。

圖7為用本方法經(jīng)雙樹復(fù)小波各高頻分量經(jīng)過(guò)變分模態(tài)分解后用最大峭度值提取出的最佳分量的波形及頻譜圖，從圖中可以看出分解效果非常理想，基本沒有頻率混疊現(xiàn)象，消除了雙樹復(fù)小波會(huì)產(chǎn)生的奇行波以及鄰帶頻率現(xiàn)象。

圖7 DTCWT-VMD分解各分量波形及頻譜Fig.7 This method decomposes the components of the waveform and spectrum

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

筆者設(shè)計(jì)試驗(yàn)臺(tái)通過(guò)扭力桿產(chǎn)生的內(nèi)力進(jìn)行加載，轉(zhuǎn)速用電動(dòng)機(jī)進(jìn)行調(diào)節(jié)。實(shí)驗(yàn)齒輪的傳動(dòng)比為 1∶1，采取半齒嚙合，圖8為本研究實(shí)驗(yàn)臺(tái)。

圖8 實(shí)驗(yàn)臺(tái)Fig.8 Test stand

粒子群尋優(yōu)過(guò)程中峭度值隨種群進(jìn)化代數(shù)的變化見圖9，圖中為適應(yīng)度曲線，終止次數(shù)為10。從圖中可以看出3層以后的峭度最大值趨于定值。本研究采用3層為最優(yōu)分解層數(shù)。

圖9 適應(yīng)度值隨分解層數(shù)的變化Fig.9 The change of the fitness value with the number of decomposition layers

設(shè)計(jì)電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速保持在1 200 r/min左右，扭矩為800 N左右，采樣頻率為12 000 Hz，嚙合頻率為210 Hz，通過(guò)傳感器，信號(hào)采集儀采集到的無(wú)故障實(shí)驗(yàn)信號(hào)波形圖、頻譜圖和包絡(luò)譜圖如圖10所示。

圖10 無(wú)故障信號(hào)波形及譜圖Fig.10 No fault signal waveform and spectrum

圖11 故障信號(hào)波形及譜圖Fig.11 Fault signal waveform and spectrum

圖11為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速保持在1 200 r/min左右采集的有故障的實(shí)驗(yàn)信號(hào)，由于故障信號(hào)(齒輪點(diǎn)蝕)比較微弱，而且淹沒在強(qiáng)背景噪聲下，從頻譜圖中看出存在邊頻成分和干擾成分。可以看出當(dāng)齒輪出現(xiàn)點(diǎn)蝕時(shí)，出現(xiàn)了嚙合頻率和半頻的邊頻成分，其幅值不均一，正常齒輪頻譜在110和210 Hz處有明顯峰值。

圖12為信號(hào)經(jīng)三層雙樹復(fù)小波分解得到的信號(hào)的波形圖及頻譜圖，嚙合頻率出現(xiàn)在b2分量中，半頻110 Hz出現(xiàn)在b3分量中，倍頻的各次諧波出現(xiàn)在b1高頻分量中。較好的分離出齒輪的嚙合頻率及半頻。但是在高頻分量b1和b2以及b3中可以看出存在頻率混疊現(xiàn)象,存在嚴(yán)重的鄰帶頻率現(xiàn)象。

圖12 故障信號(hào)經(jīng)雙樹復(fù)小波分解波形及頻譜Fig.12 Wavelet decomposition waveform and spectrum of fault signal by double tree complex vavelet

圖13為信號(hào)經(jīng)VMD分量個(gè)數(shù)k取3所得波形及頻譜圖。從圖中可以看出雖然不存在頻率混疊現(xiàn)象，但是丟失了嚙合頻率半頻成分，分解效果不理想。

圖13 故障信號(hào)經(jīng)VMD分解波形及頻譜Fig.13 Wavelet decomposition waveform and spectrum of fault signal by VMD

圖14為本方法(DTCWT-VMD)對(duì)故障信號(hào)經(jīng)雙樹復(fù)小波分解各高頻分量再進(jìn)行三層VMD分解所得各個(gè)峭度值最大分量的波形及頻譜圖(只是處理后的各高頻分量頻譜圖)。從圖中可以看出很好地分離出了嚙合頻率及半頻成分以及倍頻的各次諧波，而且不存在頻率混疊現(xiàn)象。通過(guò)與圖14對(duì)比可以看出，分解效果理想。從b1和b3分量中存在邊頻成分且從圖12中看出出現(xiàn)邊頻成分，且本方法處理后的干擾頻率較少，驗(yàn)證了本方法的可行性和有效性。

圖14 故障信號(hào)經(jīng)本方法分解波形及頻譜Fig.14 Wavelet decomposition waveform and spectrum of fault signal by this method

5 結(jié)束語(yǔ)

為了克服雙樹復(fù)小波變換產(chǎn)生頻率混疊的缺陷,提出了改進(jìn)雙樹復(fù)小波變換的故障診斷方法。由于雙樹復(fù)小波分解不同分解層數(shù)會(huì)影響分解效果，分解層數(shù)少則分解效果不理想容易丟失有用信息，而分解層數(shù)太大則容易頻率混疊，因此將峭度值作為適應(yīng)度函數(shù)，通過(guò)粒子群選擇最優(yōu)分解層數(shù)。仿真和實(shí)驗(yàn)信號(hào)結(jié)果表明，與雙樹復(fù)小波分解及VMD分解效果相比，該方法不僅能夠消除信號(hào)處理中頻率混疊現(xiàn)象,提高了信噪比和頻帶選擇的正確性,而且還提高了從強(qiáng)噪聲環(huán)境中提取瞬態(tài)沖擊特征的能力。