鄭華林， 徐 林， 胡 騰， 王 輝

(1. 西南石油大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院 成都，610500) (2.四川普什寧江機(jī)床有限公司 都江堰，611830)

引 言

機(jī)械系統(tǒng)通常由多個(gè)部件通過不同的聯(lián)結(jié)方式組合而成，部件之間相互聯(lián)結(jié)的部位稱為“結(jié)合部”。研究表明[1]，結(jié)合部動力學(xué)表現(xiàn)為柔度與阻尼特性，對機(jī)械系統(tǒng)整機(jī)服役性能有著重要影響。其中，結(jié)合部柔度約占機(jī)械系統(tǒng)總?cè)岫鹊?0%～80%，其阻尼約占機(jī)械系統(tǒng)總阻尼的90%以上。螺栓聯(lián)結(jié)作為固定結(jié)合部的典型代表，在機(jī)械系統(tǒng)中分布最廣，數(shù)目最多，對其動力學(xué)特性進(jìn)行研究有利于進(jìn)行機(jī)械系統(tǒng)整機(jī)動力學(xué)精準(zhǔn)建模，可為系統(tǒng)裝配工藝優(yōu)化提供關(guān)鍵理論依據(jù)，具有重要的科學(xué)意義與工程價(jià)值。

針對結(jié)合部動力學(xué)建模方法，Iranzad等[2]將結(jié)合部視作虛擬薄層彈塑性材料，基于虛擬材料模型在不同的負(fù)載水平下進(jìn)行了響應(yīng)計(jì)算與測試，對比驗(yàn)證了所提建模策略能準(zhǔn)確表征機(jī)械結(jié)合部非線性力學(xué)行為。文獻(xiàn)[3-4]利用一系列彈簧-阻尼單元對機(jī)械結(jié)合部進(jìn)行了等效，重點(diǎn)研究了結(jié)合部的柔性本質(zhì)。田洪亮等[5]在利用虛擬材料模型研究結(jié)合部動力學(xué)特性的同時(shí)，提出了材料各向同性的假設(shè)，并通過增加一個(gè)元件可將含結(jié)合部的復(fù)雜部件等效為不含結(jié)合部的簡單零件。李奇志等[6]提出了有效接觸面積剛性連接建模方法，解決了現(xiàn)有方法存在虛擬材料本構(gòu)關(guān)系復(fù)雜辨識問題。

目前，結(jié)合部動力學(xué)行為辨識已成為機(jī)械系統(tǒng)整機(jī)動力學(xué)精準(zhǔn)建模過程中亟待解決的關(guān)鍵問題。為此，筆者以螺栓結(jié)合部切向動力學(xué)特性為研究對象，以理論與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合為研究手段，基于子結(jié)構(gòu)綜合法[14]推導(dǎo)螺栓結(jié)合部切向動力學(xué)行為辨識基本方程。在此基礎(chǔ)上，求解結(jié)合部切向動剛度，并聯(lián)合奇異值分解[15]及最小二乘法對結(jié)合部切向等效動力學(xué)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化辨識。通過物理實(shí)驗(yàn)對所得參數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證，最終形成較完備的螺栓結(jié)合部切向動力學(xué)行為辨識方法體系。

1 螺栓結(jié)合部切向動力學(xué)特性

1.1 螺栓結(jié)合部切向等效動力學(xué)模型

螺栓結(jié)合部屬于“柔性聯(lián)結(jié)”，在外載荷作用下，其接觸面會產(chǎn)生多自由度阻尼微幅振動，使得結(jié)合部表現(xiàn)出既能儲存能量又能消耗能量的特性。因此，在忽略結(jié)合部質(zhì)量的情況下，可將螺栓結(jié)合部視作一系列與子結(jié)構(gòu)剛性連接的彈簧-阻尼單元，進(jìn)而可建立如圖1所示的螺栓結(jié)合部切向等效動力學(xué)模型。其中：i，n和c，j分別表示子結(jié)構(gòu)1和2的非結(jié)合部和結(jié)合部區(qū)域。

圖1 螺栓結(jié)合部切向等效動力學(xué)模型Fig.1 Equivalent tangential dynamic model of bolt joint

1.2 基于頻響函數(shù)的子結(jié)構(gòu)綜合法

定義子結(jié)構(gòu)1和2為時(shí)不變定常線性系統(tǒng)，故在未裝配狀態(tài)下其輸入(激勵(lì))f與輸出(響應(yīng))x之間的關(guān)系為

(1)

(2)

其中：H為子結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)矩陣；上角標(biāo)(1)和(2)分別對應(yīng)子結(jié)構(gòu)1和2。

考慮到結(jié)合部與子結(jié)構(gòu)間為剛性連接，故其力平衡條件為

(3)

依據(jù)動力學(xué)基本方程可得

(4a)

(4b)

其中：Ha與Za分別為結(jié)合部頻響函數(shù)與動剛度，亦即螺栓結(jié)合部動力學(xué)行為頻域表征；ω為角頻率；j為虛數(shù)單位；m為結(jié)合部彈簧-阻尼單元組數(shù)。

將式(1)、式(2)式帶入式(4a)中可得

(5)

將式(3)式帶入式(5)可得

(6)

其中

(7)

同理可得

(8)

聯(lián)立式(1)，(2)，(6)，(8)可得

(9)

(10)

面向子結(jié)構(gòu)1，2及結(jié)合部三者的裝配體，其動力學(xué)基本方程為

x(3)=H(3)f(3)

(11)

其中：上角標(biāo)(3)表示裝配體。

設(shè)子結(jié)構(gòu)結(jié)合部與非結(jié)合部區(qū)域的響應(yīng)與激勵(lì)在裝配前后保持不變，即

則式(11)可以改寫為

(12)

由式(9)、式(10)和式(12)可得

(13)

2 螺栓結(jié)合部等效動力學(xué)參數(shù)辨識

將式(13)寫作如下統(tǒng)一形式

(14)

其中：Hα為裝配體與子結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)之間的關(guān)系；Hβ及Hλ為子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)；He為動剛度特性與子結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系。

令

(15)

式(14)可以表示為

Hα=HβL

(16)

有

(17)

式(15)可改寫為

L=(He=Za+Hjj(2)+Hcc(1))-1Hλ

(18)

借助奇異值分解法變換得

(19)

基于式(19)將等式的實(shí)、虛部分離開，令

則式(19)的通式為

(k+jωc)(A+jB)=Q

(21)

按實(shí)、虛部相等的原則，式(21)可等價(jià)為

(22)

由于頻響函數(shù)有多個(gè)頻率點(diǎn)，故對應(yīng)多個(gè)k和c。假設(shè)頻率分析點(diǎn)數(shù)為n，則式(22)可寫改寫為

(23)

其最小二乘解為

(24)

利用上述辨識結(jié)果構(gòu)建螺栓結(jié)合部切向動力學(xué)數(shù)值模型，計(jì)算測點(diǎn)頻響函數(shù)，并將其與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比，以驗(yàn)證所提方法的準(zhǔn)確性。因此，螺栓結(jié)合部切向動力學(xué)行為辨識過程可最終表達(dá)為如圖2所示的技術(shù)路線。

圖2 螺栓結(jié)合部切向動力學(xué)行為辨識技術(shù)路線Fig.2 Technique flowchart for bolt joint tangential dynamic behaviors identification

3 計(jì)算實(shí)例與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

按照圖2所示技術(shù)路線，以某螺栓結(jié)合部為研究對象，對其切向動力學(xué)行為進(jìn)行辨識。

3.1 子結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)計(jì)算與驗(yàn)證

子結(jié)構(gòu)基本尺寸及材料屬性如表1所示?；赥imoshenko梁理論[16]及Hamilton方程[17]，同時(shí)借助有限單元法[18](finite element method, 簡稱FEM)構(gòu)建子結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型，并針對其正確性予以實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。以子結(jié)構(gòu)B為例，所建動力學(xué)模型如圖3所示。分別計(jì)算點(diǎn)3，4位置的頻響函數(shù)，進(jìn)而利用模態(tài)錘擊實(shí)驗(yàn)對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。

圖4所示為子結(jié)構(gòu)B跨點(diǎn)頻響H34計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值對比，可見兩曲線吻合程度很高，在特征峰1和2處，對應(yīng)頻率誤差分別為0.49%和0.99%，對應(yīng)幅值誤差分別為1.35%和3.27%。此外，子結(jié)構(gòu)B點(diǎn)3和4位置原點(diǎn)頻響函數(shù)H33和H44計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值誤差亦很小，說明所提子結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型構(gòu)建方法及頻響計(jì)算結(jié)果具有較高準(zhǔn)確度。

類似地，利用上述方法對子結(jié)構(gòu)A進(jìn)行動力學(xué)建模，計(jì)算測點(diǎn)1和2位置(如圖5(a)所示)頻響函數(shù)并予以了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

表1 子結(jié)構(gòu)基本尺寸及材料屬性

Tab.1 Basic dimensions and material propertiesof substructures

參數(shù)子結(jié)構(gòu)A子結(jié)構(gòu)B材料合金鋼鑄鐵長度/mm450450寬度/mm6464厚度/mm3030材料密度/(kg·m-3)7 8507 300彈性模量/GPa206130泊松比0.30.25

圖3 子結(jié)構(gòu)B及其有限單元模型(單位：mm)Fig.3 Substructure B and its FE model (unit:mm)

圖4 子結(jié)構(gòu)B頻響H34Fig.4 Substructure B FRF H34

3.2 裝配體頻響函數(shù)測試

利用M16高強(qiáng)度螺栓對子結(jié)構(gòu)A和B進(jìn)行聯(lián)結(jié)，預(yù)緊力矩為50 N·m，基于DEWESoft振動測試系統(tǒng)對該裝配體進(jìn)行模態(tài)錘擊實(shí)驗(yàn)，測點(diǎn)位置與子結(jié)構(gòu)動力學(xué)建模過程中保持一致，如圖5(a)所示。

實(shí)驗(yàn)平臺搭建如圖5(b)所示，測試頻率范圍為0～5 kHz，采樣頻率取12.8 kHz。

圖5 錘擊模態(tài)實(shí)驗(yàn)Fig.5 Impact modal test

考慮到實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場環(huán)境噪聲的干擾，對裝配體同一激振點(diǎn)錘擊4次，并取4次信號平均值以提高信噪比。通過數(shù)據(jù)采集前端激勵(lì)與響應(yīng)信號，獲得裝配體切向1，4位置原點(diǎn)及跨點(diǎn)頻響函數(shù)H11，H14和H44。測試過程相干總體較好，局部存在突變。如圖6所示為H11測試結(jié)果及其相干函數(shù)(相干函數(shù)無量綱，取值范圍為0～1)，雖在3 700 Hz左右相干發(fā)生突變，但對應(yīng)著結(jié)構(gòu)響應(yīng)反共振特征，故總體而言仍顯示出頻響實(shí)測數(shù)據(jù)具備高可信度。

圖6 裝配體頻響H11及其相干Fig.6 Assembly structure FRF H11 and its coherence

3.3 螺栓結(jié)合部切向動力學(xué)行為辨識與驗(yàn)證

3.3.1 螺栓結(jié)合部頻響特性辨識及驗(yàn)證

圖7 結(jié)合部頻響H32Fig.7 Joint FRF H32

將3.1和3.2節(jié)所得數(shù)據(jù)帶入式(19)即可得螺栓結(jié)合部動剛度特性。由于結(jié)合部動剛度與其位移頻響函數(shù)互逆，故通過結(jié)合部頻響曲線亦可直觀反映結(jié)合部動剛度特性。借助圖5(b)中的實(shí)驗(yàn)平臺提取測點(diǎn)2，3位置切向頻響函數(shù)H32，并與計(jì)算值進(jìn)行對比，如圖7所示。特征峰1，2對應(yīng)頻率誤差分別為0.87%，1.32%；對應(yīng)幅值誤差分別為3.42%，9.08%。表明所提基于頻響函數(shù)的子結(jié)構(gòu)綜合法可有效，能準(zhǔn)確地辨識螺栓結(jié)合部切向動力學(xué)特性。

3.3.2 螺栓結(jié)合部等效動力學(xué)參數(shù)辨識與驗(yàn)證

通過式(24)對螺栓結(jié)合部切向等效動力學(xué)參數(shù)進(jìn)行最小二乘優(yōu)化辨識，結(jié)果如表2所示。利用所得參數(shù)建立螺栓結(jié)合部切向動力學(xué)數(shù)值模型，并在此基礎(chǔ)上計(jì)算裝配體頻響函數(shù)H11，H11計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值對比如圖8所示。

表2 等效參數(shù)辨識結(jié)果

圖8 裝配體頻響H11Fig.8 Assembly structure FRF H11

可以看出，裝配體頻響H11計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值吻合程度較高，特征峰1，2和3對應(yīng)頻率誤差分別為1.38%，1.51%和0.84%。然而，圖8亦顯示出裝配體頻響H11計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值在幅值方面存在較顯著誤差，表明螺栓結(jié)合部等效動力學(xué)參數(shù)數(shù)辨識精度存在一定差異。由于頻響函數(shù)特征峰的頻率與幅值分別取決于結(jié)構(gòu)剛度與阻尼，說明螺栓結(jié)合部切向等效剛度的辨識較精確，而等效阻尼的辨識精度仍有較大提升空間。究其原因，主要在于現(xiàn)階段對機(jī)械系統(tǒng)阻尼特性研究還不完善。盡管如此，圖8中特征峰1對應(yīng)幅值誤差僅為1.69%，說明等效阻尼辨識結(jié)果對于討論裝配體第1階主模態(tài)附近的動力響應(yīng)已具備足夠精度。因此，所提螺栓結(jié)合部切向動力學(xué)行為辨識方法切實(shí)可行，結(jié)合部切向等效動力學(xué)參數(shù)辨識結(jié)果可直接用于精準(zhǔn)建立機(jī)械系統(tǒng)裝配體動力學(xué)數(shù)值模型，且在頻率及低階響應(yīng)層面具有足夠的計(jì)算準(zhǔn)確度。

4 結(jié)束語

面向螺栓結(jié)合部切向動力學(xué)行為提出了一套較完善的研究方法體系。以理論與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合為研究手段，基于子結(jié)構(gòu)綜合法對螺栓結(jié)合部切向動力學(xué)特性進(jìn)行了理論推導(dǎo)，沿用優(yōu)化設(shè)計(jì)的思想，借助最小二乘法辨識了螺栓結(jié)合部切向等效剛度與阻尼。利用所得參數(shù)構(gòu)建了螺栓結(jié)合部切向動力學(xué)數(shù)值模型，據(jù)此計(jì)算了相關(guān)測點(diǎn)頻響函數(shù)并與實(shí)驗(yàn)測試值進(jìn)行了對比。結(jié)果表明，頻響函數(shù)特征峰對應(yīng)頻率誤差分別為1.38%，1.51%和0.84%，特征峰1對應(yīng)幅值誤差為1.69%。驗(yàn)證了所提方法體系能有效辨識螺栓結(jié)合部切向動力學(xué)行為，優(yōu)化所得切向等效剛度具有較高精度，等效阻尼辨識精度有待提高，但對于分析結(jié)構(gòu)低階動力響應(yīng)已具備足夠精確性。