錢德春

圖形與幾何是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，因其直觀性、邏輯性、演繹性和系統(tǒng)性等特點(diǎn)，一直為廣大初中數(shù)學(xué)教師所重視，也受到中考數(shù)學(xué)命題者的青睞。幾何壓軸題既要基于學(xué)生認(rèn)知，體現(xiàn)課標(biāo)要求，尊重教學(xué)現(xiàn)實(shí)，又要有所創(chuàng)新，這對命題者來說具有一定的挑戰(zhàn)性。事實(shí)上，數(shù)學(xué)教材提供了豐富的命題素材。充分挖掘素材的命題價值，考查學(xué)生的能力，是一種正確的命題導(dǎo)向。本文基于對2019年泰州卷第25題的特點(diǎn)分析，談?wù)剮缀闻c圖形試題命制與教學(xué)思考。

一、真題呈現(xiàn)

（2019年泰州卷第25題，以下簡稱“泰州真題”）如圖1，線段AB=8，射線BG⊥AB，P為射線BG上一點(diǎn)，以AP為邊作正方形APCD，且點(diǎn)C、D與點(diǎn)B在AP兩側(cè)，在線段DP上取一點(diǎn)E，使∠EAP=∠BAP，直線CE與線段AB相交于點(diǎn)F（點(diǎn)F與點(diǎn)A、B不重合）。

（1）求證：△AEP≌△CEP;

（2）判斷CF與AB的位置關(guān)系，并說明理由;

（3）求△AEF的周長。

二、試題特點(diǎn)分析

1.試題來源：從教材中來。

筆者認(rèn)為：“從教材出發(fā)”是圖形與幾何類試題命制的基本方法。以“泰州真題”為例，學(xué)生看到這樣的圖形，就有似曾相識的感覺，這緣于“試題源自教材基本圖形”。

來源一：蘇科版教材八年級上冊第3章“勾股定理”第81頁的探索。

把一個直立的火柴盒AKDF放倒（如圖3-1），你能用不同的方法計(jì)算梯形DFBP的面積，驗(yàn)證勾股定理嗎？

圖中隱含了等腰直角△ADP，將該三角形沿PD翻折至△CDP位置，過點(diǎn)C作AB的垂線（如圖3-2），便得到試題圖形。

來源二：蘇科版教材八年級下冊第9章“中心對稱圖形——平行四邊形”第82頁例題。

如圖4-1，在正方形BTKF中，點(diǎn)P、C、D、A分別在BT、TK、KF、FB上，且BP=TC=KD=FA，求證：四邊形PCDA是正方形。

隱去圖4-1中的線段FA、FD、DK、KC、CT，并過點(diǎn)C作AB的垂線，便得到試題圖形（圖4-2）。

這種命題方式關(guān)注了學(xué)生的應(yīng)試心理，引導(dǎo)教師教學(xué)要從教材出發(fā)，充分挖掘并發(fā)揮教材的教學(xué)價值。

2.試題探究：從“兩頭”出發(fā)。

“泰州真題”的難點(diǎn)在第（3）問，但探究與分析是常用的策略——“從兩頭向中間”，即“從條件出發(fā)”向結(jié)論“挺進(jìn)”，“從結(jié)論出發(fā)”向條件“靠攏”。這需要一定的聯(lián)想能力，也需要較強(qiáng)的模型意識。

（1）從條件出發(fā)。

分析題干、圖1及第（1）（2）小問中的結(jié)論發(fā)現(xiàn)下列條件：①線段AB=8;②四邊形APCD是正方形;③△ABP是直角三角形;④△AEP≌△CEP;⑤CF與AB垂直。這些條件可以得出角的關(guān)系、線段相等，為解決問題提供了保障。

（2）從結(jié)論出發(fā)。

△AEF的周長=AF+EF+AE。所求的未知量一定與線段AB=8有關(guān)系，這就需要線段轉(zhuǎn)換。如何轉(zhuǎn)換？結(jié)合條件“AE=CE”，有△AEF的周長=AF+CF，故考慮AF+CF與AB的關(guān)系，繼續(xù)進(jìn)行線段轉(zhuǎn)換。利用圖形中“AP=CP”的條件，可通過構(gòu)造三角形全等轉(zhuǎn)換線段。

方法一：如圖5，過點(diǎn)P作PQ⊥CF，垂足為Q。易證四邊形PQFB是正方形，△CPQ≌△APB，故有FQ=FB，CQ=AB，所以AF+CF=AF+CQ+QF= AF+FB+AB=2AB=16，即△AEF的周長為16。

方法二：如圖6，過點(diǎn)C作CS⊥BG，垂足為S。易證△CSP≌△PBA，同樣解決問題。

觀察兩種方法發(fā)現(xiàn)：方法一的本質(zhì)是將△APB繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)90°至△CPQ的位置;方法二是常見的“K”字型全等。它們有兩個共同特點(diǎn)：都是圖形變換，并且都充分利用了圖形的條件“AP=CP、AP⊥CP”。

3.試題變式：以能力立意。

試題如何命制，如何呈現(xiàn)，不僅取決于試題本身，還受試題在試卷上的位置、知識分布、難度系數(shù)的影響。好的試題，不僅在于試題結(jié)構(gòu)、呈現(xiàn)形式、考查指向、考查目標(biāo)的恰當(dāng)，還在于試題具有一定的發(fā)展與延伸空間，引導(dǎo)學(xué)生通過對問題的發(fā)展性思考與探究，發(fā)展學(xué)生聯(lián)想與建模的能力，推理與表達(dá)的能力，遷移與創(chuàng)新的能力。

（1）試題結(jié)構(gòu)的層次性。

試題的結(jié)構(gòu)層層遞進(jìn)。“泰州真題”第（1）問“求證：△AEP≌△CEP”由圖形條件直接可證明，又為第（2）問“判斷CF與AB的位置關(guān)系”作了充分的鋪墊，而第（3）問“求△AEF的周長”又建立在“CF⊥AB”的基礎(chǔ)之上。但試題的難度逐步提升。3個問題的難度系數(shù)分別為0.7、0.6、0.3，發(fā)揮了幾何壓軸題應(yīng)有的作用，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性與發(fā)展性相結(jié)合的原則。

（2）呈現(xiàn)形式的多樣性。

“泰州真題”無論是條件還是結(jié)論，呈現(xiàn)方式可謂多姿多彩。

變式一：已知，如圖7，線段AB=8，射線BG⊥AB，P為射線BG上一點(diǎn)，將點(diǎn)P繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)D，連接PD，作點(diǎn)A關(guān)于DP的對稱點(diǎn)C，作CF⊥AB，垂足為F。

①求證：AP平分∠EAB;

②求△AEF的周長。

這種變式是將題干用圖形變換的方式描述，圖形簡潔，要求學(xué)生抓住圖形變換的性質(zhì)來思考。

（3）試題結(jié)論的拓展性。

變式二：如圖8，已知：線段AB=8，射線BG⊥AB，P為射線BG上一點(diǎn)，以AP為直角邊在△ABP外作等腰直角三角形APD，作點(diǎn)A關(guān)于DP的對稱點(diǎn)C，作CF⊥AB，垂足為F。

①求證：四邊形APCD為正方形;

②求線段CF的長度的范圍。

變式三：如圖9-1，過點(diǎn)D分別作AB、CF的垂線構(gòu)成正方形DSFT，顯然問題變?yōu)榉浅＝?jīng)典的“45°半角模型”：如圖9-2，正方形FSDT中，AE分別為邊SF、TF上的兩點(diǎn)，且∠ADE=45°，求證AE=SA+ET或△AEF的周長等于正方形邊長的兩倍。

由一個正方形和一個等腰直角三角形還可以拓展出以下問題：

變式四：（2019年山東泰安卷第25題）如圖10，四邊形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，點(diǎn)E在AB上，且∠CEF=90°，F(xiàn)G⊥AD，垂足為點(diǎn)G。

①試判斷AG與FG是否相等？并給出證明。

②若點(diǎn)H為CF中點(diǎn)，GH與DH垂直嗎？若垂直，給出證明;若不垂直，說明理由。

變式五：（2019年四川南充卷第24題）如圖11，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，以DE為邊作正方形DEFG，DF與BC交于點(diǎn)M，延長EM交GF于點(diǎn)H，EF與CB交于點(diǎn)N，連接CG。

①求證：CD⊥CG;

②若tan∠MEN=[13]，求[MNEM]的值;

③已知正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E在運(yùn)動過程中，EM的長度能否為[12]？請說明理由。

從圖形結(jié)構(gòu)上來看，此類問題可歸結(jié)為兩類：一類是“正方形+正方形”問題，另一類是“正方形+等腰直角三角形”問題，都包含45°的角;從解題方法上看，都利用三角形旋轉(zhuǎn)型全等的方法;從試題發(fā)展上看，此類問題可向三角形相似、解直角三角形、代數(shù)方程、函數(shù)等方向發(fā)展，試題的發(fā)展性給教師教學(xué)與學(xué)生學(xué)習(xí)提供了廣闊的空間。

（4）數(shù)學(xué)思想的滲透性。

感悟蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)問題之中的數(shù)學(xué)思想方法既是一種數(shù)學(xué)能力，更是一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)。試卷滲透了初中數(shù)學(xué)的主要思想方法，以此體現(xiàn)對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查。如“泰州真題”第（1）問中的證明△AEP、△CEP關(guān)于PD軸對稱，體現(xiàn)了對稱變換的思想;問題中全等的三角形△APB與△CPQ，其中的△CPQ可以看成由△APB繞著點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，體現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)變換的思想;問題中點(diǎn)P在運(yùn)動，但△AEF的周長始終等于2AB，體現(xiàn)了變中不變的思想。

三、教學(xué)啟示

1.課標(biāo)、教材是數(shù)學(xué)教學(xué)的源頭。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中有兩類現(xiàn)象：一是教學(xué)內(nèi)容超標(biāo)，恣意拔高教學(xué)要求;二是拋開教材“肆意發(fā)揮”。筆者在一所學(xué)校發(fā)現(xiàn)：有二十幾位數(shù)學(xué)教師的九年級備課組，居然找不到一本數(shù)學(xué)教材，這些現(xiàn)象必須引起高度重視。課程標(biāo)準(zhǔn)是教學(xué)的根本大法，也是教學(xué)評價的基本依據(jù);教材將課程標(biāo)準(zhǔn)具體化，是教師的教材，也是學(xué)生的學(xué)材。教材中的公式、定理本質(zhì)上就是數(shù)學(xué)模型，其結(jié)構(gòu)與方法具有典型性、獨(dú)創(chuàng)性，其結(jié)論具有廣泛的應(yīng)用性。因此，教學(xué)中要充分發(fā)揮教材的作用。

一是從教材出發(fā)。要體會教材編寫意圖和指向意義，充分挖掘與拓展教材，對教學(xué)資源進(jìn)行二度開發(fā)，實(shí)現(xiàn)其應(yīng)有的教學(xué)價值。如將圖3-1、4-1適當(dāng)補(bǔ)形或添加條件，就變成了思維含量較高的幾何問題。

二是回到教材中。對于外來試題，從教材中找到源頭，用教材中的知識、方法與原理給予解釋。如圖10、圖11看似比較復(fù)雜，但將圖形與問題適當(dāng)分解或轉(zhuǎn)換，便可還原為教材中的基本圖形、基本問題。

2.學(xué)生發(fā)展是數(shù)學(xué)教學(xué)的宗旨。

數(shù)學(xué)教學(xué)旨在促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識內(nèi)化、數(shù)學(xué)能力提高，數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升，但最根本的目標(biāo)是促進(jìn)學(xué)生終身發(fā)展，而學(xué)生終身發(fā)展所必備的數(shù)學(xué)能力包括探究與思維能力、聯(lián)系與整合能力、推理與表達(dá)能力以及遷移與創(chuàng)新能力等。

（1）發(fā)展學(xué)生的探究與思維能力。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要經(jīng)歷操作、觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想的過程，這個過程考驗(yàn)的是學(xué)生的探究能力。發(fā)現(xiàn)與猜想的結(jié)論正確嗎？這就需要從定義、公理、定理出發(fā)，通過推理來證實(shí)或者證偽。這個過程更需要思維的參與。思維的方式較多，如形象思維與抽象思維、發(fā)散性思維與收斂性思維、批判性思維與反思性思維。

以“泰州真題”第（3）問為例，結(jié)論中的“△AEF周長”，必然與條件中的“線段AB=8”關(guān)聯(lián)。那么二者間有何聯(lián)系呢？這就需要操作、觀察與猜想。如通過測量，直觀地發(fā)現(xiàn)△AEF周長為AB長的兩倍。這個猜想正確嗎？此時需要深度思維。由△AEP≌△CEP可將△AEF周長轉(zhuǎn)化為AF+CF，而要出現(xiàn)2AB，由條件AP=CP繼續(xù)通過構(gòu)造三角形全等轉(zhuǎn)化。

探究與思維能力的培養(yǎng)要貫穿數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程。如定理、公式的教學(xué)，不能只是關(guān)注結(jié)論的應(yīng)用，而要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“再創(chuàng)造”過程，通過操作、觀察，發(fā)現(xiàn)、猜想結(jié)論，通過推理證明結(jié)論，或推翻結(jié)論。

（2）增強(qiáng)學(xué)生的聯(lián)系與整合能力。

數(shù)學(xué)問題應(yīng)該如何思考與分析？筆者認(rèn)為，可以從兩個方面進(jìn)行。一是從條件出發(fā)：你想到了什么，還能想到什么，下一步又想到了什么。二是從結(jié)論出發(fā)：遇到這樣的結(jié)論有哪些策略，常用哪些方法。讓學(xué)生應(yīng)盡可能多地說出想法、思路，不管這些思路對當(dāng)前問題是否有效，教學(xué)中都應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生充分表達(dá)，只有這樣才能拓展思路。思路的拓展需要聯(lián)想，將條件、結(jié)論換一種表征方式就是一種聯(lián)想方法。如解決“求一點(diǎn)到直線的距離”問題中的關(guān)鍵詞是“距離”二字，就要抓住這個關(guān)鍵詞充分聯(lián)想。由“距離”聯(lián)想到“垂直”，進(jìn)而聯(lián)想到“三角形的高”，再聯(lián)想到三角形的面積法;聯(lián)想“直角三角形”，考慮可否用“勾股定理”“直角三角形相似”“銳角三角函數(shù)”等。這里所有的思路都源自“距離”，將“距離”用不同的表征方式，便得到不同的解題思路，凸顯了聯(lián)想的神奇功效。

聯(lián)想的東西有時是分散的、零碎的。在“泰州真題”中，由條件及聯(lián)想可得“AB=8”“正方形APCD”“Rt△ABP”“△AEP≌△CEP”“CF⊥AB”等結(jié)論，這些結(jié)論哪些對解決問題有效，哪些無效，條件又如何用，都需要通過大腦的梳理、整合，使之結(jié)構(gòu)化、序列化，為最終解決問題服務(wù)。

（3）強(qiáng)化學(xué)生的推理與表達(dá)能力。

“推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式?！闭n程標(biāo)準(zhǔn)在談到數(shù)學(xué)思考時明確要求“能進(jìn)行有條理的思考，能比較清楚地表達(dá)自己的思考過程與結(jié)果”。人類文明成果之所以能夠交流與流傳，得益于各種形式的表達(dá)與記載。因此，有序表達(dá)也是一種重要能力。面對數(shù)學(xué)問題，從尋找到解題思路到完整、準(zhǔn)確寫出解題過程，這之間還有一段距離。從“泰州真題”的閱卷情況來看，學(xué)生推理與表達(dá)存在的問題較多。有的缺乏語言組織，如“泰州真題”解答需要用到“CQ=AB、QF=FB”，這些由“△CPQ≌△APB”和“正方形FBPQ”得到，有的學(xué)生只證明三角形全等，而不證明正方形就直接得到上述結(jié)論;有的邏輯混亂，如△AEP≌△CEP的證明用“SAS”，但不少學(xué)生將條件順序?qū)懗伞癝SA”;有的敘述繁瑣，不能言簡意賅，如解題中涉及角的關(guān)系，標(biāo)上數(shù)字就能一目了然，許多學(xué)生仍然用三個字母表示，讓人眼花繚亂;有的證明只是將定理堆砌在一起……如何解決這些問題，需要教師提出明確要求、適當(dāng)板書示范，作業(yè)反饋矯正。

（4）增強(qiáng)學(xué)生遷移與創(chuàng)新能力。

創(chuàng)新能力是國家富強(qiáng)、民族興旺的不竭動力。“由此及彼”“由少及多”“由表及里”“由特殊及一般”的本質(zhì)就是遷移，而創(chuàng)新的方式較多，如添加一個條件、弱化條件，把條件與結(jié)論交換，與其他問題結(jié)合;由量的變化到質(zhì)的飛躍;對現(xiàn)象提出質(zhì)疑，猜想結(jié)論并驗(yàn)證結(jié)論，建構(gòu)模型解決問題等都是創(chuàng)新。而數(shù)學(xué)中的抽象、建模和推理三大基本思想的本質(zhì)就是創(chuàng)新。

如將“泰州真題”適當(dāng)變化，則可以提出并探索新的問題。

一是將圖4-1的正方形改為正六邊形：如圖12，正六邊形ABCDEF的邊長為12，點(diǎn)A′、B′、C′、D′、E′、F′分別為邊AB、BC、CD、DE、EF、FA上的動點(diǎn)，且A′A=B′B=C′C=D′D=E′E=F′F。

①試證明線段A′D′一定經(jīng)過某一定點(diǎn);

②設(shè)A′B′C′D′E′F′的面積為S，求S的取值范圍。

二是將“泰州真題”條件一般化：如圖13，線段AB=a，∠ABG=α，P為射線BG上一點(diǎn)，以AP為邊作菱形APCD，使∠APC=α，且點(diǎn)C、D與點(diǎn)B在AP兩側(cè)，在線段DP上取一點(diǎn)E，使∠EAP=∠BAP，直線CE與線段AB相交于點(diǎn)F（點(diǎn)F與點(diǎn)A、B不重合）。

①若α=60°，請根據(jù)條件提出新的結(jié)論。（求證：△AEP≌△CEP;判斷CE與BG的位置關(guān)系，并說明理由;求點(diǎn)C運(yùn)動路徑的長;④圖形中有長度不變的嗎？請說明理由。）

②若α為任意銳角呢？

教學(xué)中，教師要充分利用教材素材，拓展思維的廣度，挖掘思維的深度，發(fā)展學(xué)生的遷移與創(chuàng)新能力。

（作者單位：江蘇省泰州市教育局教研室）