謝小良　吳莉　謝冰琪

摘 要 為解決存儲(chǔ)過(guò)程中價(jià)值易發(fā)生貶值的一類無(wú)形變質(zhì)物品最優(yōu)訂貨問(wèn)題，建立了一種存貨影響銷售率的無(wú)形變質(zhì)物品庫(kù)存控制模型.針對(duì)零售商期初訂貨批量的不同水平，以庫(kù)存總成本最小為優(yōu)化目標(biāo)，分別求得了無(wú)形變質(zhì)物品庫(kù)存總成本函數(shù).鑒于這些函數(shù)中的主要部分屬于超越函數(shù)，函數(shù)性質(zhì)不易探明，最優(yōu)解難以直接求得.為此，從嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明出發(fā)，深入探討了函數(shù)最優(yōu)解的存在性和惟一性，為進(jìn)一步研究提供了理論基礎(chǔ).最后，通過(guò)數(shù)值算例，系統(tǒng)分析了模型參數(shù)對(duì)庫(kù)存總成本、期初訂貨批量和庫(kù)存更新周期的影響，并結(jié)合實(shí)際對(duì)其結(jié)果的合理性進(jìn)行了解釋說(shuō)明.

關(guān)鍵詞 管理科學(xué)與工程;庫(kù)存控制;系統(tǒng)優(yōu)化;存貨影響銷售率

中圖分類號(hào) F253?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

Abstract In order to solve the problem of optimal ordering of a class of intangible deteriorating items whose value is prone to depreciation in the storage process， an intangible deteriorating item inventory control model with inventory affecting sales rate is established. According to the different levels of retailers' initial order quantity， the total inventory cost is the optimization goal， and the total cost of intangible goods inventory is obtained. Since the main part of these functions belongs to the transcendental function， the function property is not easy to be proved. It is difficult to find it directly. To this end， starting from the rigorous mathematical proof， the existence and uniqueness of the optimal solution of the function are discussed in depth， which provides a theoretical basis for further research. Finally， through numerical examples， the influence of model parameters on total inventory cost， initial order quantity and inventory update period is analyzed systematically， and the rationality of its results is explained.

Key words Management science and engineering; Inventory control; Optimization; Stockdependent selling rate

1 引 言

無(wú)形變質(zhì)物品是指產(chǎn)品沒(méi)有實(shí)際物理磨損，但由于產(chǎn)品已經(jīng)過(guò)時(shí)，不再適用、不再具有效用且不再為消費(fèi)者所接受，故不能繼續(xù)投入生產(chǎn)和生活，從而失去它應(yīng)有的使用價(jià)值，或者由于某些其他原因使其價(jià)值下降的一類易逝品.這類物品通常具有生產(chǎn)提前期長(zhǎng)、銷售周期短及產(chǎn)品保質(zhì)期短等特點(diǎn)，除此之外，由于顧客的需求具有不確定性，對(duì)于產(chǎn)品的后續(xù)處理一般需要較高的費(fèi)用.如電子產(chǎn)品的更新?lián)Q代速度極快，一旦出現(xiàn)新的替代品，其價(jià)值會(huì)立即下降甚至失去價(jià)值.飛機(jī)上的多余座位在飛機(jī)起飛后價(jià)值立即變?yōu)榱?物品的無(wú)形變質(zhì)，主要體現(xiàn)為價(jià)值的迅速下降或者消失.無(wú)形變質(zhì)物品供應(yīng)鏈的這種不確定性，是導(dǎo)致產(chǎn)品庫(kù)存定量困難、庫(kù)存成本增加的根本原因.另一方面，許多銷售實(shí)踐表明，產(chǎn)品現(xiàn)貨的展示數(shù)量直接影響銷售率的高低，國(guó)內(nèi)外著名學(xué)者稱這種現(xiàn)象為存貨影響銷售（stock-dependent selling rate），這意味著零售商使存貨保持在較高的水平，可以提高消費(fèi)需求.因此，這樣的研究具有較大的實(shí)際價(jià)值：如何既顧及無(wú)形變質(zhì)物品的易變質(zhì)性質(zhì)盡可能降低產(chǎn)品的變質(zhì)成本，又考慮保持較高的存貨水平最大限度地提高產(chǎn)品的銷售率，提高產(chǎn)品供需兩側(cè)管理的匹配度，使產(chǎn)品庫(kù)存總成本最小.

有關(guān)無(wú)形變質(zhì)物品庫(kù)存問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者展開了一系列相關(guān)研究，取得了不少成果，主要體現(xiàn)在如下五個(gè)方面：一是有關(guān)存貨影響銷售率現(xiàn)象的述評(píng).Chang（2004）[1] 和Wu（2006）[2]等的研究表明，超市里貨架上擺放的商品數(shù)量越多，就能吸引更多人的注意，進(jìn)而研究了相應(yīng)的存貨影響銷售率現(xiàn)象.二是有關(guān)需求依賴庫(kù)存水平的庫(kù)存模型構(gòu)建研究.閔杰和周永務(wù)（2009）[3]構(gòu)造了一類需求受當(dāng)前庫(kù)存水平影響的非立即變質(zhì)性物品的庫(kù)存模型;徐春明和趙道致（2014）[4] 在兩貨棧的庫(kù)存環(huán)境下，考慮銷售率受瞬時(shí)庫(kù)存水平的影響，不允許缺貨，分別就線性形式的需求和冪函數(shù)形式的需求建立了以平均總利潤(rùn)最大為目標(biāo)的庫(kù)存模型.謝小良和符卓（2010）[5]討論了存貨影響銷售率的無(wú)形變質(zhì)物品庫(kù)存-運(yùn)輸整合優(yōu)化模型;潘義前和周優(yōu)軍等（2013）[6]和趙忠等（2016）[7]分別研究了二層信用策略下存貨影響需求率的變質(zhì)物品庫(kù)存模型;劉冀瓊等（2017）[8]假設(shè)訂購(gòu)的產(chǎn)品具有常數(shù)變質(zhì)率，在允許現(xiàn)金折扣和延期支付的前提條件下，建立了一種針對(duì)變質(zhì)產(chǎn)品的兩貨棧庫(kù)存模型;曹裕等（2018）[9]研究了基于提前支付的非瞬時(shí)變質(zhì)產(chǎn)品批量訂貨定價(jià)策略.四是有關(guān)存貨影響銷售的變質(zhì)品EOQ模型分析.如楊善林等（2016）[10]研究了隨機(jī)補(bǔ)貨間隔且存貨影響銷售的變質(zhì)品EOQ模型.羅兵等（2012）[11]研究了價(jià)格增長(zhǎng)下兩階段存貨影響銷售率EOQ 模型;艾學(xué)軼等（2018）[12]基于產(chǎn)品非立即變質(zhì)的特征，構(gòu)建需求依賴于變質(zhì)時(shí)間的多品種聯(lián)合補(bǔ)貨庫(kù)存模型.五是有關(guān)利潤(rùn)最大和成本最小的庫(kù)存決策與系統(tǒng)控制模型研究.如徐春明和趙道致（2015） [13]在成熟期的存貨影響銷售環(huán)境下，研究了一類非變質(zhì)性物品的兩貨棧庫(kù)存決策問(wèn)題，建立了以系統(tǒng)平均總利潤(rùn)最大為目標(biāo)的決策模型;石艷等（2016）[14]研究了存貨影響銷售率的生產(chǎn)庫(kù)存系統(tǒng)最優(yōu)控制策略;徐春明等（2018）[15] 研究了減排規(guī)制下基于存貨影響銷售模式的易變質(zhì)產(chǎn)品庫(kù)存優(yōu)化模型.陳勇等人[16]以應(yīng)急疫苗最晚運(yùn)達(dá)時(shí)間最小，接收時(shí)的效用最大、運(yùn)輸總費(fèi)用最小為目標(biāo)，針對(duì)突發(fā)疫情的動(dòng)態(tài)性和不確定性，建立了疫苗控制系統(tǒng)的整數(shù)規(guī)劃模型.

綜上所述，學(xué)者們運(yùn)用不同方法從不同側(cè)面建立了存貨影響銷售率的易逝品庫(kù)存模型，并通過(guò)實(shí)例仿真，探討了模型的最優(yōu)解，為以后的研究提供了重要的借鑒與參考.但是在已有研究成果中，對(duì)庫(kù)存模型最優(yōu)解的存在性和唯一性，缺少嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明.所以，以無(wú)形變質(zhì)物品庫(kù)存控制模型最優(yōu)化研究為基礎(chǔ)，從嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明入手，對(duì)無(wú)形變質(zhì)物品庫(kù)存模型最優(yōu)解的存在性和唯一性進(jìn)行了系統(tǒng)的分析與證明，具有一定的理論價(jià)值.同時(shí)，利用MATLAB仿真軟件，結(jié)合算例，描述模型在不同參數(shù)條件下的變化曲線，采用數(shù)學(xué)分析方法，對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析，有望獲得更深入的理論結(jié)果.

2 符號(hào)說(shuō)明與模型假設(shè)

2.1 符號(hào)說(shuō)明

設(shè)Q表示期初訂貨批量，D（t）表示時(shí)刻t的產(chǎn)品需求率，I（t）表示t時(shí)刻的庫(kù)存水平，表示存貨影響銷售率的庫(kù)存水平臨界值，存貨水平小于或等于L后，需求率將不再發(fā)生改變，是一個(gè)由銷售環(huán)境和產(chǎn)品性質(zhì)決定的觀測(cè)值;K表示一次訂購(gòu)的費(fèi)用，t0表示庫(kù)存水平下降到L的時(shí)刻，h表示單位時(shí)間、單位物品的庫(kù)存持有成本，c表示單位時(shí)間、單位物品的變質(zhì)損耗成本，T表示庫(kù)存更新周期.

2.2 模型假設(shè)

（1）在存儲(chǔ)期內(nèi)物品出現(xiàn)無(wú)形變質(zhì)，即隨著新產(chǎn)品不斷推出和顧客需求偏好的改變，產(chǎn)品隨之發(fā)生貶值.

（2）需求率與即時(shí)庫(kù)存水平成線性關(guān)系，變質(zhì)率與即時(shí)需求率成反比例關(guān)系.

（3）忽略無(wú)形變質(zhì)物品的物理變質(zhì)率，無(wú)形變質(zhì)率與市場(chǎng)需求率成反比.

（4）供應(yīng)商采用即時(shí)配送方法，方便車輛及時(shí)供應(yīng)，補(bǔ)充率無(wú)限大，提前期為零.

（5）不允許缺貨.

由表1-5可以看出，最優(yōu)庫(kù)存更新周期T*分別隨著參數(shù)α，β，c，L和π的增大而減小，呈負(fù)相關(guān)關(guān)系;從問(wèn)題的實(shí)際背景來(lái)看，市場(chǎng)需求率α越大，產(chǎn)品銷售速度越快;存貨影響銷售率因子β越大，同等庫(kù)存水平下需求量越大;單位物品變質(zhì)成本c越高，產(chǎn)品貶值速度越快，產(chǎn)品庫(kù)存時(shí)間越短;存貨影響銷售率的臨界值L越大，產(chǎn)品銷售率受存貨水平的影響越大;變質(zhì)系數(shù)π越大，產(chǎn)品無(wú)形變質(zhì)率受庫(kù)存水平的影響越大，因此上述參數(shù)的變大，都會(huì)引起庫(kù)存更新周期T*的變小.

最優(yōu)訂貨批量Q*分別隨著參數(shù)α，β，L的增大而增大，呈正相關(guān)關(guān)系;隨著參數(shù)c和π的增大而減小，呈負(fù)相關(guān)關(guān)系;最優(yōu)單位時(shí)間總成本AC*1均隨著參數(shù)α，β，c，L和π的增大而增大，呈正相關(guān)關(guān)系.

這是因?yàn)楫?dāng)物品發(fā)生無(wú)形變質(zhì)時(shí)，存貯物品的風(fēng)險(xiǎn)會(huì)增加，使得變質(zhì)成本提高，為了降低成本、減少損失，零售商必須選擇適當(dāng)增加訂貨批量Q*，縮短T*來(lái)解決.

以訂貨周期為自變量，以庫(kù)存總成本為因變量，探討刻劃存貨影響銷售率的兩個(gè)主要參數(shù)對(duì)訂貨總成本的影響度.具體結(jié)果見圖3和圖4.

5 結(jié) 論

提出和分析了適用于在存儲(chǔ)期內(nèi)物品出現(xiàn)的物理變質(zhì)幾乎可以忽略不計(jì)，但隨著新產(chǎn)品的不斷推出和顧客需求偏好的改變，產(chǎn)品隨之發(fā)生無(wú)形變質(zhì)，且物品需求率在一定程度上受到存貨水平的影響，其相應(yīng)的庫(kù)存控制模型能較好地描述這種變化.研究結(jié)果表明，存貨影響銷售率的臨界值L、影響需求率的參數(shù)值α與β、影響變質(zhì)率的常數(shù)π以及單位時(shí)間、單位物品的變質(zhì)損耗成本c，均與無(wú)形變質(zhì)物品的單位時(shí)間庫(kù)存總成本AC*呈正相關(guān)關(guān)系，與最優(yōu)訂貨周期T*呈負(fù)相關(guān)關(guān)系.而隱藏在市場(chǎng)本身并能影響這些參數(shù)變化的客觀因素和相關(guān)參數(shù)的優(yōu)化，是今后進(jìn)一步研究的方向.

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