張奧博,樊 瑛,狄增如

(北京師范大學(xué)系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，北京 100875)

0 引言

符號網(wǎng)絡(luò)早已是社會網(wǎng)絡(luò)研究的重要領(lǐng)域。在20世紀(jì)40年代，Heider[1]應(yīng)用社會心理學(xué)領(lǐng)域的研究結(jié)果，提出了一種用三角形來描述以人為研究主體的關(guān)系中積極作用和消極作用方法。與之相關(guān)的基礎(chǔ)性理論有兩個：地位理論和結(jié)構(gòu)平衡理論[6]。結(jié)構(gòu)平衡理論是由社會學(xué)家Heider[1]提出的，結(jié)構(gòu)平衡理論認(rèn)為圖1中，a和b是平衡結(jié)構(gòu)，c和d是非平衡結(jié)構(gòu)。之后Davis[8]提出了弱平衡理論，認(rèn)為三邊均為負(fù)號也屬于平衡結(jié)構(gòu)。Cartwright[9]等人則基于結(jié)構(gòu)平衡理論從圖的角度重新對其刻畫。Ernesto[10]和Alec[11]利用矩陣的秩計算符號網(wǎng)絡(luò)中的平衡性，通過對不同長度的環(huán)按權(quán)重求和來進(jìn)行計算。符號網(wǎng)絡(luò)還被廣泛應(yīng)用于鏈路預(yù)測、符號預(yù)測和社團(tuán)劃分中，Traag[12]等人對Q函數(shù)加入符號，以對符號網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行社團(tuán)劃分，Larusso[13]提出用模擬退火算法最大化社團(tuán)內(nèi)的正邊和社團(tuán)間的負(fù)邊來得到結(jié)果。Agrawl[14]基于矩陣分解提出了符號網(wǎng)絡(luò)的鏈路預(yù)測的方法，Liu[15],Chiang[16]等人提出了對于符號網(wǎng)絡(luò)中未知邊的符號預(yù)測的方法。在Szell等人[17]的研究中，通過實證分析證實了平衡結(jié)構(gòu)的比例是隨著時間演化而逐漸增長的，揭示了社會網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)演化性質(zhì)。Wu[18]等人探索結(jié)果與動態(tài)演化的關(guān)系，揭示了負(fù)邊對極化觀點的影響，Pan[19]等人提供了一種分布式數(shù)據(jù)驅(qū)動的防范驗證大規(guī)模符號網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)平衡。

圖1 結(jié)構(gòu)平衡理論中的三角形結(jié)構(gòu)Fig.1 Triangle structures in structural balanced theory

符號網(wǎng)絡(luò)研究主要集中在理論探究、社區(qū)檢驗、社團(tuán)劃分等網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分析和動力學(xué)演化分析等,但總體來說，在符號網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)的研究中，對于網(wǎng)絡(luò)上信息擴(kuò)散、合作演化、網(wǎng)絡(luò)輿論形成等問題的相關(guān)研究還較少。

輿論形成是網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)研究的重要主題。輿論是社會公眾對于某一觀點或事件所持意見的集合，社會輿論對于社會的發(fā)展和進(jìn)步起到了關(guān)鍵性的作用，輿論的形成與傳播是社會復(fù)雜系統(tǒng)研究中的重要問題。特別是在信息技術(shù)飛速發(fā)展的今天，人與人之間的聯(lián)系和影響越來越緊密，社會系統(tǒng)的復(fù)雜性日益凸顯，基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)方法研究輿論的動態(tài)演化、形成規(guī)律及傳播特點，具有重要的理論意義和現(xiàn)實意義。

本文將著重研究符號網(wǎng)絡(luò)上的輿論形成，探索符號網(wǎng)絡(luò)中的平衡結(jié)構(gòu)對輿論形成的作用?；贗sing模型、多數(shù)投票模型的相關(guān)研究主要關(guān)心系統(tǒng)的統(tǒng)計性質(zhì)和相變行為，在本文中，我們利用離散動力學(xué)模型，更加關(guān)注輿論形成的時間演化行為，關(guān)注平衡結(jié)構(gòu)性質(zhì)對系統(tǒng)演化過程和最終穩(wěn)恒狀態(tài)的影響。

1 模型構(gòu)建

本節(jié)主要建立符號網(wǎng)絡(luò)上輿論形成的動態(tài)演化模型，包括基于投票模型的頂點狀態(tài)演化以及狀態(tài)與結(jié)構(gòu)的耦合演化。我們將首先討論N=20*20的二維三角形晶格網(wǎng)絡(luò)如圖2(周期邊界條件)，其中圓形為正節(jié)點、三角形為負(fù)節(jié)點，粗線為正邊、細(xì)線為負(fù)邊，在第3節(jié)中把模型推廣到ER隨機(jī)網(wǎng)。

圖2 初始符號網(wǎng)絡(luò)圖Fig.2 Initial signed network diagram

1.1 節(jié)點狀態(tài)演化規(guī)則

考慮網(wǎng)絡(luò)中的頂點(個體)i，它有兩種態(tài)度可以選擇，用自旋Si來表示它對某問題的具體態(tài)度，自旋向上(Si=+1)代表支持，自旋向下(Si=-1)代表反對；節(jié)點之間的連邊Aij代表個體之間的關(guān)系，+1代表積極關(guān)系，傾向于使兩個體的態(tài)度相同，-1代表兩節(jié)點間的關(guān)系為消極關(guān)系，傾向于使兩個體的態(tài)度相反，演化過程個體態(tài)度通過符號網(wǎng)絡(luò)受到與其有聯(lián)系的其他個體觀點的影響，我們假設(shè)個體i態(tài)度演化動力學(xué)為：

(1)

依據(jù)多數(shù)投票模型，網(wǎng)絡(luò)中每個個體的態(tài)度由上一步中鄰居節(jié)點態(tài)度的大多數(shù)來決定，大多數(shù)人的態(tài)度選擇對個體影響程度由pc決定。在本文中，我們暫不考慮節(jié)點狀態(tài)隨機(jī)取值的情形取pc=1，完全由多數(shù)規(guī)則決定個體狀態(tài)演化。

1.2 連邊演化規(guī)則

在模型中，我們將同時在演化過程中考慮個體關(guān)系的改變，兩節(jié)點間連邊的正負(fù)號會在一定程度上由兩節(jié)點的態(tài)度所決定，建立其動力學(xué)演化機(jī)制如下：

(2)

如果兩個相鄰個體態(tài)度相反，則在一定程度上可認(rèn)為兩者的關(guān)系也存在負(fù)向作用，態(tài)度相同則認(rèn)為關(guān)系為正向，所以給出動態(tài)演化中連邊的演化規(guī)則，連邊的狀態(tài)有一定概率由其連接兩節(jié)點的狀態(tài)給定，否則不改變連邊狀態(tài)。其中，pc′為連邊按連接兩節(jié)點狀態(tài)改變的概率。將連邊演化規(guī)則與節(jié)點狀態(tài)演化規(guī)則相結(jié)合更能體現(xiàn)真實狀況，態(tài)度觀點的改變也可能會引起個體間關(guān)系的變化，關(guān)系的改變也會作用到個體的態(tài)度演化。

2 演化模擬與結(jié)果

2.1 負(fù)邊比例與平衡結(jié)構(gòu)比例的關(guān)系

根據(jù)圖1中4種三角形結(jié)構(gòu)計算平衡結(jié)構(gòu)比例，對于任意3個節(jié)點i,j,k，設(shè)它們之間的連邊的值分別為Aij、Aik、Ajk，則其結(jié)構(gòu)性質(zhì)由式(3)決定：

(3)

因此，給定符號網(wǎng)絡(luò)中負(fù)邊的比例p，則(1-p)3為圖1中(1)所占比例，3*p2(1-p)為圖1中(2)所占比例。忽略三角形之間的相關(guān)性可知晶格網(wǎng)絡(luò)中平衡結(jié)構(gòu)比例與負(fù)邊比例p的函數(shù)關(guān)系為：

f=(1-p)3+3*p2(1-p)

(4)

圖3 負(fù)邊比例與平衡結(jié)構(gòu)比例關(guān)系圖Fig.3 The relationship between ratio of negative edges and ratio of balanced structures

從0到1以間隔0.005給定負(fù)邊比例，隨機(jī)生成一組符號網(wǎng)絡(luò)計算平衡結(jié)構(gòu)比例，得到負(fù)邊比例與平衡結(jié)構(gòu)比例的模擬結(jié)果，并與理論值進(jìn)行對比。如圖3，橫坐標(biāo)為符號網(wǎng)絡(luò)中的負(fù)邊比例，縱坐標(biāo)為該負(fù)邊比例下平衡結(jié)構(gòu)的比例，實線為模擬結(jié)果，虛線為根據(jù)公式(4)計算得出的理論值，能夠較好進(jìn)行擬合。

2.2 節(jié)點狀態(tài)演化模型

圖4 不同負(fù)邊比例下節(jié)點狀態(tài)平均值〈S〉變化圖Fig.4 The change diagram of 〈S〉 under different ratios of negative edges

當(dāng)負(fù)邊比例為0時，符號網(wǎng)絡(luò)中點的狀態(tài)由隨機(jī)分布逐漸演化為分為正負(fù)兩個區(qū)域，平均演化到50步后平均值〈S〉及所有節(jié)點均達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，最終狀態(tài)為點均為正或點均為負(fù)，也有可能會出現(xiàn)正負(fù)節(jié)點分為兩個區(qū)域的現(xiàn)象。在負(fù)邊比例為100%時，平均演化到100步左右時平均值〈S〉及所有節(jié)點均呈二倍周期狀態(tài)，如圖4b，最終狀態(tài)為點均為正或均為負(fù)或分為兩個區(qū)域波動。

當(dāng)負(fù)邊比例介于0～100%之間時，呈現(xiàn)一種偽隨機(jī)狀態(tài)，整體波動無趨勢，部分節(jié)點呈二倍周期的變化。分別對負(fù)邊比例為25%、50%、75%的情況進(jìn)行模擬，結(jié)果如圖4c、d、e所示，將3個結(jié)果進(jìn)行對比(見圖4f)，可以發(fā)現(xiàn)隨著負(fù)邊比例的增加，〈S〉波動的平均值會越來越趨向于0，波動的幅度也會增加。從微觀角度來看，存在部分節(jié)點呈二倍周期波動，將二倍周期變化的節(jié)點提取出來如圖5，發(fā)現(xiàn)負(fù)邊比例越大，二倍周期變化節(jié)點越多，越容易出現(xiàn)節(jié)點分區(qū)變化的現(xiàn)象。

本文認(rèn)為這種波動規(guī)律與網(wǎng)絡(luò)中的平衡結(jié)構(gòu)比例有重要的關(guān)系，因此計算了在不同平衡結(jié)構(gòu)比例下波動最大幅值與波動的平均值，所有比例下的演化在300步后都趨于一個相對穩(wěn)定的狀態(tài)，因此計算每次演化300-800步的波動的平均值以及最大幅值(波動最大值)，取多次結(jié)果進(jìn)行平均結(jié)果如圖6所示，隨著平衡結(jié)構(gòu)比例的增加，波動的平均值越趨近于0，最大幅值呈下降趨勢，說明了符號網(wǎng)絡(luò)的平衡性對波動性的影響。

圖5 25%、50%、75%負(fù)邊比例周期變化節(jié)點結(jié)構(gòu)圖Fig.5 The period changing nodes’ diagram under different ratios of negative edges

在節(jié)點狀態(tài)演化模型中，平衡結(jié)構(gòu)比例對符號網(wǎng)絡(luò)演化的波動性有著重要的作用，比例越低，越易使網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生二倍周期波動的現(xiàn)象，越易形成觀點一致且保持相同周期變化的小集團(tuán)，波動的最大幅值越大，平均值越小。

2.3 節(jié)點狀態(tài)與連邊耦合演化結(jié)果

節(jié)點與連邊耦合演化模型中，在對點進(jìn)行演化的基礎(chǔ)上，加入對邊的演化規(guī)則(5)，進(jìn)行演化。在0、25%、50%、75%、100%五種比例的符號網(wǎng)絡(luò)下觀察演化的過程及結(jié)果。同時在邊按概率的演化規(guī)則基礎(chǔ)上，使邊在不同的時間尺度下進(jìn)行演化，觀察結(jié)果。

(5)

圖7 耦合模型下符號網(wǎng)絡(luò)〈S〉演化結(jié)果Fig.7 The results of 〈S〉 under coupled model

當(dāng)邊每一時間步變化一次且按照pc′=100%進(jìn)行演化時，會在演化至60步左右時，平均值〈S〉和部分節(jié)點會呈現(xiàn)二倍周期的波動狀態(tài)，如圖7a所示，pc′=50%進(jìn)行演化時，平均值〈S〉和所有節(jié)點會呈現(xiàn)穩(wěn)定狀態(tài)，如圖7b所示。 由于現(xiàn)實生活中關(guān)系變化的時間尺度一般會長于態(tài)度的變化，所以改變時間尺度使邊每10個時間步變化一次，時，pc′=100%演化至20步左右，〈S〉和所有的節(jié)點都會呈現(xiàn)穩(wěn)定的狀態(tài)，如圖7c所示，pc′=50%時，演化至50步左右，平均值〈S〉和所有的節(jié)點都會呈現(xiàn)穩(wěn)定的狀態(tài)，如圖7d所示。發(fā)現(xiàn)降低連邊演化的概率會延長系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時間，在連邊演化的規(guī)則下，符號網(wǎng)絡(luò)的平衡性會隨連邊的演化而逐漸提高，圖8為pc′=50%，時間尺度為10時平衡結(jié)構(gòu)比例的演化情況，發(fā)現(xiàn)隨著演化的進(jìn)行系統(tǒng)的平衡性增強(qiáng)。

圖8 耦合模型下平衡結(jié)構(gòu)比例的變化趨勢圖Fig.8 Trend diagram of the proportion of the balanced structures under the coupled model

當(dāng)連邊演化的時間尺度為10時，在關(guān)注演化過程中的微觀結(jié)構(gòu)時可以發(fā)現(xiàn)，在10個時間步以內(nèi)負(fù)邊比例為0%或100%時會明顯區(qū)分出兩個狀態(tài)相反的集團(tuán)，但是當(dāng)在連邊進(jìn)行演化之后不會產(chǎn)生節(jié)點狀態(tài)全部趨同的情況，而是分成集團(tuán)，集團(tuán)內(nèi)的節(jié)點狀態(tài)均穩(wěn)定且相同。

綜上所述，節(jié)點與連邊耦合演化時，邊的演化概率pc′=100%，平均值〈S〉和部分節(jié)點會呈現(xiàn)二倍周期的波動狀態(tài)，當(dāng)改變演化概率pc′和邊變化的時間尺度時，平均值〈S〉和所有的節(jié)點都會呈現(xiàn)穩(wěn)定的狀態(tài)，初始平衡結(jié)構(gòu)比例對演化結(jié)果無明顯影響，演化過程中平衡結(jié)構(gòu)比例不斷增加。

3 隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)與完全平衡隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)對比結(jié)果

根據(jù)連邊的演化規(guī)則，邊的演化概率pc′=100%，只需對連邊進(jìn)行一步演化，就可以構(gòu)成一個完全平衡的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。為研究網(wǎng)絡(luò)平衡性對輿論形成的影響，分別生成隨機(jī)符號網(wǎng)絡(luò)和完全平衡的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)，對節(jié)點賦予相同的初始狀態(tài)并進(jìn)行演化。分別生成負(fù)邊比例為10%、20%、30%、40%、50%的隨機(jī)符號網(wǎng)絡(luò)和完全平衡網(wǎng)絡(luò)，按照節(jié)點狀態(tài)演化規(guī)則進(jìn)行演化。

(6)

觀察演化結(jié)果，發(fā)現(xiàn)在平衡網(wǎng)絡(luò)下，上述負(fù)邊比例的符號網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的平均狀態(tài)〈S〉和所有節(jié)點的狀態(tài)最后均能達(dá)到穩(wěn)定的狀態(tài)，如圖9a所示，對每一比例分別進(jìn)行10次計算，得到其達(dá)到平衡的平均演化步數(shù)為6.06步且在不同比例間沒有顯著差異；但是隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)平均狀態(tài)會呈波動狀態(tài)如圖9b所示，平均在200步左右會出現(xiàn)圍繞一個均值波動的情況。

圖9 完全平衡網(wǎng)與隨機(jī)符號網(wǎng)〈S〉值對比Fig.9 Comparison of 〈S〉 between fully balanced network and random symbol network

在演化過程中，記錄所有節(jié)點的演化，根據(jù)節(jié)點的狀態(tài)分為正節(jié)點和負(fù)節(jié)點兩個社團(tuán)，并用鄰接矩陣表示，將狀態(tài)為正的節(jié)點置于前一部分，狀態(tài)為負(fù)的節(jié)點置于后一部分，再對邊的鄰接矩陣進(jìn)行變換，并且隨演化進(jìn)行，社團(tuán)內(nèi)節(jié)點是變化的，鄰接矩陣隨演化調(diào)整，得到每一時間步下變換后的鄰接矩陣，并將正邊標(biāo)記為圓形，負(fù)邊標(biāo)記為三角形，如圖10所示。發(fā)現(xiàn)在平衡網(wǎng)絡(luò)下，隨著演化的進(jìn)行，最終會形成社團(tuán)內(nèi)的連接均為正，社團(tuán)間連接為負(fù)的兩個社團(tuán)。

圖10 完全平衡網(wǎng)連邊矩陣演化過程圖Fig.10 the evolution diagrams of completely balanced network’s Adjacency matrix

4 結(jié)論

計算在不同負(fù)邊比例下的三角形平衡結(jié)構(gòu)，得到平衡結(jié)構(gòu)比例隨負(fù)邊比例的變化曲線，發(fā)現(xiàn)能很好地通過給定負(fù)邊比例計算平衡結(jié)構(gòu)比例理論值；在對節(jié)點狀態(tài)的演化模型中發(fā)現(xiàn)，負(fù)邊比例會影響網(wǎng)絡(luò)平衡性，進(jìn)而影響系統(tǒng)穩(wěn)定狀態(tài)的群體一致性，非平衡結(jié)構(gòu)比例越高序參量越靠近0點，越易產(chǎn)生周期變化，在負(fù)邊比例為0%時會出現(xiàn)狀態(tài)趨同的現(xiàn)象，比例為100%時，全部節(jié)點均呈二倍周期變化；可以觀察到整體演化結(jié)果存在著趨于系統(tǒng)輿論平衡和周期變化情形，可以發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)生周期變化的構(gòu)型由非局域平衡結(jié)構(gòu)以及頂點狀態(tài)共同決定；邊與狀態(tài)的耦合演化，特別是考慮相互作用調(diào)整與狀態(tài)演化的時間尺度差別時，會增加系統(tǒng)演化的復(fù)雜性，系統(tǒng)會具有更豐富的穩(wěn)態(tài)演化模式，連邊調(diào)整的概率和時間尺度的引入會影響耦合演化的周期變化；完全平衡網(wǎng)絡(luò)能加速系統(tǒng)輿論趨于穩(wěn)定狀態(tài)，并且有利于區(qū)分符號網(wǎng)絡(luò)中的正負(fù)節(jié)點，將其分為兩個社團(tuán)。