賽 雷，李 吉，徐 鵬

(海軍航空大學(xué)，山東 煙臺(tái) 264001)

0 引言

隨著信息時(shí)代數(shù)據(jù)流量的劇增，如何設(shè)計(jì)更加高效的數(shù)字濾波器是提升信號(hào)處理效率的核心問題。相比于無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器能夠在沒有相位校正網(wǎng)絡(luò)的情況下更加容易地實(shí)現(xiàn)線性相位特性，因此，其具有更強(qiáng)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和設(shè)計(jì)靈活性。同時(shí)，由于無(wú)線頻譜資源的日益緊張與“綠色通信”的需求越發(fā)迫切，尋求頻譜效率和能量效率更高的窗函數(shù)以提升濾波器性能勢(shì)在必行。在采用窗口設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器時(shí)，濾波器性能的好壞在很大程度上取決于是否選擇了合適的窗函數(shù)。目前主流的窗函數(shù)有：矩形窗、Bartlett窗、Hanning窗、Hamming窗、Blackman窗及Kaiser窗等。然而，窗函數(shù)的選擇完全可以不局限于上述主流方案。實(shí)際進(jìn)行FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)時(shí)，具有時(shí)間帶寬積可控性以及最佳時(shí)頻能量聚集性等諸多優(yōu)良特性的PSWF[1]也可以作為窗函數(shù)的選擇之一。

PSWF近年來(lái)在信息科學(xué)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[2-6]，而圍繞“利用PSWF來(lái)設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器”這一思路，相關(guān)專家學(xué)者已經(jīng)展開了諸多卓有成效的研究：1970年，Tufts D等人[7]首次提出了基于PSWF的數(shù)字低通濾波器(LPF)設(shè)計(jì)思路，他們將該思路與最小均方誤差(LMSE)設(shè)計(jì)法進(jìn)行對(duì)比，認(rèn)為利用PSWF設(shè)計(jì)的LPF在旁瓣衰減速度和旁瓣峰值等方面具有一定的優(yōu)勢(shì)；1978年，Slepian D等人[8]在分析離散橢圓球面序列(DPSS)的信息傳輸應(yīng)用場(chǎng)景時(shí)，提出了基于DPSS的FIR數(shù)字LPF設(shè)計(jì)方案；1985年，Mathews J等人[9]從數(shù)學(xué)角度闡述了基于DPSS的FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)思路，認(rèn)為基于DPSS的數(shù)字濾波器可以有效減輕通帶波動(dòng)現(xiàn)象(通帶波紋更小)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)濾波器整體性能的提升；2016年，劉曉等人[10]提出了基于PSWF的數(shù)字帶通濾波器(BPF)設(shè)計(jì)方案，并將該方案與基于Blackman窗和Kaiser窗的設(shè)計(jì)方案進(jìn)行了對(duì)比，認(rèn)為基于PSWF的BPF能夠呈現(xiàn)出更好的旁瓣衰減特性。

一方面，隨著近年來(lái)各種PSWF求解方法的提出，各種參數(shù)條件下PSWF的求解逐漸趨于精確化、高效化，這為采用PSWF窗設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器提供了更為便利的技術(shù)條件；另一方面，采用PSWF來(lái)設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器與“綠色通信”的需求更加貼合。因此，本文采用運(yùn)算復(fù)雜度較低、操作靈活簡(jiǎn)便的顯式求解方案[11]來(lái)產(chǎn)生PSWF脈沖信號(hào)，并將其作為窗函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)線性相位FIR-BSF的設(shè)計(jì)。

1 第0階PSWF窗

1.1 窗函數(shù)的求解

PSWF定義：對(duì)于任意時(shí)間帶寬積因子c，必然存在一組有限的實(shí)數(shù)χ0<χ1<χ2...滿足如下方程：

(1)

PSWF的傳統(tǒng)求解方法大致有3種：勒讓德多項(xiàng)式逼近法[12]、重構(gòu)算法[13]和核函數(shù)矩陣數(shù)值解法[14]。這些方法由于引入角度的不同，各自呈現(xiàn)的優(yōu)勢(shì)也不同。隨著工程實(shí)踐的發(fā)展，上述傳統(tǒng)方法均表現(xiàn)出不同程度的局限性(如，勒讓德多項(xiàng)式逼近法和重構(gòu)算法的求解效率不高，而核函數(shù)矩陣數(shù)值解法的求解精度不高)。因此，本文采用由Hermite函數(shù)逼近法得到的顯式漸近表達(dá)式[11]來(lái)獲得第0階PSWF。

具體表達(dá)式如下[11]：

(2)

由此可見，在m=0且c給定的情況下，將c,m兩變量的值代入式(2)即可獲得所需的第0階PSWF。由于此處只需要求解第0階PSWF，因此，采用顯式求解方案可避免傳統(tǒng)方法中求解矩陣特征值、特征向量等復(fù)雜運(yùn)算，能夠在保證精度的同時(shí)，大幅提升運(yùn)算效率。同時(shí)，從數(shù)學(xué)角度來(lái)講，采用Hermite函數(shù)逼近PSWF能夠保證其時(shí)域奇偶對(duì)稱特性不受破壞，有利于實(shí)現(xiàn)FIR數(shù)字濾波器的線性相位特性。

1.2 與其他主流窗函數(shù)的性能對(duì)比分析

最初，PSWF的提出歸功于Shannon在1959年參觀Bell實(shí)驗(yàn)室時(shí)提出的一個(gè)問題：“一個(gè)函數(shù)在多大程度上它的頻譜限制在有限帶寬而同時(shí)又在時(shí)域上集中分布？”Bell實(shí)驗(yàn)室的Slepian D等人[1,8]以此問題為研究動(dòng)力，最終于1961年從數(shù)學(xué)角度證明了PSWF是解決時(shí)限與帶限之間矛盾的最佳信號(hào)形式，即PSWF具有最佳的時(shí)頻能量聚集性。實(shí)際上，同時(shí)間帶寬積PSWF的能量聚集度(主瓣內(nèi)能量與總能量的比值)隨階數(shù)的增加而逐漸下降。因此，為了實(shí)現(xiàn)更高的能量效率與頻譜效率，應(yīng)當(dāng)選取第0階PSWF作為濾波器窗函數(shù)。

引言已指出，采用窗口法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器時(shí)，常用的窗函數(shù)有：矩形窗、Bartlett窗、Hanning窗、Hamming窗、Blackman窗及Kaiser窗等。但是，由于矩形窗、Bartlett窗以及Hanning窗可提供的最小阻帶衰減不足50 dB(性能較差)，因此在本節(jié)，對(duì)可提供的最小阻帶衰減超過50 dB的Hamming窗、Blackman窗和Kaiser窗3種窗函數(shù)與第0階PSWF窗進(jìn)行對(duì)比分析。

首先，將4種窗函數(shù)的窗口長(zhǎng)度M均固定為51個(gè)；其次，為了便于對(duì)比，將目標(biāo)阻帶衰減As暫定為88 dB，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)式c/π=0.038 1As+0.316[15]，將第0階PSWF窗的時(shí)間帶寬積因子c設(shè)置為3.668 8π；根據(jù)經(jīng)驗(yàn)式β=0.110 2(As-8.7)，將Kaiser窗的橢圓參數(shù)β設(shè)置為8.738 9；最后，將M為51且c為3.668 8π的第0階PSWF窗、M為51且β為8.738 9的Kaiser窗、M為51的Blackman窗、M為51的Hamming窗，四者的時(shí)頻域?qū)Ρ葓D像繪制如圖1和圖2所示。

圖1 4種窗函數(shù)的時(shí)域波形對(duì)比圖

由圖1可知，從時(shí)域波形來(lái)看，在窗口長(zhǎng)度一致、c和β對(duì)應(yīng)的約束條件下：第0階PSWF窗、Kaiser窗和Blackman窗的時(shí)域波形較為接近，它們?nèi)咴诓蓸拥钠鹗继幣c結(jié)束處的幅值均比Hamming窗更快接近于0，換言之，三者的截?cái)嘈Ч鶅?yōu)于Hamming窗；另外，第0階PSWF窗的截?cái)嘈Ч詢?yōu)于Kaiser窗，Kaiser窗的截?cái)嘈Ч詢?yōu)于Blackman窗。

圖2 4種窗函數(shù)的功率譜密度對(duì)比圖

觀察圖2并結(jié)合表1可知，從頻域功率譜密度來(lái)看，在窗口長(zhǎng)度一致、c和β對(duì)應(yīng)的約束條件下：第0階PSWF窗的旁瓣峰值最低、旁瓣衰減速度最快、主瓣寬度最寬、能量最為集中；Hamming窗的旁瓣峰值最高、旁瓣衰減速度最慢、主瓣寬度最窄、能量最不集中；Kaiser窗和Blackman窗的4項(xiàng)性能指標(biāo)介于第0階PSWF窗和Hamming窗之間，且Kaiser窗的性能略優(yōu)于Blackman窗。

表1 圖2中的關(guān)鍵數(shù)據(jù)

窗函數(shù)旁瓣峰值/dB旁瓣衰減速度主瓣寬度/Hz能量聚集度/%第0階PSWF窗-88.37最快3.78599.999 96Kaiser窗-71.27略慢于PSWF窗3.28799.999 87Blackman窗-58.11略慢于Kaiser窗3.06399.961 77Hamming窗-43.47最慢2.09299.547 87

綜上所述，從提升數(shù)字濾波器能量效率和頻譜效率的角度出發(fā)，第0階PSWF窗的整體性能是最優(yōu)的。

2 設(shè)計(jì)方案

2.1 實(shí)施步驟

基于PSWF的線性相位FIR-BSF設(shè)計(jì)方案的核心思想是：首先，根據(jù)需求確定阻帶頻段，并選取合適的理想BSF沖激響應(yīng)；隨后，采用第0階PSWF對(duì)其進(jìn)行“加窗”截?cái)嗖僮?，以期得到具有線性相位特性和因果特性的FIR-BSF。具體的設(shè)計(jì)方案步驟可歸納如下：

① 根據(jù)實(shí)際工程實(shí)踐所要求的阻帶衰減As、過渡帶寬Bt和通帶波紋Rp等技術(shù)指標(biāo)，結(jié)合理想帶阻濾波器的下阻帶參數(shù)ωL和上阻帶參數(shù)ωH，明確可用的窗函數(shù)，并估計(jì)窗口長(zhǎng)度M。

② 通過窗口長(zhǎng)度M和標(biāo)準(zhǔn)窗函數(shù)He(ejω)，構(gòu)造理想的頻響函數(shù)Hd(ejω)，具體操作為：

(3)

其中，對(duì)于帶阻濾波器而言，He(ejω)的具體形式如下：

(4)

③ 根據(jù)已知的Hd(ejω)，通過離散傅里葉逆變換(IDFT)或快速傅里葉逆變換(IFFT)計(jì)算得到理想時(shí)域響應(yīng)函數(shù)hd(n)。

④ 再次考查實(shí)際工程實(shí)踐所要求的阻帶衰減As、過渡帶寬Bt和通帶波紋Rp等技術(shù)指標(biāo)(主要是As的要求)，確定所需PSWF窗的時(shí)間帶寬積因子c。

⑤ 將m=0和上一步確定的c代入式(2)，得到符合要求的第0階PSWF窗函數(shù)ωPSWF(n)。

⑥ 進(jìn)行“加窗截?cái)唷辈僮?，得到線性相位FIR-BSF的設(shè)計(jì)結(jié)果，即

h(n)=hd(n)ωPSWF(n)，

(5)

同時(shí)，根據(jù)h(n)的對(duì)稱性和M值，明確設(shè)計(jì)結(jié)果是4類線性相位特性中的哪一類。

2.2 評(píng)價(jià)指標(biāo)

在完成上述設(shè)計(jì)方案步驟后，設(shè)置相關(guān)的評(píng)價(jià)指標(biāo)，對(duì)設(shè)計(jì)結(jié)果進(jìn)行科學(xué)合理的評(píng)價(jià)?？捎糜谠u(píng)價(jià)FIR數(shù)字帶阻濾波器的技術(shù)指標(biāo)主要有：

① 實(shí)際過渡帶寬Bt′，如圖3所示。就一般帶阻濾波器的設(shè)計(jì)結(jié)果而言，通常存在常數(shù)ωL′略大于ωL，亦存在常數(shù)ωH′略小于ωH，則實(shí)際過渡帶寬可定義為Bt′=ωL′-ωL或Bt′=ωH-ωH′。實(shí)際過渡帶寬越窄，帶阻濾波器的性能越理想。

② 通帶內(nèi)衰減Dp′，如圖3所示。通帶內(nèi)衰減可定義為Dp′=1-ε。通帶內(nèi)衰減越小，帶阻濾波器的性能越好。

③ 實(shí)際阻帶衰減As′，即實(shí)際阻帶[ωL′,ωH′]內(nèi)所能取得的最大幅值，在幅值歸一化且dB單位條件下，實(shí)際阻帶衰減As′的絕對(duì)值越大，帶阻濾波器的頻率阻礙性能越好。

圖3 FIR數(shù)字帶阻濾波器設(shè)計(jì)結(jié)果頻域示意圖

3 數(shù)值分析

根據(jù)上節(jié)的設(shè)計(jì)方案與評(píng)價(jià)指標(biāo)，本節(jié)將通過設(shè)計(jì)實(shí)例，從3個(gè)方面進(jìn)行數(shù)值分析：① 基于PSWF的線性相位FIR-BSF設(shè)計(jì)實(shí)例及其對(duì)比分析；② PSWF的窗口長(zhǎng)度一定時(shí)，時(shí)間帶寬積的變化對(duì)濾波器性能的影響分析；③ PSWF的時(shí)間帶寬積一定時(shí)，窗口長(zhǎng)度的變化對(duì)濾波器性能的影響分析。旨在驗(yàn)證上述方案的正確性與有效性，并挖掘相關(guān)規(guī)律。

設(shè)計(jì)實(shí)例：設(shè)某系統(tǒng)不允許ω∈[π/4,3π/4]內(nèi)的頻率通過，現(xiàn)使用窗口設(shè)計(jì)法，利用第0階PSWF窗設(shè)計(jì)阻帶衰減為70 dB、過渡帶寬不超過0.18π的線性相位FIR-BSF，以滿足該系統(tǒng)的需求。

3.1 基于PSWF的線性相位FIR-BSF設(shè)計(jì)實(shí)例及其對(duì)比

根據(jù)式(4)，當(dāng)ωL=π/4,ωH=3π/4時(shí)，通過IFFT計(jì)算得到理想時(shí)域響應(yīng)函數(shù)：

(6)

而后，將m和c代入式(2)，并對(duì)該式計(jì)算結(jié)果進(jìn)行M=51點(diǎn)等間隔采樣，得到符合要求的第0階PSWF窗函數(shù)序列ωPSWF(n)，并進(jìn)行“加窗截?cái)唷辈僮?，得到線性相位FIR-BSF的設(shè)計(jì)結(jié)果，即

h(n)=hd(n)ωPSWF(n)，

(7)

同時(shí)，由于h(n)是偶對(duì)稱的且M的值為奇數(shù)，因此該帶阻濾波器具備第一類線性相位特性。

在此基礎(chǔ)上，將第0階PSWF窗依次替換為Kaiser窗和Blackman窗，給出如下設(shè)計(jì)結(jié)果：As=70 dB，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)式β=0.110 2(As-8.7)，將Kaiser窗的橢圓參數(shù)β設(shè)置為6.755 3。采用不同窗函數(shù)時(shí)FIR-BSF設(shè)計(jì)結(jié)果對(duì)比如圖4所示。

依據(jù)2.2節(jié)的評(píng)價(jià)指標(biāo)，給出性能指標(biāo)的評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)如表2所示。

圖4 采用不同窗函數(shù)時(shí)FIR-BSF設(shè)計(jì)結(jié)果對(duì)比

表2 采用不同窗函數(shù)的設(shè)計(jì)結(jié)果評(píng)價(jià)指標(biāo)數(shù)據(jù)

窗函數(shù)實(shí)際阻帶衰減/dB實(shí)際過渡帶寬通帶內(nèi)衰減/dB實(shí)際通帶波紋/dB第0階PSWF窗-90.890.11π6.0213.944 1×10-4Kaiser窗-73.770.09π6.0234.085 5×10-4Blackman窗-74.960.14π6.0221.002 3×10-3

由表2可知，從實(shí)際阻帶衰減來(lái)看，采用第0階PSWF窗設(shè)計(jì)的BSF性能明顯優(yōu)于Kaiser窗和Blackman窗的性能；從實(shí)際過渡帶寬來(lái)看，采用第0階PSWF窗設(shè)計(jì)的BSF性能優(yōu)于Blackman窗的性能，略遜色于Kaiser窗的性能；從通帶內(nèi)衰減來(lái)看，采用第0階PSWF窗設(shè)計(jì)的BSF性能略優(yōu)于Kaiser窗和Blackman窗的性能；從實(shí)際通帶波紋來(lái)看，采用第0階PSWF窗設(shè)計(jì)的BSF性能與Kaiser窗的性能大致相當(dāng)，二者均明顯優(yōu)于Blackman窗的性能。

綜上所述，與Kaiser窗和Blackman窗相比，采用第0階PSWF窗設(shè)計(jì)的線性相位FIR-BSF的性能最優(yōu)。

3.2 時(shí)間帶寬積的變化對(duì)濾波器性能的影響

在窗口長(zhǎng)度一定的條件下，分析時(shí)間帶寬積的變化會(huì)對(duì)濾波器的性能產(chǎn)生何種影響。圖5分別給出在窗口長(zhǎng)度M=111的條件下，c=3π,10π,30π時(shí)的設(shè)計(jì)結(jié)果。

由圖5和表3可知，隨著時(shí)間帶寬積的增大，實(shí)際阻帶衰減的絕對(duì)值隨之增大，實(shí)際過渡帶寬也隨之變寬。換言之，PSWF時(shí)間帶寬積增大所帶來(lái)的實(shí)際阻帶衰減增益是以犧牲過渡帶寬為代價(jià)的。在實(shí)際工程實(shí)踐中，若是更側(cè)重于提升能量效率或強(qiáng)化阻帶的頻率阻礙特性，則應(yīng)適當(dāng)增大時(shí)間帶寬積；若是更側(cè)重于減小過渡帶寬，則應(yīng)當(dāng)適當(dāng)減小時(shí)間帶寬積。這一結(jié)論有力地說(shuō)明了PSWF的時(shí)間帶寬積可控性能夠?yàn)楣こ虒?shí)踐提供更強(qiáng)的靈活性。

圖5 不同時(shí)間帶寬積條件下的設(shè)計(jì)結(jié)果對(duì)比

表3 圖5中的關(guān)鍵數(shù)據(jù)

時(shí)間帶寬積實(shí)際阻帶衰減/dB實(shí)際過渡帶寬3π-92.930.05π10π-204.00.12π30π-259.10.16π

3.3 窗口長(zhǎng)度的變化對(duì)濾波器性能的影響

在時(shí)間帶寬積一定的條件下，分析窗口長(zhǎng)度的變化會(huì)對(duì)濾波器的性能產(chǎn)生何種影響。圖6分別給出當(dāng)時(shí)間帶寬積c=4π時(shí)，窗口長(zhǎng)度M=51,81,111時(shí)的設(shè)計(jì)結(jié)果。

由圖6可知，給定c=4π：當(dāng)M=51時(shí)，實(shí)際過渡帶寬為0.16π；當(dāng)M=81時(shí)，實(shí)際過渡帶寬為0.10π；當(dāng)M=111時(shí)，實(shí)際過渡帶寬為0.07π。由此可見，隨著窗口長(zhǎng)度的增加，帶阻濾波器的實(shí)際過渡帶寬逐漸減小。換言之，雖然窗口長(zhǎng)度的增加會(huì)不可避免地導(dǎo)致計(jì)算量增大與硬件復(fù)雜度提高，但是在過渡帶寬方面會(huì)取得較為明顯的增益。通過進(jìn)一步的數(shù)值發(fā)現(xiàn)，在本例線性相位FIR-BSF設(shè)計(jì)中，PSWF的窗口長(zhǎng)度每增加30，可獲得的過渡帶寬增益約為0.03π～0.04π。

圖6 不同窗口長(zhǎng)度條件下的設(shè)計(jì)結(jié)果對(duì)比

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)基于PSWF的FIR-BSF設(shè)計(jì)方案研究空白，為發(fā)揮PSWF的優(yōu)勢(shì)、提升FIR數(shù)字濾波器的性能，采用Hermite函數(shù)逼近法得到PSWF顯式漸近表達(dá)式產(chǎn)生第0階PSWF脈沖信號(hào)。在此基礎(chǔ)上，將第0階PSWF窗與其他主流窗函數(shù)進(jìn)行對(duì)比分析，驗(yàn)證了第0階PSWF的最優(yōu)性能。

在給出基于PSWF窗的FIR-BSF設(shè)計(jì)方案與評(píng)價(jià)指標(biāo)的基礎(chǔ)上，通過數(shù)值分析得到有關(guān)結(jié)論：① 與Kaiser窗和Blackman窗的設(shè)計(jì)結(jié)果相比，從實(shí)際阻帶衰減、通帶內(nèi)衰減、實(shí)際通帶波紋等評(píng)價(jià)指標(biāo)來(lái)看，第0階PSWF窗的設(shè)計(jì)結(jié)果最優(yōu)；從實(shí)際過渡帶寬來(lái)看，第0階PSWF窗的設(shè)計(jì)結(jié)果次優(yōu)。因此，整體上來(lái)講，基于PSWF窗的設(shè)計(jì)結(jié)果具有最佳性能。② 當(dāng)PSWF的窗口長(zhǎng)度一定時(shí)，若是更側(cè)重于提升能量效率或強(qiáng)化阻帶的頻率阻礙特性，則應(yīng)適當(dāng)增大時(shí)間帶寬積；若是更側(cè)重于減小過渡帶寬，則應(yīng)當(dāng)適當(dāng)減小時(shí)間帶寬積，這一結(jié)論有力地說(shuō)明了PSWF的時(shí)間帶寬積可控性能夠?yàn)楣こ虒?shí)踐提供更強(qiáng)的靈活性。③ 當(dāng)PSWF的時(shí)間帶寬積一定時(shí)，其窗口長(zhǎng)度每增加30，可獲得的過渡帶寬增益約為0.03π～0.04π。

實(shí)際上，隨著信息時(shí)代的到來(lái)和數(shù)據(jù)流量的倍增，基于PSWF的FIR數(shù)字濾波器的應(yīng)用范圍愈發(fā)廣泛，在計(jì)算機(jī)、雷達(dá)、導(dǎo)航及無(wú)線移動(dòng)通信等各工程領(lǐng)域中均具有重大價(jià)值，在下一步的研究中，應(yīng)當(dāng)繼續(xù)挖掘PSWF能夠?yàn)樾盘?hào)處理元器件(不僅是數(shù)字濾波器，比如希爾伯特變換器、微分器等)性能帶來(lái)的其他方面的增益，以期進(jìn)一步PSWF信號(hào)在能量效率或頻譜效率方面的優(yōu)勢(shì)。