張碧輝，岳良明，王軍

(1.中國(guó)航天空氣動(dòng)力技術(shù)研究院 彩虹無(wú)人機(jī)科技有限公司，北京 100074) (2.中國(guó)航天空氣動(dòng)力技術(shù)研究院 第二研究所，北京 100074)

0 引 言

代理模型(Surrogate Model或Metamodel)是指通過有限數(shù)據(jù)，逆向定義一個(gè)關(guān)于一系列設(shè)計(jì)變量的連續(xù)函數(shù)[1]。以代理模型代替原數(shù)值分析模型或物理試驗(yàn)，具有使計(jì)算量大幅減小但又保證準(zhǔn)確度的特點(diǎn)，適用于任何“改變輸入反復(fù)調(diào)用計(jì)算模型”的領(lǐng)域[2]。

代理模型種類眾多，常見的包括：多項(xiàng)式插值(Polynomial Regression)、徑向基函數(shù)(Radial Basis Functions)、支持向量機(jī)(Support Vector Machine)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Neural Network)、克里金法(Kriging)等。Wang Liping等[3]和Jin Ruichen等[4]對(duì)以上各種代理模型方法進(jìn)行了較全面的介紹。

作為一種低成本近似技術(shù)，代理模型應(yīng)具有足夠的精度，因此如何衡量代理模型精度成為一項(xiàng)必要的研究工作。常見的代理模型精度檢驗(yàn)指標(biāo)名目繁多，不同文獻(xiàn)所采用的指標(biāo)各異。常見指標(biāo)有：標(biāo)準(zhǔn)殘差值SR[5]、誤差平方R2[4]、均方根誤差RMSE[6-7]、正則化均方根誤差NRMSE[8]、相對(duì)最大絕對(duì)誤差RMAE[6-9]、相對(duì)平均絕對(duì)誤差RAAE[6]、代理模型接受率MAS[9]、平均百分比誤差A(yù)PE[10]等。

總結(jié)以上各種指標(biāo)，計(jì)算過程中普遍采用：

(1) 函數(shù)真值與模型預(yù)測(cè)值之差的絕對(duì)值；

(2) 先求出函數(shù)真值與模型預(yù)測(cè)值的差值，再計(jì)算該差值與函數(shù)真值的比值；

(3) 先求出函數(shù)真值與模型預(yù)測(cè)值的差值，再計(jì)算該差值與函數(shù)真值標(biāo)準(zhǔn)差的比值。

在代理模型的應(yīng)用中，通常在選定一種模型后，對(duì)多種數(shù)據(jù)分別進(jìn)行擬合。例如，飛行器氣動(dòng)參數(shù)的研究，需要對(duì)升阻力系數(shù)、俯仰力矩系數(shù)等一系列氣動(dòng)參數(shù)進(jìn)行建模，但是對(duì)于具有不同單位制、不同數(shù)值的兩種數(shù)據(jù)，以上代理模型精度指標(biāo)無(wú)法將二者進(jìn)行橫向比較：

(1) 飛行器的阻力系數(shù)數(shù)值都小于1，而力矩系數(shù)數(shù)值可能達(dá)到上百，第一類方法顯然不可取；

(2) 某些氣動(dòng)參數(shù)數(shù)值分布在0的附近，會(huì)導(dǎo)致第二類方法得到的指標(biāo)值失真；

(3) 采用第三種方法，模型精度會(huì)受到函數(shù)真值分布情況的影響。一般情況下，樣本點(diǎn)越分散越能夠包含更多函數(shù)信息，則模型越準(zhǔn)確。但是認(rèn)為模型準(zhǔn)確度與樣本點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)差成反比是不合理的。

為了解決以上問題，實(shí)現(xiàn)對(duì)代理模型不同種類擬合數(shù)據(jù)的橫向?qū)Ρ?，本文提出歸一化絕對(duì)誤差均值(Mean Normalized Absolute Error,簡(jiǎn)稱MNAE)來(lái)表征模型準(zhǔn)確度，并通過某飛行器算例的計(jì)算結(jié)果，以證明該指標(biāo)的有效性。

1 歸一化絕對(duì)誤差均值

(1)

根據(jù)代理模型預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的性質(zhì)，當(dāng)真實(shí)函數(shù)值同時(shí)為正或同時(shí)為負(fù)時(shí)，取：

(2)

當(dāng)真實(shí)函數(shù)值既有正數(shù)又有負(fù)數(shù)時(shí)(即跨越0時(shí))，?。?/p>

(3)

于是，任意函數(shù)真實(shí)值的歸一化為

(4)

任意函數(shù)模型預(yù)測(cè)值的歸一化為

(5)

代理模型的準(zhǔn)確度，定義為歸一化后真實(shí)值與歸一化預(yù)測(cè)值差值的絕對(duì)值的均值：

(6)

MNAE值越小，說明代理模型預(yù)測(cè)精度越高。MNAE值的定義，重點(diǎn)在于歸一化計(jì)算的上下界如何確定。對(duì)于樣本函數(shù)值“同時(shí)在零點(diǎn)一側(cè)”和“分布區(qū)間跨越零點(diǎn)”兩種情況，分別選擇不同的方法計(jì)算上下界。本文將上下界的區(qū)間設(shè)定的足夠大，以使得所有樣本點(diǎn)函數(shù)值歸一化之后都落在(0,1)區(qū)間。

2 算 例

本節(jié)算例為某型戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈。導(dǎo)彈彈體為圓柱形，彈頭為圓錐型，彈翼采用常規(guī)式縱向布局、“X”型周向布局，主翼、尾翼均采用雙弧型對(duì)稱翼型，尾翼為全動(dòng)舵面。其主要尺寸如圖1所示。

圖1 導(dǎo)彈主要幾何尺寸示意圖Fig.1 Dimensions of the missile example

導(dǎo)彈的外形設(shè)計(jì)參數(shù)確定后，調(diào)用Missile Datcom[11]計(jì)算不同飛行狀態(tài)下的氣動(dòng)數(shù)據(jù)，得到代理模型樣本點(diǎn)。

表征不同飛行狀態(tài)的代理模型設(shè)計(jì)變量包括：攻角、側(cè)滑角、速度、高度、飛行器重心位置，其取值范圍如表1所示。

表1 設(shè)計(jì)變量及取值范圍Table 1 Design variables and range

根據(jù)飛行器仿真程序的需求，氣動(dòng)數(shù)據(jù)共有11種，如表2所示。

表2 氣動(dòng)數(shù)據(jù)明細(xì)Table 2 Explanations of aerodynamic coefficients

3 Kriging模型及相關(guān)方法

Kriging模型的思想[12]是由南非工程師D.G.Krige于1951年提出的，之后發(fā)展成為一種地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)插值方法。1989年，J.Sacks等[13]將Kriging理論進(jìn)一步推廣到確定性計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)領(lǐng)域，并給出了一種較實(shí)用的Kriging算法。此后該方法在眾多研究領(lǐng)域得到發(fā)展和應(yīng)用。Kriging模型的基本思路詳見文獻(xiàn)[14]。Kriging模型在各種代理模型方法中建模工作相對(duì)復(fù)雜，但其擬合能力較強(qiáng)，在飛行器氣動(dòng)參數(shù)擬合領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[15-17]。

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)是建立代理模型的必要準(zhǔn)備工作，它的主要內(nèi)容是:在設(shè)計(jì)變量空間內(nèi)合理地布置有限的樣本點(diǎn)，使其能夠獲得盡可能多的函數(shù)信息。常見的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法包括：拉丁超立方(Latin Hypercube)、正交表(Orthogonal Array)、蒙特卡洛法(Monte Carlo)等[18]。

對(duì)于飛行器氣動(dòng)性能這類復(fù)雜問題，響應(yīng)函數(shù)在設(shè)計(jì)空間上的分布特性通常難以把握。本文在初次建立代理模型時(shí)選擇較少樣本數(shù)量，建立氣動(dòng)函數(shù)的粗略分布規(guī)律；基于初始樣本得到的代理模型，通過一系列加點(diǎn)方法加入新的樣本點(diǎn)，進(jìn)而迭代修正代理模型。

根據(jù)文獻(xiàn)[19]，本文Kriging模型建模過程中每次添加：函數(shù)極小值點(diǎn)，與現(xiàn)有樣本距離之和最大點(diǎn)，預(yù)測(cè)方差最大點(diǎn)，改進(jìn)期望值取不同系數(shù)所得到的5個(gè)最大值點(diǎn)。共計(jì)8個(gè)樣本點(diǎn)。

以上各極值求解均選用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化求解。

根據(jù)文獻(xiàn)[20]，氣動(dòng)數(shù)據(jù)代理模型中總存在著一些“奇異點(diǎn)”，它們的真實(shí)值與代理模型預(yù)測(cè)值之間的誤差很大，且不會(huì)隨著樣本點(diǎn)的增加而有所改善。剔除與“主流”數(shù)據(jù)點(diǎn)響應(yīng)趨勢(shì)不相符的“奇異點(diǎn)”能顯著改善模型精度。本文在每一輪加點(diǎn)的同時(shí)，同樣采用遺傳算法求解出模型檢驗(yàn)指標(biāo)最差的3個(gè)點(diǎn)，將其從樣本點(diǎn)中剔除。

綜上，先增加8個(gè)樣本點(diǎn)再刪除3個(gè)樣本點(diǎn)，一次樣本更新后樣本點(diǎn)數(shù)增加5個(gè)。

除了確定模型精度指標(biāo)之外，計(jì)算模型精度的策略主要分兩種：加點(diǎn)驗(yàn)證方法和交叉驗(yàn)證方法。加點(diǎn)驗(yàn)證方法簡(jiǎn)單直觀，但卻不能充分利用全部樣本點(diǎn)來(lái)構(gòu)建代理模型。交叉驗(yàn)證方法的基本思想可以簡(jiǎn)單描述如下：首先將樣本點(diǎn)集S隨機(jī)分成樣本數(shù)目大致相等的m個(gè)樣本點(diǎn)子集，在驗(yàn)證代理模型精度時(shí)，將其中的任一個(gè)樣本點(diǎn)子集作為待驗(yàn)證的數(shù)據(jù)，其余的m-1個(gè)用于構(gòu)建接受檢驗(yàn)的代理模型，這樣可以得到該子集對(duì)應(yīng)的驗(yàn)證誤差；當(dāng)遍歷m次，所有樣本點(diǎn)子集都充當(dāng)了驗(yàn)證數(shù)據(jù)后，就可以得到所有子集的精度指標(biāo)。本文采用交叉驗(yàn)證方法進(jìn)行代理模型精度檢驗(yàn)。

綜上所述，本文Kriging代理模型的建模、加點(diǎn)、檢驗(yàn)方法流程如圖2所示。

圖2 代理模型建模流程Fig.2 Modelling process of the surrogate

4 計(jì)算結(jié)果

為了驗(yàn)證代理模型精度指標(biāo)的準(zhǔn)確性，將MNAE值與相關(guān)性圖進(jìn)行比較。

相關(guān)性圖以最直觀的方式表達(dá)代理模型的準(zhǔn)確度：它的橫坐標(biāo)為一組輸入數(shù)據(jù)的真實(shí)函數(shù)值，縱坐標(biāo)為相同數(shù)據(jù)經(jīng)過代理模型得到的預(yù)測(cè)值。相關(guān)性圖中數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布越接近y=x這條直線，說明代理模型預(yù)測(cè)得越準(zhǔn)確。相關(guān)性圖的局限性在于其分布情況只能通過目視觀察，而不能給出定量的指標(biāo)。

根據(jù)第3節(jié)所述方法，得到各氣動(dòng)參數(shù)70樣本點(diǎn)Kriging模型的相關(guān)性圖，如圖3～圖13所示。根據(jù)使用經(jīng)驗(yàn)，阻力系數(shù)CD的Kriging模型選擇二階回歸項(xiàng)與Gauss相關(guān)函數(shù)，其他氣動(dòng)參數(shù)統(tǒng)一選擇一階回歸項(xiàng)與Exp相關(guān)函數(shù)。考慮個(gè)別氣動(dòng)系數(shù)集中分布在距離零點(diǎn)較遠(yuǎn)處，為了準(zhǔn)確表達(dá)Kriging模型預(yù)測(cè)精度，各參數(shù)相關(guān)性圖均包含零點(diǎn)。

圖3 CN系數(shù)相關(guān)性圖Fig.3 Regression plot of CN

圖4 CM系數(shù)相關(guān)性圖Fig.4 Regression plot of CM

圖5 CY系數(shù)相關(guān)性圖Fig.5 Regression plot of CY

圖6 CLN系數(shù)相關(guān)性圖Fig.6 Regression plot of CLN

圖7 CNA系數(shù)相關(guān)性圖Fig.7 Regression plot of CNA

圖8 CMA系數(shù)相關(guān)性圖Fig.8 Regression plot of CMA

圖9 CYB系數(shù)相關(guān)性圖Fig.9 Regression plot of CYB

圖10 CLNB系數(shù)相關(guān)性圖Fig.10 Regression plot of CLNB

圖11 CMQ系數(shù)相關(guān)性圖Fig.11 Regression plot of CMQ

圖12 CLNR系數(shù)相關(guān)性圖Fig.12 Regression plot of CLNR

圖13 CD系數(shù)相關(guān)性圖Fig.13 Regression plot of CD

不同氣動(dòng)系數(shù)分布規(guī)律不同，擬合難度不同，所得到的Kriging預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度自然也不同。對(duì)比圖3～圖13，按圖中數(shù)據(jù)點(diǎn)與直線y=x接近程度將各系數(shù)分類，結(jié)果如下：

預(yù)測(cè)準(zhǔn)確的系數(shù)：CY、CD、CM、CN、CLN、CNA

預(yù)測(cè)較準(zhǔn)確的系數(shù)：CLNB、CMA、CMQ、CLNR

預(yù)測(cè)不準(zhǔn)確的系數(shù)：CYB

將各系數(shù)的MNAE值按照從小到大排列，結(jié)果如表3所示。

表3 各系數(shù)MNAE值列表Table 3 MNAE value of aerodynamic coefficients

由相關(guān)性圖得到各系數(shù)預(yù)測(cè)準(zhǔn)確等級(jí)，將其與MNAE值進(jìn)行比較，可以發(fā)現(xiàn)二者一致。表明在橫向比較不同類型數(shù)據(jù)時(shí)，MNAE值能夠較好地表征代理模型的準(zhǔn)確度。

5 結(jié) 論

基于算例對(duì)11種氣動(dòng)參數(shù)的計(jì)算結(jié)果，通過對(duì)MNAE值與相關(guān)性圖的比較，驗(yàn)證了本文提出的精度指標(biāo)不僅能夠有效表征代理模型的準(zhǔn)確度，而且可以對(duì)不同類型的數(shù)據(jù)進(jìn)行橫向?qū)Ρ取?/p>