柳江 滕楊磊 王政皓 張業(yè) 劉雙雙

摘要：針對傳統(tǒng)電機的純滑動平面接觸模型分析結(jié)果與行波超聲電機定轉(zhuǎn)子接觸面表現(xiàn)出的實際輸出特性存在一定偏差的問題，利用摩擦形變角來闡述定轉(zhuǎn)子在接觸面不同性質(zhì)的摩擦狀態(tài)，據(jù)此分析兩者相對運動趨勢，并提出一種異于傳統(tǒng)純滑動摩擦狀態(tài)平面接觸模型的變摩擦三向接觸模型;在該模型的基礎(chǔ)上，構(gòu)建定轉(zhuǎn)子在接觸面的運動、受力及能量損耗狀況的數(shù)學模型，通過MATLAB仿真獲得電機驅(qū)動力矩、接觸點切向速度以及電機輸出效率，計算摩擦界面效率等參數(shù)隨定轉(zhuǎn)子間距變化的特性曲線，并利用測功機通過實驗驗證，與傳統(tǒng)模型相比，所述模型更加準確地反映了電機的實際工況。

關(guān)鍵詞：行波超聲電機;接觸面三向空間模型;變摩擦;摩擦界面輸出效率

DOI：10.15938/j.emc.2019.09.015

中圖分類號：TM 301.3

文獻標志碼：A

文章編號：1007-449X（2019）09-0115-08

Output characteristic analysis for ultrasonic motors with ?variable friction spatial contact model

LIU Jiang，TENG Yang?lei，WANG Zheng?hao，ZHANG Ye，LIU Shuang?shuang

（School of Automobile and Traffic， Qingdao University of Technology， Qingdao 266520， China）

Abstract：

For a traveling wave ultrasonic motor， the contact between the stator and the rotor is usually described by the plane contact model with a simple sliding. But the theoretical analysis using this traditional model may have an inevitable deviation from the motor′s real output. Therefore， a variable friction spatial contact model is proposed. The friction?deformation angle was used to define the friction state in different contact properties. By the kinematics and dynamics analysis on this 3 dimensional model， the mathematical functions for the motion， force and energy loss were derived. Using software MATLAB， the motor′s drive torque， the tangential velocity on the contact point， and the output efficiency were simulated. Besides， the relationship between the friction interface efficiency and the stator?rotor distance was analyzed. The test results indicate， that this new model offers a more accurate reflection to the motor′s actual working condition than the traditional one.

Keywords：Traveling wave ultrasonic motor; variable friction spatial contact model;variable friction;efficiency of the friction interface

0引言

超聲電機工作原理是利用壓電材料的逆壓電效應將電能轉(zhuǎn)化成彈性體的機械能。它與傳統(tǒng)電磁電機相比，具有轉(zhuǎn)矩密度大、功率密度高、結(jié)構(gòu)緊湊、定位精度高、響應速度快等眾多優(yōu)點。基于此，超聲電機在航空航天、光纖通信、科學儀器、微機電系統(tǒng)等領(lǐng)域具有廣闊的發(fā)展前景。目前絕大多數(shù)超聲電機的動力傳遞都是通過接觸面將定子的微觀振動轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)子的宏觀運動來實現(xiàn)。因此，定子和轉(zhuǎn)子接觸表面的摩擦層的輸出特性對于超聲電機的性能來說尤為關(guān)鍵。

1993年Hiroshi Hirata等 在國際上首次提出了行波超聲電機定轉(zhuǎn)子摩擦層的平面接觸模型，極大的簡化了定轉(zhuǎn)子接觸面運動及受力的分析過程。2003年趙淳生院士等在該平面模型的基礎(chǔ)上建立了一種更為準確的純滑動摩擦接觸界面模型，這個模型對于電機定轉(zhuǎn)子摩擦界面設(shè)計優(yōu)化來說具有極大的參考價值。2014年，相關(guān)研究表明由純滑動摩擦接觸界面模型計算出的摩擦界面能量損耗與電機實際損耗存在一定的偏差，在電機運行過程中定轉(zhuǎn)子的速度差波動時，此偏差尤為明顯。為解決上述偏差問題，本文提出了一種新的變摩擦三向接觸面模型。并在所述模型基礎(chǔ)上，研究定轉(zhuǎn)子相對速度波動所造成的摩擦—形變接觸狀態(tài)的變化，進而計算接觸摩擦界面的受力、運動以及能量損耗狀況。

1定轉(zhuǎn)子接觸面摩擦形變角

超聲電機定子和轉(zhuǎn)子的接觸面是一層剛度相對較小的摩擦材料，超聲電機正是通過這個接觸面摩擦層來進行動力傳遞和能量傳輸?shù)?。在接觸面上定子和轉(zhuǎn)子的相對運行速度存在瞬時差異。故接觸面狀態(tài)所包含的形變（摩擦形變角）以及摩擦性質(zhì)也不相同，形變示意和接觸狀態(tài)如圖1（定轉(zhuǎn)子接觸區(qū)域摩擦狀態(tài)圖）所示。

圖1（a）中點A′位于轉(zhuǎn)子上;點B′位于定子上（點A、B分別是摩擦層上與點A′、B′相重合的點）。電機運行過程中點A、B之間產(chǎn)生的相對速度差必然導致摩擦層的切向變形，記該速度差為（|Vr|-|Vs|）。對于此切向變形本文引入一個摩擦形變角S進行描述。（定義矢量AB與ef坐標軸負向所成夾角即為S）。S的瞬時變量S與定轉(zhuǎn)子速度差成正比，即S∝（|Vr|-|Vs|）。摩擦形變角S是由于切向摩擦力而產(chǎn)生的，其求取方法如下：

任意選取一段接觸面摩擦層材料，沿該材料的切向截取一微段，記為x。假定該微段材料的起始兩端分別是x1和x2。則存在x1-x2=x，本文認為摩擦材料在切向上產(chǎn)生的是為線性變形。由胡克彈性定律可知

xS=fτGm。（1）

當x0時，limx0xSS=S。

式中：Gm是接觸面摩擦層材料的剪切模量;fτ是該段材料接觸面所受切向作用力。

當S較小時，該微段的形變可視為形變角和切向長度的乘積。而電機的接觸面摩擦層材料是同性均質(zhì)材料，故可認為各處形變保持一致，即有S=xS。記S平均值為S，則有

S=∫x2x1fτGm（x2-x1）dx。（2）

式（1）中，當x=1時，S=fτ/Gm。將其帶入式（2），則

S=∫x2x11（x2-x1）Sdx=S。（3）

又由S=xS，x=1時S=S，所以S=S。故可知，S與選取位置（x1，x2）無關(guān)，即沿所取方向材料的特性相同。當接觸面摩擦層材料所受切向摩擦力fτ增大到最大值fτmax時，定義此時產(chǎn)生的摩擦形變角為該微段的最大摩擦形變角，記為Smax，則

Smax=fτmaxGm。（4）

Fτmax是單位面積該材料所受最大切向力，則

Fτmax=μ（t）fn。（5）

式中：μ（t）是接觸面摩擦系數(shù)隨時間變化的函數(shù);fn是定轉(zhuǎn)子接觸面上的法向作用力。

假定長度x所對應的摩擦材料面積為U，摩擦層寬度為bm，則有

U=xbm。（6）

單位面積該摩擦材料上的法向作用力為

fn=fnU

接觸面摩擦材料各特性關(guān)系公式為

Km=Embmhm，

EmGm=2（1+V）。（7）

式中：Km為材料的等效彈簧剛度（已在下文中推導驗證）;hm是接觸面摩擦材料的厚度;Em為接觸面摩擦層材料楊氏模量;V是泊松比。

聯(lián)立式（4）～式（7）則有

Smax=2μ（t）U（1+V）bm。（8）

由公式（8）可知，最大摩擦形變角Smax除了與摩擦系數(shù)的時變函數(shù)μ（t）有關(guān)外，還分別與材料本身的力學參數(shù)、結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)。

圖1（b）中， 最大摩擦形變角Smax是動/靜摩擦性質(zhì)轉(zhuǎn)變的臨界點，因此摩擦系數(shù)也是一個時變參量，對瞬時摩擦系數(shù)μ（t）（不同時刻的摩擦系數(shù)）分析如下：

1） S（t）>Smax時，定轉(zhuǎn)子接觸面處于相對滑動狀態(tài)，即圖1（b）中滑動區(qū)，此時產(chǎn)生的摩擦力是動摩擦力，是一個定值，記為μ0。

2） S（t）

綜合以上2種工況，則有μ（t）的表達式為

μ（t）=μ0，S（t）≤Smax;

μ0S（t）Smax，S（t）

當定子和轉(zhuǎn)子在接觸面上處于相對靜止狀態(tài)時，不產(chǎn)生相對滑動，即在給定的工作/運動時間t內(nèi)，A點與A′點保持重合，因此摩擦生熱Vf=0。此時摩擦層形變處于一種高頻的交變狀態(tài)，其阻尼發(fā)熱損耗Vd在整個電機的損耗中所占比重極小，所以在作能量損耗分析的時候可忽略不計。

2定轉(zhuǎn)子在摩擦層的接觸模型分析

基于行波超聲電機的運動機理，定子表面的輪廓線呈正弦波形狀。由于定、轉(zhuǎn)子基體剛度相對較大，故可以忽略由預壓力所引起的變形。因此，本文認為電機定、轉(zhuǎn)子接觸面只有摩擦層材料產(chǎn)生相應變形，且該變形與定子表面的正弦波輪廓線保持一致。

定轉(zhuǎn)子接觸面是多個平面線彈簧并聯(lián)的平面模型形式。針對上述平面模型中某一行波段進行拆分，則可獲得線彈簧模型如圖2（定轉(zhuǎn)子接觸面線彈簧模型圖）所示。對整個接觸面上所有的接觸點積分，便是接觸面垂向預緊力F。

依據(jù)胡克定律，只要獲得摩擦層材料的等效彈簧剛度即可就得預緊力F。等效彈簧剛度求取方法如下圖3摩擦材料形變示意圖所示。

假設(shè)從摩擦層沿切向截取長度為x的一小段材料，沿垂直方向施加外力Fm，因受壓而產(chǎn)生形變量記為hm。則有：

Fmxbm=Emhmhm。（10）

變形得

Fm=Emhmhmxbm。（11）

所截取這段材料的等效彈簧剛度記為K0，則

K0=Embmhmx。（12）

定義該段摩擦材料的等效彈簧剛度Km，有K0=Kmx，

故

Km=Embmhm。（13）

該微段處，定子所受摩擦層的正壓力記為P（x），有

P（x）=KmAm（cos2πγx-W）。（14）

式中：Am為定子行波幅值;γ為定子行波頻率;W摩擦層材料未發(fā)生形變時下表面距波形中軸線的距離。由于P（x）是沿著接觸面連續(xù)分布的，則在1個行波周期內(nèi)，有

F=2n∫a0P（x）dx。（15）

式中n是行波波數(shù)。

分析線彈簧模型圖分析W和Wz絕對值的關(guān)系，可得圖2中半接觸長度a的數(shù)學表達式如下：

a=12πγcos-1W，W>|Wz|;

λ2，W≤|Wz|。（16）

聯(lián)立式（12）～式（15）可得

F=2n·KmWz（12πγsin2πγa-acos2πγa）。（17）

在傳統(tǒng)接觸平面模型基礎(chǔ)上，本文構(gòu)建沿柱坐標單位矢量er，eθ，ez的三向接觸模型。如圖4定轉(zhuǎn)子接觸面上的相對運動趨勢模型圖所示，用以分析電機接觸面沿軸向之外的徑向和切向的動力學特性。

圖4中，點QR是轉(zhuǎn)子上與摩擦層的接觸點;點Qs為定子上與摩擦層的接觸點;VQR是轉(zhuǎn)子在點QR處的周向速度;VQs-r、VQs-θ和VQs-z分別表示定子表面質(zhì)點在點Qs處的徑向速度投影、切向速度投影和軸向速度投影。定子上接觸點的徑向速度，切向速度和軸向速度分別為：

VQs-r=-2πγAmφrsin（2πγt-nθ）。（18）

VQs-θ=-2πγAmφθcos（2πγt-nθ）。（19）

VQs-z=-2πγAmφzsin（2πγt-nθ）。（20）

式中：參數(shù)φr、φθ和φz是定子表面與摩擦層接觸點所處徑向、切向和軸向位置相關(guān)的函數(shù);θ為對應位置時的初相角。計算可得φr=0.277，φθ=0.748，φz=-0.719。

據(jù)定子與轉(zhuǎn)子接觸面的相對運動趨勢模型，拆解出定子受力如圖5定子受到摩擦層的接觸作用力示意圖所示。

圖5中，fn，fτ表示定子所受接觸面的軸向作用力和切向作用力（fn沿著縱軸ez的負向）;fτ位于單位矢量er和eθ所組成的坐標平面內(nèi)，顯然fτ和eθ所成夾角即為瞬時摩擦形變角S（t）。分析整個電機的受力可知軸向作用力fn和預緊力F平衡，則：

fτ=μ（t）fn，

fn=-F。（21）

將fτ分別沿切向和徑向進行投影，所得投影分量大小記為fτθ和fτr。同理可得，f′n和f′τ（f′n和f′τ表示轉(zhuǎn)子受到來自摩擦層的沿軸向和切向的接觸面作用力）。由牛頓第三運動定律，有（fn=-f′n、fτ=-f′τ）。

定子所受來自摩擦層作用力矢量形式為

f=-gvrfτrer-gvθfτθeθ-fnez。（22）

同理，轉(zhuǎn)子所受接觸面作用力為

f′=-f=gvrfτrer+gvθfτθeθ+fnez。（23）

公式（21）、公式（22）中，定子接觸接觸面作用力fτθ的反作用力即為轉(zhuǎn)子運動的驅(qū)動力，徑向分量fn則被做功全部損耗掉。公式（21）中fn前的負號表示定子所受的軸向作用力是沿著軸坐標系ez軸的負向，gvr和gvθ為符號函數(shù)，此符號函數(shù)的定義是由定子和轉(zhuǎn)子之間的相對速度來確定：

gvr=-1，VQs-r<0;

+1，VQs-r≥0。（24）

gvθ=-1，VQs-r

+1，VQs-r≥VQR。（25）

由圖5可知，fτθ和fτr與fτ之間的定量關(guān)系為

fτθ=|fτ·cosS（t）|，

fτr=|fτ·sinS（t）|。（26）

摩擦形變角S（t）是由定子跟轉(zhuǎn)子的相對速度確定

S（t）=arctan|VQs-r||VQs-θ-VQR|。（27）

可知，當fτ一定時，形變角S（t）越大，則fτθ越小、fτr越大，與之對應的轉(zhuǎn)子所受驅(qū)動力矩也減小，徑向的磨損增大。

在整個行波周期內(nèi)進行二次積分可獲得接觸面對轉(zhuǎn)子的驅(qū)動力矩和所受的軸向作用力分別為

Tτθ=sσhθfτθrds。（28）

Fn=sσfnds。（29）

式中：Sσ表示在整個接觸面積分;r為定子齒輪半徑。

3能量損耗及電機的有效輸出功率

由第2節(jié)可知，定子跟轉(zhuǎn)子之間在接觸面上存在相對滑動，產(chǎn)生的滑動損耗Pdc包括徑向Pdr和切向Pdθ2個方面（軸向可忽略），即：

Pdc=Pdr+Pdθ。（30）

式中徑向滑動損耗Pdr為

Pdr=1T∫t+Tt（Sσ（fτr|VQs-r|ds）dt）。（31）

切向滑動損耗Pdθ為

Pdθ=1T∫t+Tt（Sσ（fτθ|VQs-τ-vR|ds）dt）。（32）

式中： t表示電機穩(wěn)定工作時的任意某時刻;T為交流電壓周期。

根據(jù)能量守恒定律，在一個行波周期內(nèi)分別求得電機輸出功率Pout和損耗功率Pw的表達式為

Pout=1T∫t+TtTloadvrdt，（33）

Pw=Pds+Pdk+Pdc。（34）

式中：Pdc表示整個接觸界面上的摩擦損耗;Pds為定子的阻尼損耗;Pdk為轉(zhuǎn)子的阻尼損耗。而電機在穩(wěn)態(tài)下工作時得損耗主要來自摩擦層的摩擦能量損耗，即Pw≈Pdc，故電機輸出效率為

ηm=poutpdc+pout。（35）

4實例計算

4.1參數(shù)設(shè)置

針對所述三向空間接觸模型，本文根據(jù)某型號超聲電機得實際參數(shù)，進行摩擦損耗等相關(guān)計算。表1為超聲電機主要結(jié)構(gòu)參數(shù)。

具體計算流程如圖6算例流程圖所示，主要包括定轉(zhuǎn)子摩擦接觸面的運動狀態(tài)、受力分析及電機功率計算3部分內(nèi)容，圖中接觸面切向力、滑動損耗等6個關(guān)鍵的輸出特性用深灰色背景標記，虛線框為負載模型。

4.2結(jié)果分析

根據(jù)仿真結(jié)果可獲得電機在一個波長范圍內(nèi)的摩擦層接觸面輸出特性。其中切向速度vτ，摩擦形變角S以及驅(qū)動力矩T三項指標如圖7W<|Wz|時接觸面接觸狀態(tài)、圖8W>|Wz|時接觸面接觸狀態(tài)所示。圖中的虛線部分表示理論最大摩擦形變角，實線部分表示實際摩擦形變角。

分析圖7可知，當W<|Wz|時：

1）vτ隨時間基本呈正弦函數(shù)相關(guān)，并且在0.012 5 μs附近出現(xiàn)極大值。

2） 在整個波長周期內(nèi)，摩擦驅(qū)動力與摩擦形變角兩條實線得變化趨勢基本保持一致，表現(xiàn)出較好的線性相關(guān)。

3） 實際摩擦形變角和理論最大摩擦角在0～0.007 μs、0.009～0.013 μs以及0.016～0.025 μs 3個時間段內(nèi)相吻合，此時定轉(zhuǎn)子實際處于相對靜止區(qū)域;而在0.007～0.009 μs段內(nèi)，摩擦形變角實際值大于理論值，此時定轉(zhuǎn)子處于滑動區(qū)域;在0.013～0.016 μs段內(nèi)，實際值小于理論值，此時定轉(zhuǎn)子也處于相對靜止區(qū)域。

4） 分析實際摩擦驅(qū)動力矩曲線，在0～0.002 μs以及0.014～0.025 μs 2個時間段內(nèi)出現(xiàn)負扭矩，此區(qū)域工作狀態(tài)超聲電機無法避免，做電機參數(shù)優(yōu)化設(shè)計時應盡量減小該區(qū)間的跨度，并降低該區(qū)間電機轉(zhuǎn)矩絕對值的大小。與此同時，在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)上增加離合器或換向器也可使該問題得以優(yōu)化;在0.002～0.014 μs之間，轉(zhuǎn)矩大于零，電機實現(xiàn)正向驅(qū)動，曲線得表現(xiàn)形式類似階躍函數(shù)，做電機參數(shù)優(yōu)化設(shè)計時應使得該曲線盡快達到穩(wěn)態(tài)值。

從圖8可知，當W>|Wz|時，結(jié)論基本類似，兩者不同的地方在于形變角和驅(qū)動力矩中該段區(qū)域的范圍明顯增大。

綜合分析圖7和圖8，可知間距W表征了不同性質(zhì)摩擦狀態(tài)，對接觸面驅(qū)動力矩等重要的動力學參數(shù)影響至關(guān)重要。本文取5個等差的W值（W=0.6，0.8，1.0，1.2，1.4，單位μm），并針對不同的間距W取值計算接觸面的輸出效率、滑動損耗和輸出功率隨驅(qū)動力矩的變化特性，分別獲得不同特性曲線如圖9接觸面部分性能指標隨間距W變化的特性曲線所示。

分析圖9可知：

1）整體看來，輸出效率ηm、輸出功率Pout二者表現(xiàn)出較強的非線性特征，其中輸出功率Pout在低扭狀態(tài)時近似線性，且與間距W取值的變化關(guān)聯(lián)不大（圖中虛線L表示其漸近線，斜率≈0.1）;滑動摩擦損失Pdc的非線性特征較弱，原因在于摩擦損失與滑動摩擦力成正比，而此時滑動摩擦力占據(jù)驅(qū)動力的較大比例。

2）隨著間距W的增大（即相對靜止區(qū)域增大），摩擦界面效率ηm和輸出功率Pout隨著驅(qū)動扭矩變化的值也不斷增大，且隨著W的線性增加，ηm和Pout增大程度逐漸趨緩;

3）滑動摩擦損失Pdc則隨間距W的增大而減小。此外，隨著W的線性增加，滑動摩擦損失Pdc的減小呈平緩趨勢，并且，當W取值增大到一定程度后（約W>0.3 μm），Pdc的變化即可忽略不計。

對W=0.8 μm時進行實際工況實驗數(shù)據(jù)采集，比較傳統(tǒng)純滑動平面模型與本文所述變摩擦三向模型的滑動損失功率特性。實驗數(shù)據(jù)整理如圖10不同模型滑動損失功率特性。圖中離散點*是實際通過測功機所得實驗數(shù)據(jù)，細實線表示傳統(tǒng)純滑動平面模型特性曲線，粗實線為本文的變摩擦三向模型輸出特性曲線。

采集各個點的橫縱坐標，將值代入和方差SSE、離差平方和SST計算公式，計算擬合優(yōu)度R2，根據(jù)所得擬合優(yōu)度定量分析實驗數(shù)據(jù)點與仿真特性曲線的擬合程度，計算結(jié)果如下：

SSE=0.005 617;SSE′=0.024 731;

SST=0.110 860;

R2=0.949 34;R2′=0.776 92。

R2和R2′分別為三向模型仿真和平面模型仿真數(shù)據(jù)。對比發(fā)現(xiàn)R2較R2′取值更趨近于1，則表明實驗數(shù)據(jù)與本文所述模型仿真數(shù)據(jù)擬合程度較高，從而驗證本文所建模型可以更為真實的反映電機的實際特性。

5結(jié)論

1）依據(jù)理論摩擦形變角和實際摩擦形變角的大小將定轉(zhuǎn)子接觸面劃分為相對靜止區(qū)域和滑動區(qū)域兩種不同狀態(tài)，進而分析獲得不同接觸區(qū)域的瞬時摩擦系數(shù)，更為精確得表達了電機的實際摩擦狀態(tài)。

2）基于接觸面的不同摩擦性質(zhì)，構(gòu)建變摩擦三向接觸模型，分析定轉(zhuǎn)子得相對運動，動力傳遞及能量傳輸，獲得不同接觸點的速度、受力以及能力損耗的瞬時取值。

3）最后，針對不同間距W取值的電機實際工況進行電機輸出功率和摩擦界面效率等關(guān)鍵特性的實驗驗證和仿真分析。將實際工況所得實驗數(shù)據(jù)分別與傳統(tǒng)平面模型和變摩擦三向接觸模型兩種模型進行擬合優(yōu)度對比，發(fā)現(xiàn)本文所述模型R2取值更接近1。論證所提變摩擦三向接觸模型與電機實際特性更為接近。

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