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        靈活選解法 方程巧計(jì)算

        2019-11-04 02:53:11焦倩玉
        初中生世界·九年級(jí) 2019年9期
        關(guān)鍵詞:解方程一元二次方程常數(shù)

        焦倩玉

        親愛(ài)的同學(xué)們,你們知道嗎,人類(lèi)認(rèn)識(shí)一元二次方程的歷史相當(dāng)久遠(yuǎn)。阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·花拉子米在他的著作《代數(shù)學(xué)》里第一次承認(rèn)了一元二次方程有兩個(gè)根,還用幾何學(xué)方法得出一般的求根公式,極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。我們都知道解一元二次方程常見(jiàn)的方法有直接開(kāi)平方法、配方法、公式法和因式分解法,下面我們一起來(lái)結(jié)合具體題目,合理選擇解一元二次方程的方法,以方便我們的計(jì)算。

        一、直接開(kāi)平方法

        例1 解方程:(x+1)2-1=3。

        【解析】把x+1看作一個(gè)整體,將方程兩邊同時(shí)加1,變形為(x+1)2=4,再直接開(kāi)平方,計(jì)算即可。

        解:(x+1)2-1=3。

        (x+1)2=4。

        x+1=±2。

        x=-1±2。

        ∴x1=1,x2=-3。

        【點(diǎn)評(píng)】形如(x+h)2=k(h、k為常數(shù),k≥0)的方程通常使用直接開(kāi)平方法。需要注意的是,若k=0,則答案需寫(xiě)作x1=x2=-h的形式,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。

        二、配方法

        例2 解方程:x2-10x+22=0。

        【解析】觀察這個(gè)一元二次方程,我們發(fā)現(xiàn)二次項(xiàng)系數(shù)為1,一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù),此時(shí)考慮選擇使用配方法。

        解:x2-10x=-22。

        x2-10x+52=-22+52。

        (x-5)2=3。

        x-5=[±3]。

        x=5±[3]。

        ∴x1=5+[3],x2=5-[3]。

        【點(diǎn)評(píng)】關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c是常數(shù),a≠0),當(dāng)a=1,b為偶數(shù)時(shí)通常使用配方法。先把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊,然后加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方。將方程轉(zhuǎn)化為(x+h)2=k的形式,進(jìn)而求解。當(dāng)一元二次方程的一次項(xiàng)系數(shù)不是偶數(shù)時(shí),配方容易出錯(cuò),同學(xué)們應(yīng)引起注意。

        三、公式法

        例3 解方程:2x2+x-1=0。

        【解析】觀察這個(gè)一元二次方程,我們發(fā)現(xiàn)二次項(xiàng)系數(shù)不為1,一次項(xiàng)系數(shù)為奇數(shù),此時(shí)應(yīng)選擇使用公式法。

        解:∵a=2,b=1,c=-1,

        b2-4ac=12-4×2×(-1)=9。

        ∴x=[-1±32×2]。

        ∴x1=[12],x2=-1。

        【點(diǎn)評(píng)】關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c是常數(shù),a≠0),當(dāng)b2-4ac≥0時(shí),方程的實(shí)數(shù)根是x=[-b±b2-4ac2a]。同學(xué)們對(duì)一元二次方程的求根公式需要熟練掌握,把各項(xiàng)系數(shù)的值直接代入公式,進(jìn)而求解。特別對(duì)于a≠1,b為奇數(shù)的情況,公式法通常較為簡(jiǎn)便。

        四、因式分解法

        例4 解方程:x(2x-1)=3(1-2x)。

        【解析】觀察這個(gè)一元二次方程,我們發(fā)現(xiàn)2x-1與1-2x互為相反數(shù),移項(xiàng)后可提公因式,因此應(yīng)選擇使用因式分解法。

        解:x(2x-1)-3(1-2x)=0。

        x(2x-1)+3(2x-1)=0。

        (2x-1)(x+3)=0。

        ∴2x-1=0或x+3=0。

        ∴x1=[12],x2=-3。

        【點(diǎn)評(píng)】開(kāi)始動(dòng)筆做題之前,同學(xué)們一定要養(yǎng)成認(rèn)真讀題的好習(xí)慣。這道題可通過(guò)移項(xiàng),將方程右邊化為0,方程左邊經(jīng)提公因式之后可分解為兩個(gè)一次因式的乘積。把解這樣的一元二次方程轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)一元一次方程,從而得出結(jié)果。

        例5 解方程:(3x-1)2-4x2=0。

        【解析】將4x2看作2x整體的平方,我們可以利用平方差公式將這個(gè)一元二次方程的左邊進(jìn)行因式分解,轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一次因式的乘積。

        解:(3x-1)2-(2x)2=0。

        (3x-1+2x)(3x-1-2x)=0。

        (5x-1)(x-1)=0。

        ∴5x-1=0或x-1=0。

        ∴x1=[15],x2=1。

        【點(diǎn)評(píng)】形如x2-ax=0和x2-a2=0的一元二次方程通??梢允褂靡蚴椒纸夥焖俚亟鉀Q。

        一般地,在一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c是常數(shù),a≠0)中,如果b2-4ac≥0時(shí),那么它的兩個(gè)根為x1=[-b+b2-4ac2a]、x2=[-b-b2-4ac2a],這兩個(gè)根滿(mǎn)足x1+x2=[-ba],x1·x2=[ca]。這個(gè)結(jié)論也可以幫助我們更加便捷地解決一些問(wèn)題。

        例6 已知關(guān)于x的方程2x2+mx+50=0的一個(gè)根是10,求它的另一個(gè)根。

        【解析】已知一元二次方程的一個(gè)根,可以將此根代入方程求出參數(shù)的值,再通過(guò)解這個(gè)方程得到它的另一個(gè)根?;蛘吒鶕?jù)題目條件,利用根與系數(shù)的關(guān)系,進(jìn)行求解。

        解法一:把x=10代入,得2×102+10m+50=0。

        解得m=-25。

        把m=-25代入,得2x2-25x+50=0。

        ∵a=2,b=-25,c=50,

        b2-4ac=(-25)2-4×2×50=225。

        ∴x=[25±2252×2]=[25±154]。

        ∴x1=10,x2=[52]。

        ∴方程的另一個(gè)根是[52]。

        解法二:∵a=2,c=50,

        ∴x1·x2=[ca]=[502]=25。

        ∵x1=10,

        ∴x2=[2510]=[52]。

        ∴方程的另一個(gè)根是[52]。

        【點(diǎn)評(píng)】對(duì)比本題的這兩種解法,我們可以明顯看出方法2更為便捷。已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c是常數(shù),a≠0)中a和b的值,可以利用x1+x2=[-ba]進(jìn)行求解;已知a和c的值,則可以利用x1·x2=[ca]進(jìn)行求解。

        例7 已知關(guān)于x的方程x2+bx+c=0的兩根分別是[2]+1、[2]-1,求b、c的值。

        【解析】已知一元二次方程的兩個(gè)根,那么我們可以直接代入,聯(lián)立得到關(guān)于b和c的二元一次方程組,進(jìn)而求解。經(jīng)過(guò)計(jì)算,我們發(fā)現(xiàn)這種方法并不方便。我們可以逆向使用根與系數(shù)的關(guān)系,直接得到b和c的值。

        解:∵x1+x2=-b,

        ∴([2]+1)+([2]-1)=-b,

        ∴b=[-22]。

        ∵x1·x2=c,

        ∴([2]+1)·([2]-1)=c,

        ∴c=1。

        【點(diǎn)評(píng)】此處為根與系數(shù)的關(guān)系的直接應(yīng)用,同學(xué)們要注意歸納總結(jié)。另外需要注意的是,x1+x2=[-ba]中,負(fù)號(hào)不要漏寫(xiě)。

        (作者單位:江蘇省南京市第一中學(xué)初中部)

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