程紹禹 李修娣 孫一楠/ 文

一、問(wèn)題描述

航班收入包括客票的收入和附加服務(wù)的收入，兩項(xiàng)收入均與價(jià)格和需求有關(guān)，該問(wèn)題研究的是基于價(jià)格水平和需求量的收入優(yōu)化問(wèn)題。以某一個(gè)特定航班的銷售情況為例，在資源約束下，研究如何通過(guò)設(shè)定客票價(jià)格和附加服務(wù)價(jià)格，同時(shí)考慮價(jià)格引致的需求量變化，最終使航空公司預(yù)期收入最大化。

一般情況下，產(chǎn)品價(jià)格越高，需求越小，整體趨勢(shì)呈線性。而對(duì)于部分附加服務(wù)，旅客的選擇相對(duì)靈活，在價(jià)格偏低時(shí)需求彈性較大，隨價(jià)格不斷升高，需求變小，需求曲線趨于平緩。根據(jù)旅客需求的圖像特征且考慮數(shù)學(xué)上的易處理性，選擇了線性與對(duì)數(shù)2 種需求價(jià)格曲線：線性函數(shù)為g（p）=ap+b，對(duì)數(shù)函數(shù)為g（p）=c ln p+d。

此問(wèn)題可演化成如下數(shù)學(xué)模型：飛機(jī)上有固定座位數(shù)C，有一個(gè)基礎(chǔ)產(chǎn)品（客票）和（n- 1）個(gè)附加服務(wù)，通過(guò)改變客票價(jià)格p1和附加服務(wù)價(jià)格p2、p3……pn使航空公司預(yù)期收入最大化。為保證模型的合理性及正確性，提出如下前提條件：

前提1：在整個(gè)銷售期間，航空公司不存在補(bǔ)艙位的行為，該航班的產(chǎn)品剩余量為零時(shí)即銷售期結(jié)束。

前提2：此航班產(chǎn)品的成本為固定常數(shù)。為簡(jiǎn)化模型且不失一般性，將產(chǎn)品成本假定為零。且在整個(gè)銷售期間內(nèi)不考慮銷售價(jià)格的成本。

二、基于航班收入最大化的模型構(gòu)建

1. 需求函數(shù)模型

需求函數(shù)表示某種商品的需求量與價(jià)格之間的關(guān)系，第i種產(chǎn)品組合，第j 個(gè)產(chǎn)品組合的需求函數(shù)為：

此航班總需求函數(shù)為：

根據(jù)旅客選擇特點(diǎn)，旅客對(duì)客票和附加服務(wù)的選擇組合如附表所示。例如，組合3 表示旅客選擇了客票和第3 種附加服務(wù)，組合4 表示旅客選擇了客票和第2、3 種附加服務(wù)。

附表 產(chǎn)品組合舉例

對(duì)于以上模型，我們挑選一種常見(jiàn)情況，當(dāng)n=5 時(shí)，進(jìn)行模型解釋。

假設(shè)有客票和4 種常見(jiàn)的附加服務(wù)，分別是行李托運(yùn)、退改簽、機(jī)上餐食、選座。我們的目標(biāo)是通過(guò)設(shè)定客票價(jià)格p1和4種附加服務(wù)的價(jià)格p2……p5使航空公司的預(yù)期收入最大化。

首先確定產(chǎn)品的需求函數(shù)。根據(jù)國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀，將旅客分為公商務(wù)旅客與休閑旅客。對(duì)所有旅客來(lái)說(shuō)，客票均是最基礎(chǔ)的產(chǎn)品，價(jià)格對(duì)需求的影響較?。阂话闱闆r下，票價(jià)越高，旅客需求越小，整體趨勢(shì)呈線性，所以假設(shè)客票的需求函數(shù)為線性。

對(duì)于公務(wù)、商務(wù)旅客來(lái)說(shuō)，行李托運(yùn)、退改簽的需求相對(duì)固定，需求隨價(jià)格的變化趨勢(shì)與客票的情況類似，所以其需求函數(shù)為線性。但旅客對(duì)于選座、機(jī)上餐食的選擇相對(duì)靈活，在價(jià)格偏低時(shí)需求較大，隨價(jià)格不斷升高，需求變小，需求曲線趨于平緩，故根據(jù)其圖像特征，假設(shè)其為對(duì)數(shù)函數(shù)。

休閑旅客對(duì)于所有附加服務(wù)都是價(jià)格敏感型，故假設(shè)客票的需求函數(shù)為線性，所有附加服務(wù)的需求函數(shù)均為對(duì)數(shù)型。

2. 預(yù)期收入函數(shù)模型

飛機(jī)上的座位即容量C 是固定的，因此，如果總需求小于C 時(shí)，預(yù)期收入為產(chǎn)品價(jià)格和需求量的乘積，可表示為：

當(dāng)n=5 時(shí)，5 種產(chǎn)品排列組合后共有16 種產(chǎn)品組合，分別又對(duì)應(yīng)2 種類型的旅客，故共有32 種情況。我們認(rèn)為線性函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)相加后近似為新的對(duì)數(shù)函數(shù)。將需求函數(shù)帶入預(yù)期收入公式，得到不同產(chǎn)品組合的預(yù)期收入。

3. 價(jià)格組合求解

令預(yù)期收入最大化的關(guān)鍵因素是確定產(chǎn)品價(jià)格，通過(guò)以上計(jì)算得到了預(yù)期收入和價(jià)格之間的函數(shù)關(guān)系（用R 表示）。本模型是在資源約束下基于需求量與票價(jià)的收入優(yōu)化問(wèn)題，為使R最大化，達(dá)到理想效果，此處采用經(jīng)濟(jì)學(xué)中最基本的手段，對(duì)R求偏導(dǎo)，求出預(yù)期收入最大時(shí)的價(jià)格組合。

由于現(xiàn)行的折扣經(jīng)濟(jì)艙（discount economy class）與豪華經(jīng)濟(jì)艙（premium economy class）差別主要在附加服務(wù)，為簡(jiǎn)化求解過(guò)程和實(shí)際操作，將上述4 種附加服務(wù)的價(jià)格統(tǒng)一看作p2，則共有2 種產(chǎn)品組合：組合1 為只選擇客票，定義其旅客需求函數(shù)為，其中p1為客票價(jià)格，a.b 為參數(shù)。組合2為同時(shí)選擇客票和附加服務(wù)，需求函數(shù)為（其中p2為附加服務(wù)價(jià)格，c、d 為參數(shù)。

則航空公司獲得總收入為：

分別對(duì)p1.p2求偏導(dǎo)：

求得使總收入取最大值的解：

三、算例分析

1. 需求曲線擬合與驗(yàn)證

選取世界范圍內(nèi)較為繁忙的4 條客運(yùn)航段：ICN- KIX、LLG- YYZ、SIN- KUL、DXB- KWI，保證市場(chǎng)的充分競(jìng)爭(zhēng)，在IATA 數(shù)據(jù)庫(kù)中獲取2014 年3 月—2019 年3 月內(nèi)該航段的折扣經(jīng)濟(jì)艙與豪華經(jīng)濟(jì)艙票價(jià)及其對(duì)應(yīng)的旅客量。只考慮客票和附加服務(wù)2 種產(chǎn)品，將折扣經(jīng)濟(jì)艙看作組合1，將豪華經(jīng)濟(jì)艙看作組合2。

采用Excel、MATLAB 軟件對(duì)獲得的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，可獲得需求函數(shù)并進(jìn)行顯著性假設(shè)檢驗(yàn)，若假設(shè)檢驗(yàn)符合要求，則將各參數(shù)值代入式（7），求得的p1、p2即為使總收入最大時(shí)所選擇的客票與附加服務(wù)價(jià)格。

由于歷史數(shù)據(jù)為各月份的平均票價(jià)，并未對(duì)起飛前的銷售情況分時(shí)段進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，價(jià)格區(qū)間較為集中，因此擬合出的曲線中僅有ICN- KIX 效果較好，最終選取該航線為例進(jìn)行算例分析。

按照2.1 中定義的需求函數(shù)，用Excel 將折扣經(jīng)濟(jì)艙價(jià)格p1與對(duì)應(yīng)客運(yùn)量q1進(jìn)行直線擬合，得- 24.17p1+18216.91。組合1 共177 個(gè)樣本，對(duì)組合1 的需求函數(shù)進(jìn)行回歸分析，可得F 檢驗(yàn)的P 值為0.008，說(shuō)明置信度較高，模型可用。

2. 價(jià)格組合最優(yōu)解

將擬合所得系數(shù)a=- 24.17，b=18216.91，c=- 3298，d=19230代入式（7），求得客票與1 種附加服務(wù)這一組合價(jià)格最優(yōu)解為：

此時(shí)所有旅客都不愿以377 元的價(jià)格僅購(gòu)買客票；對(duì)于附加服務(wù)而言，旅客不僅不愿單獨(dú)購(gòu)買，而且反而抑制旅客對(duì)于客票的購(gòu)買。因此對(duì)于ICN- KIX 這一旅游航線，旅客為價(jià)格敏感型，航空公司應(yīng)該采取捆綁銷售，提供豪華經(jīng)濟(jì)艙組合票價(jià)：p=p1+p2=125，并將附加服務(wù)作為附贈(zèng)服務(wù)提供以吸引旅客。

四、結(jié)語(yǔ)

將附加服務(wù)定價(jià)與客票剝離給航空公司帶來(lái)的收入與捆綁銷售不同?；趧?dòng)態(tài)定價(jià)模型，探討了不同類型的旅客對(duì)于不同產(chǎn)品組合的需求情況，由歷史銷售數(shù)據(jù)可擬合出某市場(chǎng)對(duì)于特定產(chǎn)品的需求曲線，得出了航空公司基于不同產(chǎn)品價(jià)格的預(yù)期總收入函數(shù)，并以航空公司收入最大化為目標(biāo)，求出在該市場(chǎng)的需求水平上適用的最優(yōu)組合價(jià)格。通過(guò)計(jì)算求得使ICN- KIX 航段收入最大時(shí)，航空應(yīng)該采取捆綁銷售，提供豪華經(jīng)濟(jì)艙組合票價(jià)125 美元，并將附加服務(wù)作為附贈(zèng)服務(wù)以吸引旅客。

由于歷史數(shù)據(jù)為各月份的平均票價(jià)，價(jià)格區(qū)間較為集中，因此擬合曲線效果不是很好。下一步可采用單個(gè)航班在起飛前不同時(shí)段的價(jià)格與需求數(shù)據(jù)、針對(duì)不同市場(chǎng)擬合需求函數(shù)、探討選擇一種產(chǎn)品對(duì)于其他產(chǎn)品需求水平的影響，結(jié)果將會(huì)更加準(zhǔn)確。