丁 然，李 強

(北京交通大學 機械與電子控制工程學院，北京 100044)

理論上，中心極限定理是對載荷譜級數k→∞ 時和分布的近似，但實際應用中載荷譜通常只有8級或16級.若近似計算產生非保守誤差，在可靠度要求較高的場合，該計算方法的應用受到限制.而分析中心極限定理的近似誤差保守與否通常存在一定的困難.另一方面，為獲得每級載荷下的損傷分布，可能需要用額外的實驗數據進行參數估計.但可靠性問題通常關注的是拖尾，即高可靠度區(qū)的損傷分布特性，并非均值附近的分布特征.這意味著需要大樣本的數據才能獲得高置信度的參數估計.

針對上述問題，本文提出一種通過代數和對損傷或疲勞壽命可靠度進行保守估計的方法.損傷分布已知時，此方法可直接用于概率損傷模型；損傷分布未知時，此方法可基于一般的P-S-N(P為失效率，S為應力幅，N為壽命)曲線進行總損傷計算，從而避免額外的參數估計.本文方法計算簡便且可得到保守的可靠度估計，便于工程應用，但通常只能對高可靠度區(qū)損傷或壽命的可靠度進行保守估計.

1 可靠度的保守估計條件

設D為隨機變量，則其可靠度R的估計值d滿足P(D≤d)=R(P為概率)，即d是D的R可靠損傷.如果P(D≤d)≥R，則稱d是R可靠損傷的保守估計，或R是d的可靠度的保守估計，下文均采用后一種說法.

一個損傷累積模型可給出保守估計是指該模型滿足如下條件：給出各級載荷下R可靠損傷的保守估計di，則總損傷d=∑di也為保守估計，即

P(Di≤di)≥R?

(1)

下面討論式 (1)成立的條件.

先討論兩級加載，即k=2 的情況.設Di的累積分布函數(Cumulative Distribution Function,CDF)和概率密度函數(Probability Density Function,PDF)分別為Fi(x)和fi(x)，且兩級損傷相互獨立.則D的CDF可利用全概率公式計算：

(2)

因Fi(x)是單調函數，令u=F1(x)，v=F2(y)，則du=f1(x)dx，dv=f2(y)dy.取d=d1+d2，代入式(2)得

(3)

式 (3)表明D≤d1+d2的概率等于Ouv平面內被積函數下方區(qū)域的面積，如圖1中的陰影區(qū)域所示.在給定可靠度，如R=0.8 時，若計算得積分面積不小于 0.8，則模型可給出保守估計.

圖1 保守估計的幾何解釋Fig.1 Geometric illustration of conservative estimation condition

由于di是R的函數，所以式(3)中被積函數是u和R的函數：

(4)

令曲線下方的面積為Π(R)，則有

(5)

式 (1)成立等價于Π(R)≥R.

(6)

2 常見損傷分布的保守估計條件

目前的損傷累積模型均假設各級載荷下的損傷服從僅參數不同的同族分布.上節(jié)討論的一般模型不受此假設的限制.為將本文理論應用到已有的概率損傷模型，下文針對一些常見的分布族計算其可靠度保守估計的具體條件.

2.1 指數分布

損傷服從指數分布，即Di～Fi(x)=1-exp(-x/θi),x≥0，其中θi為尺度參數.則有

(7)

將式(7)代入式 (6)和 (5)得

(8)

圖2為η=1時的Π(R)圖像，圖中Rp為方程Π(R)=R的解，可利用數值方法求得.可以看出，當R≥Rp時，式(1)成立.圖3為η取不同值時Rp的變化趨勢.可以看出，η=1 時Rp的最大值約為 0.715 3.工程應用中，即使分布參數的取值未知，也可用R≥0.715 3 獲得總損傷的保守估計，本文稱滿足此特點的條件為一致可用的保守估計條件.

圖2 Π(R)與R的關系圖Fig.2 Relationship between Π(R)and R

圖3 Rp與η的關系圖Fig.3 Relationship between Rp and η

2.2 對數正態(tài)分布

損傷服從對數正態(tài)分布，即Di～Φ[(lnx-μi)/σi] (x>0)，其中Φ(x)為標準正態(tài)分布的CDF；μi為對數均值；σi為對數標準差.lnx-μi=ln[x/exp(μi)]，所以exp(μi)是尺度參數，按本文約定η=exp(μ1-μ2).由于求解Π(R)≥R時需考慮σ1、σ2和η不同取值的組合，所以對數正態(tài)分布下的求解與指數分布下的求解具有明顯區(qū)別.參數較多時，若沒有一致可用的保守估計條件，將大大增加工程應用的難度.

視Rp為參數的函數，觀察Rp(σ1,σ2,η)的計算結果發(fā)現，當σ1≤σ2時，Rp是η的增函數，如圖4所示.此外，無論η取何值，Rp是σi的增函數.取σ=max{σ1,σ2}，則有

Rp(σ1,σ2,η)≤Rp(σ,σ,η)≤Rp(σ,σ,1)

(9)

利用上式可計算僅與σ相關的保守估計條件.

圖5為η=1時Rp的圖像.可以看出，Rp為σ的增函數，σ=1時Rp略小于 0.8.

圖4 Rp 與η的關系圖Fig.4 Relationship between Rp and η

圖5 Rp與σ的關系圖Fig.5 Relationship between Rp and σ

損傷服從對數正態(tài)分是應用本文理論計算保守估計條件的典型例子，有以下幾點需要說明：

(1)Rp并不總是η的增函數.對于復雜的分布，要考慮各個參數對總損傷分布的影響.

(2)對于較大的σ，保守估計的條件可能很苛刻.如σ=2 時Rp≈0.95，此情況建議使用其它方法估計可靠損傷.

(3)通常損傷的對數標準差小于 1，此時可一致使用R≥0.8 進行保守估計.

2.3 其他常見分布

經計算可知，當損傷分布服從正態(tài)分布時，總有Rp=0.5.故可一致使用R≥0.5進行保守估計.

實踐表明，當損傷服從Weibull分布時，不同載荷下損傷分布的形狀參數(β)為常數，即β1=β2=β.由于Rp是β的減函數，所以β≥1時，可一致使用R≥0.715 3進行保守估計.

負Weibull分布也稱第3型廣義極值分布，目前很少用于損傷建模.但 Castillo[6]的理論研究表明，在相對一般的條件下損傷必然服從第3型廣義極值分布，因此該分布有較高的理論價值，此時Rp是β的增函數，當β≤10 時，可一致用R≥0.578 2進行保守估計，當β≤3.5 時，總有Rp≤0.5.此外，當β增大時，Rp的增大并不明顯，如果損傷服從此分布有必然性，則此特性可從統(tǒng)計學角度解釋為何 Miner法則總能給出偏差不大的損傷估計.

表1為常見分布的一致可用保守估計條件.

表1 常見分布的一致可用保守估計條件Tab.1 Uniform conditions of conservative estimation for common distributions

3 應用舉例

上文討論的僅為兩級加載情況下保守估計成立的條件.原則上，本方法可以推廣到k級加載的情況，但k級加載要計算多重積分，因此計算效率較低.由正態(tài)分布的可加性知，無論k取何值，總有Rp=0.5.若損傷服從其它分布，當k→∞ 時，根據中心極限定理，D依分布收斂于某正態(tài)分布，從而Rp收斂至 0.5.以損傷服從Weibull分布為例，對應k=2，3，4以及ηi=1時Rp的計算結果見表2.可以看出，當Rp>0.5 時，Rp為k的減函數.因此，無論k取何值，總可一致使用k=2 時的條件進行可靠度保守估計.而Rp≤0.5 時總可使用R≥0.5 來進行保守估計.

分別采用Miner線性損傷模型和Zhu等[7]的損傷模型進行損傷計算.由文獻[7]中數據估得某鋼材的S-N曲線的方程為

NS7.01=2.45×1024

(10)

文獻[7]認為在恒幅載荷下材料的壽命服從對數正態(tài)分布(LN)，即

N～LN(μN,σN)

(11)

式中:μN為對數均值，μN=logN，可由式 (10)計算而得.為簡化計算，本文假設變異系數(γ)不隨S變化，γ=σN/μN.由文獻[7]中數據估得γ=0.054 9.文獻[7]進一步推導出恒幅載荷循環(huán)作用n次所得損傷D(n)也服從對數正態(tài)分布：

(12)

表2 Rp隨k的變化Tab.2 Variation of Rp with k

表3 不同可靠度下損傷的計算Tab.3 Damage calculations under different reliability

由表1可知，對數正態(tài)分布的可靠度保守估計條件為R≥0.8.即按80%和90%可靠度計算的損傷是保守的(偏大)；而按50%或按傳統(tǒng)Miner法則計算的損傷則偏小.假設損傷服從對數正態(tài)分布，則按 Monte-Carlo 法模擬的 90%，80%，50% 的可靠損傷分別為 0.222，0.193，0.150，還可用∑n/∑D進行可靠壽命的大致估算.如本例對應 Miner 法則、Zhu模型和 Monte-Carlo 模擬估得的80%可靠壽命分別為8.46×106、10.06×106和11.44×106，從而驗證了本文方法的保守性.

圖6為k=6時，Monte-Carlo法計算得出總損傷的實際分布和中心極限定理(CLT)計算得出漸近分布的對比.可以看出，漸近分布與實際分布較為接近.但在可靠度要求較高的區(qū)域，如R≥0.9 時，漸近分布給出的可靠度高于實際分布.這意味著用漸近分布進行可靠度評估無法保證計算結果的保守性.

圖6 k=6時Monte-Carlo模擬結果與CLT結果的對比Fig.6 Comparison between the results calculated by Monte-Carlo method and CLT while k=6

本文的出發(fā)點是在各級損傷分布已知的情況下進行總損傷的可靠度估計.目前已有許多概率化的累積損傷模型，結合這些模型為損傷建模后即可應用文本方法對可靠度進行保守估計.

具體應用時，由于對損傷的參數進行統(tǒng)計推斷可能會產生誤差，所以本文推導了一些常見分布一致可用的保守估計條件.只要采用的分布對損傷有較好的擬合優(yōu)度，即使其參數估計有一定出入，也不影響其保守推斷.

此外，無論使用本文方法還是中心極限定理，都要求各級載荷下的損傷相互獨立.若認為損傷間存在依賴關系，如不同的加載順序對總損傷有較大影響，則需使用其它方法進行可靠度估計.

4 結語

統(tǒng)計學角度認為Miner 法則總可以給出偏差不大的損傷均值估計.但理論推導和數值算例表明，直接使用 Miner 法則或中心極限定理等方法求得的總損傷可能是非保守的，因此其在可靠度要求較高的應用中受到限制.

當損傷服從的分布已知時，往往存在一致可用的保守估計條件.利用這類條件進行計算，可避免分布參數估計誤差對可靠度保守性帶來的影響.損傷分布的這種特性對減少甚至避免額外的參數實驗有很大作用，因此本文研究有較好的理論意義和實際應用價值.