解亞宸，崔立新

（北京理工大學(xué) 管理經(jīng)濟(jì)學(xué)院，北京 100081）

1 引言

智能快遞柜是一種新興的快遞交接模式，有著方便、快捷、高效、安全的特點(diǎn)，多在高校、居民區(qū)等人流密集、快遞量大的場(chǎng)所投放使用[1]。智能快遞柜有廣闊的市場(chǎng)前景，但是由于收費(fèi)方面存在問(wèn)題，主流研發(fā)智能快遞柜的公司尚都處于嚴(yán)重虧損階段。為了解決這一問(wèn)題，基于收益管理，建立了關(guān)于寄存以及取出快遞的數(shù)學(xué)模型。

國(guó)內(nèi)針對(duì)快遞柜的研究主要集中于選址、系統(tǒng)設(shè)計(jì)、調(diào)研等，其中對(duì)“校園最后一公里配送”的研究較為廣泛[2-5]。張晶蓉等通過(guò)系統(tǒng)分析、建立模型的方法研究了智能快遞柜配送方式的成本核算，得出結(jié)論：智能快遞柜公司只從派件賺取收入很難實(shí)現(xiàn)盈利，企業(yè)還需要尋找其余的增值業(yè)務(wù)[6]。羅江婷等通過(guò)文獻(xiàn)調(diào)研以及歸納法，研究了智能快遞柜在發(fā)展中存在的問(wèn)題，為智能快遞柜歸結(jié)出四種盈利模式，同時(shí)提出智能快遞柜若使用單一盈利模式很難實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)增長(zhǎng)[7]。

收益管理理論主要運(yùn)用在航空、鐵路以及公路領(lǐng)域。國(guó)外研究起步較早，目前收益管理理論已成為一個(gè)成熟的體系，應(yīng)用領(lǐng)域廣泛[8]。Shibata等通過(guò)數(shù)學(xué)建模的方法對(duì)短途鐵路客流進(jìn)行研究，建立了一個(gè)基于座位等級(jí)分布提高上座率的數(shù)學(xué)模型[9]。Gabriel等對(duì)動(dòng)態(tài)定價(jià)政策實(shí)施和結(jié)果與收益管理的關(guān)系進(jìn)行了研究，通過(guò)假設(shè)賣(mài)方面臨的能力隨機(jī)控制問(wèn)題，設(shè)置產(chǎn)品數(shù)量及其相應(yīng)的價(jià)格，以實(shí)現(xiàn)銷(xiāo)售范圍內(nèi)的收入最大化[10]。Bertsimas 等通過(guò)改進(jìn)捕獲網(wǎng)絡(luò)效應(yīng)的確定性數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，解決了收益管理中需求不確定性、嵌套以及預(yù)訂的動(dòng)態(tài)問(wèn)題，所提出的算法可以使得航空公司收益增加[11]。Gosavi 等基于票價(jià)等級(jí)、超額預(yù)訂航班、不同票價(jià)等級(jí)的乘客的同時(shí)滿足需求，以及航班隨機(jī)取消的問(wèn)題，建立一個(gè)SMART 算法優(yōu)化模型。數(shù)值結(jié)果顯示，該算法優(yōu)于啟發(fā)式算法[12]。國(guó)內(nèi)針對(duì)收益管理理論的研究較晚，宋文波等以高鐵市場(chǎng)收益最大化為目標(biāo)，建立了不確定需求的動(dòng)態(tài)定價(jià)與票額分配綜合優(yōu)化模型。算例分析表明該模型可以為高速鐵路票額分配以及動(dòng)態(tài)定價(jià)提供優(yōu)化方法[13-14]。陳武華等采用數(shù)學(xué)模型算法，對(duì)酒店多房間類(lèi)型的客房需求相關(guān)性的綜合定價(jià)進(jìn)行了研究，建立了動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型，設(shè)計(jì)最優(yōu)定價(jià)策略，最后得出結(jié)論，酒店多房間類(lèi)型定價(jià)模型能夠使得酒店收入增加[15]。

2 寄件的動(dòng)態(tài)定價(jià)模型

2.1 問(wèn)題描述及假設(shè)

快遞柜每進(jìn)行一次寄件服務(wù)時(shí)，都會(huì)向寄件人收取費(fèi)用，該費(fèi)用是智能快遞柜企業(yè)的主要收入來(lái)源。針對(duì)現(xiàn)在的實(shí)際情況，快遞柜收取寄件費(fèi)用時(shí)，不論是在高需求還是低需求的市場(chǎng)環(huán)境下，只設(shè)置一個(gè)固定價(jià)格。這一定價(jià)舉措會(huì)使得企業(yè)在高需求市場(chǎng)環(huán)境下，占用所用的資源后，得不到最大利潤(rùn)，在低需求市場(chǎng)環(huán)境下，無(wú)法形成價(jià)格優(yōu)惠，吸引消費(fèi)者使用快遞柜寄件服務(wù)。

根據(jù)上述對(duì)快遞柜的行業(yè)、市場(chǎng)分析，做如下假設(shè)：（1）市場(chǎng)上僅存在一家快遞柜平臺(tái)，不存在市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)的情況；（2）快遞柜平臺(tái)向寄件人收取服務(wù)費(fèi)用基于快遞柜數(shù)量剩余比為d；（3）單個(gè)快遞柜存放一次快遞的運(yùn)營(yíng)成本為c 元；（4）快遞柜公司將面臨兩種不同的供需關(guān)系市場(chǎng)：供過(guò)于求—出現(xiàn)概率為fl，供不應(yīng)求—出現(xiàn)概率為fh。

2.2 模型建立

當(dāng)供過(guò)于求時(shí)，即未被占用的快遞柜的數(shù)量大于需要快遞柜平臺(tái)服務(wù)的寄件人數(shù)量—供＞需，此時(shí)的需求函數(shù)為：

當(dāng)供不應(yīng)求時(shí)，即供＜需，此時(shí)的需求函數(shù)為：

在低需求水平下，所有寄件人的需求能夠得到滿足，但是在高需求水平下，可能只有部分寄件人能夠得到快遞柜寄存快遞的服務(wù)。因此當(dāng)快遞柜平臺(tái)中的快遞柜余量越多，快遞柜平臺(tái)的服務(wù)能力越高，寄件人得到的服務(wù)比率φ就越高。表1 給出本節(jié)所需的符號(hào)約定。

表1 寄件費(fèi)用數(shù)學(xué)模型的符號(hào)約定

根據(jù)上述假設(shè)，目標(biāo)函數(shù)即平臺(tái)單個(gè)快遞柜每天利潤(rùn)π為：

（1）采取固定價(jià)格策略。當(dāng)采取固定價(jià)格策略時(shí)，服務(wù)價(jià)格不隨需求波動(dòng)而波動(dòng)，即pl=ph=p1。此時(shí)平臺(tái)利潤(rùn)函數(shù)為：

求取在無(wú)約束條件下，上述利潤(rùn)方程的最大值。

π1對(duì)p1求一階導(dǎo)，得：

再π1對(duì)p1求二階導(dǎo)，得：

由于bh、bl、fh、fl均大于0，故，則最大值的一階必要條件和二階必要條件均滿足，得出π1是p1的凹函數(shù)，且是極大值點(diǎn)，平臺(tái)在該情況下的最大利潤(rùn)為π1()。

（2）采取動(dòng)態(tài)定價(jià)價(jià)格策略。當(dāng)快遞柜平臺(tái)采取動(dòng)態(tài)定價(jià)策略，即pl≠ph。此時(shí)平臺(tái)利潤(rùn)函數(shù)為：

π2對(duì)ph求一階導(dǎo)，得：

二階導(dǎo)為：

π2對(duì)pl求一階導(dǎo)，得：

二階導(dǎo)為：

由于bh、bl、fh、fl均大于0，故那么π2關(guān)于pl、ph的Hessian矩陣：

該矩陣為負(fù)定的，則該最值問(wèn)題的一階條件和二階條件均滿足。接下來(lái)求各種情況的最優(yōu)價(jià)格：

根據(jù)以上得出π2是ph和的凹函數(shù)，且是極大值點(diǎn)，平臺(tái)在該情況下的最大利潤(rùn)為

2.3 算例分析

將以上兩種不同方案求解出的最優(yōu)價(jià)格，代入到利潤(rùn)函數(shù)中求解對(duì)應(yīng)情況下平臺(tái)的最大利潤(rùn)。為了將固定價(jià)格和動(dòng)態(tài)定價(jià)的不同效果直觀展示出來(lái)，進(jìn)行簡(jiǎn)單的算例分析。設(shè)定如下參數(shù)初始值（所有數(shù)值均根據(jù)網(wǎng)絡(luò)搜索以及實(shí)際情況分析得來(lái)）：

生成的圖像如圖1所示。

圖1 快遞柜固定價(jià)格與動(dòng)態(tài)定價(jià)比較圖

通過(guò)圖1 的比較，說(shuō)明現(xiàn)在的智能快遞柜企業(yè)固定價(jià)格收取費(fèi)用有很大的可能性使得企業(yè)處于長(zhǎng)期虧損狀態(tài)，這也符合現(xiàn)實(shí)生活中快遞柜企業(yè)虧損的實(shí)際情況。而通過(guò)圖1，可以看出若快遞柜企業(yè)采取動(dòng)態(tài)定價(jià)的定價(jià)策略會(huì)使得快遞柜平臺(tái)盈利。因此在當(dāng)前社會(huì)背景以及技術(shù)支持下，快遞柜企業(yè)采取動(dòng)態(tài)定價(jià)策略可以實(shí)現(xiàn)收入增長(zhǎng)，利潤(rùn)最大化。

3 取件的動(dòng)態(tài)定價(jià)模型

3.1 問(wèn)題描述及假設(shè)

快遞柜不光在存放時(shí)進(jìn)行收費(fèi)，若是快遞柜存放太久了，取件人未取走快遞，造成快遞柜占用時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，會(huì)使得平臺(tái)利益受損，因此對(duì)于長(zhǎng)時(shí)間未取走快遞的取件人也應(yīng)當(dāng)加收超額費(fèi)用。

目前針對(duì)超額費(fèi)用征收的起征點(diǎn)一般快遞柜企業(yè)設(shè)置在48h。超過(guò)48h，按1元/d收費(fèi)。首先48h的期限設(shè)置導(dǎo)致快遞柜平臺(tái)收取超額費(fèi)用的機(jī)會(huì)較少，同時(shí)又會(huì)占用快遞柜，使得快遞柜利用效率下降。其次，取件人對(duì)于1 元/d 的征收費(fèi)用表示不滿，消費(fèi)者滿意度下降，顧客忠誠(chéng)度下降，那么就會(huì)導(dǎo)致顧客流失。因此，針對(duì)這一情況，建立關(guān)于收取快遞存在時(shí)間超額費(fèi)用的動(dòng)態(tài)定價(jià)模型。

假設(shè)：（1）快遞存放在快遞柜中時(shí)間超過(guò)24h 開(kāi)始收取超額費(fèi)用；（2）對(duì)于超額費(fèi)用定價(jià)的影響因素不考慮消費(fèi)者心理、服務(wù)質(zhì)量、快遞柜的所在區(qū)域和人口密度等的影響，僅僅將價(jià)格視為快遞柜余量D的函數(shù)；（3）每小時(shí)進(jìn)行一次統(tǒng)計(jì)快遞柜的余量，根據(jù)所統(tǒng)計(jì)出來(lái)的余量計(jì)算這一個(gè)小時(shí)應(yīng)收取的超額費(fèi)用。

3.2 模型建立

假定價(jià)格與快遞柜余量的m次方成正比（m＜0）[14]。

ε是價(jià)格調(diào)整系數(shù)，D為快遞柜余量，m為快遞柜余量系數(shù)（與快遞柜需求彈性有關(guān)），p為某一時(shí)間段的分段價(jià)格。

由于在存放時(shí)間中，快遞柜余量為變量，為了方便計(jì)算，建立關(guān)于快遞柜余量的遞歸方程。

其中，T 為某個(gè)快遞存放24h 后的某一時(shí)間段，T+1為某個(gè)快遞存放24h后的下一個(gè)時(shí)間段，D(T)為存放快遞24h 以后的某一時(shí)間段下的快遞柜余量，D(T+1)為存放快遞24h 以后下一時(shí)間段下的快遞柜余量，Q為快遞柜所處區(qū)域中每一個(gè)小時(shí)內(nèi)有寄件需求的總?cè)藬?shù)，F(xiàn)2[D(T)]為當(dāng)快遞余量為D(T)時(shí)，寄件人會(huì)選擇使用快遞柜寄件的概率。F1(t,p)為某一時(shí)間段內(nèi)，整個(gè)快遞柜中所存放的快遞會(huì)被取件人取走的平均概率。表達(dá)式如下：

其中n為當(dāng)前占用快遞柜總數(shù)，F(xiàn)1(ti,pi)為第i個(gè)快遞柜中存放時(shí)間ti，價(jià)格為pi時(shí)，會(huì)被取件人取走的概率分布函數(shù)。

假設(shè)，在t ∈(0,+∞)內(nèi)，快遞一定會(huì)被取走，且存放時(shí)間越長(zhǎng)，快遞被取走的概率越大，因此基于以上假設(shè)，設(shè)F1(ti,pi)的概率分布密度f(wàn)1(ti,pi)服從如下函數(shù)：

其中α為調(diào)整系數(shù)?？筛鶕?jù)數(shù)學(xué)積分方法證明該函數(shù)符合以上假設(shè)。因此，對(duì)f1(ti,pi)進(jìn)行不定積分，得：

由于F2[D(T)]為概率，當(dāng)D(T)＞0 時(shí)，其大小介于0和1之間，因此為了更好地描述實(shí)際情況，設(shè)：

其函數(shù)圖像如圖2所示。

圖2 F2[D(T)]的函數(shù)圖像

根據(jù)F1(t,p) 、F2[D(T)]的公式，可將上述關(guān)于D(T)的遞歸方程改寫(xiě)成如下形式：

因此，單個(gè)快遞取走時(shí)超過(guò)24h 額定期限后，所需要支付的超額費(fèi)用P為：

t 為快遞存放時(shí)間，P 為單個(gè)快遞需要支付的總超額費(fèi)用。

3.3 算例分析

以豐巢智能快遞柜公司為例，目前存放快遞的超額收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為，在48h 內(nèi)免費(fèi)存放，超過(guò)48h 要加收1 元/24h（不足24h 按24h 計(jì)費(fèi)）。若快遞7d 不取，則快遞會(huì)被公司平臺(tái)退回原寄出地點(diǎn)。

根據(jù)該事例，選取α=0.000 4。則快遞被取走的概率分布函數(shù)圖像如圖3所示。

圖3 快遞被取走的概率分布函數(shù)F1(ti,pi)

假設(shè)在擁有100個(gè)快遞柜的自提網(wǎng)點(diǎn)，某一快遞在存放了49h 被取走，則一共有25 個(gè)時(shí)間段為收費(fèi)時(shí)間段，運(yùn)用MATLAB 產(chǎn)生25 次總數(shù)為100 個(gè)的隨機(jī)數(shù)（隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生按一定概率），計(jì)算每一次的平均取走概率，見(jiàn)表2。

表2 每一時(shí)間段的平均取走概率

由于在不同時(shí)間段，來(lái)郵寄快遞的人數(shù)是不同的，因此根據(jù)實(shí)際情況分別列舉25 個(gè)時(shí)間段內(nèi)的潛在寄件人數(shù)（Q），見(jiàn)表3。

表3 每一時(shí)間段內(nèi)的潛在寄件人數(shù)

設(shè)開(kāi)始產(chǎn)生超額費(fèi)用的時(shí)間段為第一時(shí)間段，且D(1)=14，可用的快遞柜總數(shù)為100 個(gè)，通過(guò)MATLAB 進(jìn)行遞歸方程運(yùn)算，得到其余24 個(gè)時(shí)刻的快遞柜余量，見(jiàn)表4。

表4 每一時(shí)間段內(nèi)的快遞柜余量

時(shí)間段價(jià)格公式p=εDm，ε是與需求有關(guān)的變量，同時(shí)由于沒(méi)有確切的快遞柜需求預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)，因此假設(shè)ε=250，選取特定m值，將每個(gè)時(shí)間段的快遞柜余量(D)進(jìn)行取整處理，將不同m 值帶入時(shí)間段價(jià)格公式，得出在不同m 值情況下的，每一時(shí)間段的價(jià)格。再通過(guò)進(jìn)行加和，得到單個(gè)快遞所收取的超額費(fèi)用，見(jiàn)表5。

表5 不同m取值下的總超額費(fèi)用

通過(guò)表5 可以看出，當(dāng)m=-2.8 時(shí)，通過(guò)動(dòng)態(tài)定價(jià)所收取的超額費(fèi)用與實(shí)際收取的費(fèi)用相同，其散點(diǎn)圖如圖4 所示。在ε=250 時(shí)，只要選取m 值大于-2.8，即可超出實(shí)際收取費(fèi)用，使得公司利潤(rùn)增加。

圖4 m=-2.8的時(shí)間段價(jià)格與快遞柜余量散點(diǎn)圖

當(dāng)然一味地增加m 值，雖然單個(gè)快遞的收取的超額費(fèi)用增加，可增加快遞柜企業(yè)利潤(rùn)。但是隨著價(jià)格的增加，需求就會(huì)下降，因此企業(yè)需要合理預(yù)測(cè)m值。

4 總結(jié)

隨著我國(guó)電子商務(wù)的發(fā)展，快遞行業(yè)迎來(lái)了迅速的發(fā)展，同時(shí)也面臨著很大的挑戰(zhàn)。末端配送成為快遞行業(yè)一大痛點(diǎn)。智能快遞柜的出現(xiàn)雖然解決了一部分問(wèn)題，但是其經(jīng)濟(jì)效益低下又成為了亟待解決的問(wèn)題。

本文以智能快遞柜為研究對(duì)象，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的分析方法以及收益管理理論知識(shí)，對(duì)智能快遞柜動(dòng)態(tài)定價(jià)進(jìn)行優(yōu)化研究。確定了智能快遞柜的雙向定價(jià)機(jī)制，最后建立了在低需求與高需求情況下的智能快遞柜的寄件動(dòng)態(tài)定價(jià)模型，并用案例分析證明模型的有效性。動(dòng)態(tài)定價(jià)為平臺(tái)帶來(lái)的利潤(rùn)大于固定價(jià)格，因此該數(shù)學(xué)模型有現(xiàn)實(shí)意義，對(duì)智能快遞柜企業(yè)有一定借鑒作用。最后建立了基于快遞柜余量的時(shí)間段分段價(jià)格函數(shù)，根據(jù)不同調(diào)整系數(shù)，找到單個(gè)快遞的最大超額費(fèi)用值。