畢權(quán)楊，李旦，張建秋

復(fù)旦大學(xué) 智慧網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)研究中心和電子工程系，上海 200433

空時(shí)自適應(yīng)處理(Space-Time Adaptive Processing, STAP)是一種應(yīng)用于機(jī)載雷達(dá)的陣列自適應(yīng)處理技術(shù)，可通過雜波協(xié)方差矩陣(Clutter Covariance Matrix, CCM)構(gòu)建自適應(yīng)的權(quán)矢量，來提高信干噪比(Signal to Interference plus Noise Ratio, SINR)，進(jìn)而提高機(jī)載雷達(dá)對動目標(biāo)的檢測性能[1]。在應(yīng)用中，CCM一般不可知，因此需通過訓(xùn)練樣本來對其進(jìn)行估計(jì)。研究表明：若訓(xùn)練樣本滿足獨(dú)立同分布(Independent and Identical Distribution, IID)的條件，且樣本數(shù)目達(dá)到2倍的自由度(Degrees of Freedom, DoF)，則STAP可獲得近似的最優(yōu)性能[2]。然而由于地表環(huán)境以及地形的變化，導(dǎo)致雜波環(huán)境往往是非均勻的，因此難以獲得足量的平穩(wěn)訓(xùn)練樣本，進(jìn)而導(dǎo)致STAP的處理性能損失嚴(yán)重[2]。

為了解決對足量平穩(wěn)訓(xùn)練樣本的要求，文獻(xiàn)報(bào)道了許多不同的算法，例如：利用均勻線性陣列(Uniform Linear Array, ULA)下地雜波具有的低秩性，文獻(xiàn)[3-5]分別提出了降秩的STAP(Reduced Rank STAP, RR-STAP)算法，這一算法通過將雜波投影到與雜波正交的子空間，可將訓(xùn)練樣本的數(shù)目降低到2倍CCM的秩。文獻(xiàn)[6-7]分析了RR-STAP算法在不同環(huán)境下的性能，指出其在理論上具有很好的應(yīng)用前景。文獻(xiàn)[8]考慮到傳統(tǒng)RR-STAP算法對數(shù)據(jù)的矢量化，沒有充分利用多維數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)信息，因而將文獻(xiàn)[9]中基于高階奇異值分解(Higher Order Singular Value Decomposition, HOSVD)的子空間估計(jì)算法引入到了STAP之中，并提出了一種交替展開高階奇異值分解(Alternative Unfolding HOSVD, AU-HOSVD)算法，從而為STAP算法發(fā)展了一種可利用多維數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)信息的張量處理算法。文獻(xiàn)[10]在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上，完善了AU-HOSVD算法，并將其應(yīng)用到了多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output, MIMO)的STAP算法中。這些基于張量數(shù)據(jù)處理的算法，發(fā)展了傳統(tǒng)的STAP技術(shù)，進(jìn)一步降低了DoF和所需要的訓(xùn)練樣本數(shù)。

本文為文獻(xiàn)[9]中的張量波束成形器推導(dǎo)出一種新的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，進(jìn)而為張量波束成形器的設(shè)計(jì)提供了一種新的算法：即首先在張量的各個(gè)子維度上分別設(shè)計(jì)出相應(yīng)的子波束成形器，然后再通過張量外積運(yùn)算來合成各子波束成形器，以得到STAP所需要的且可充分利用張量數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)信息的張量波束成形器。分析表明：本文的張量波束成形器與原文獻(xiàn)報(bào)道的張量波束成形器相比，在相同DoF基礎(chǔ)上，具有更低的計(jì)算復(fù)雜度，更有效地去相關(guān)處理，使得STAP的性能獲得了進(jìn)一步的提升，仿真驗(yàn)證了分析結(jié)果的有效性。

本文的組織結(jié)構(gòu)如下：第1節(jié)簡單介紹了本文需要的張量基礎(chǔ)以及STAP張量模型；第2節(jié)給出了張量波束成形器的外積合成算法；第3節(jié)分析和對比了本文提出的張量波束成形器和文獻(xiàn)報(bào)道的波束成形器；第4節(jié)給出了仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果；第5節(jié)總結(jié)了全文。

1 背景知識

1.1 張量基礎(chǔ)

(1)

式中：?表示等價(jià)關(guān)系；×n為模n乘積運(yùn)算符。

式中：vec()為依列將一個(gè)多維數(shù)組矢量化的運(yùn)算符;*表示共軛;H表示共軛轉(zhuǎn)置。

HOSVD是一種常見的張量分解算法，其定義為[11]

(2)

1.2 STAP的張量模型

給定一個(gè)均勻線性陣列，假設(shè)其天線陣元數(shù)為N，且一個(gè)相干處理間隔(Coherent Processing Interval, CPI)內(nèi)的脈沖數(shù)為M。稱不同距離門限所接收到的數(shù)據(jù)為一個(gè)快拍，并用x(t)表示第t個(gè)距離門限獲得的快拍，其可表示為[13]

(3)

式中：?表示Kronecker積；α(fs,fd)為雜波信號的幅度；ss-t(fs,fd)=ss(fs)?sd(fd)為空時(shí)導(dǎo)向矢量；n為均值為零方差為δ2的復(fù)高斯觀測噪聲，即n～CN(0,δ2I)，I表示單位陣，并依通常的做法，假設(shè)其與雜波在統(tǒng)計(jì)上相互獨(dú)立；ss(fs)為空間導(dǎo)向矢量；sd(fd)為時(shí)間導(dǎo)向矢量，且其分別為

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

2 STAP的張量波束外積合成法

2.1 波束成形器的子波束外積合成法

在陣列信號處理中，波束成形器的目的就是在讓期望信號無失真地通過的同時(shí)，盡可能地抑制干擾信號，通?？赏ㄟ^求解下面的優(yōu)化問題而獲得[17]：

(9)

式中：w為所需波束成形器的權(quán)矢量；R=E(x(t)x(t)*)為陣列入射信號x(t)的協(xié)方差矩陣；E(·)為期望運(yùn)算，s0為期望信號的導(dǎo)向矢量。對式(6)的張量模型而言，式(9)的優(yōu)化問題就變?yōu)閇18]

(10)

(11)

(12)

將式(12)重寫為張量，則有

(13)

根據(jù)式(13)，則可將式(11)重寫為

w1°w2°w3

(14)

2.2 STAP的子波束成形器設(shè)計(jì)

本節(jié)將討論如何設(shè)計(jì)式(14)中的子波束成形器w1、w2和w3。

(15)

(16)

(17)

(18)

據(jù)文獻(xiàn)[20]的降秩理論，對估計(jì)得到的CCM做一個(gè)低秩近似，就可將DoF降低到雜波子空間的維數(shù)。進(jìn)行這樣的低秩近似后，相應(yīng)的子波束權(quán)矢量就可表示為[13]

(19)

(20)

3 性能分析

本節(jié)將對TSS-STAP算法性能進(jìn)行分析，并將其與最近文獻(xiàn)[10]報(bào)道的AU-HOSVD算法進(jìn)行對比。

3.1 CCM估計(jì)

(21)

(22)

將式(21)代入式(22)，有

(23)

(24)

(25)

δ2I

(26)

3.2 算法復(fù)雜度

STAP的實(shí)時(shí)檢測過程，可分為2個(gè)部分，第1部分為根據(jù)訓(xùn)練樣本對CCM進(jìn)行估計(jì)，然后通過CCM的特征向量計(jì)算投影矩陣，第2部分為通過導(dǎo)向矢量構(gòu)建自適應(yīng)的權(quán)矢量，然后再利用它們對待檢測快拍進(jìn)行目標(biāo)搜索，故本節(jié)將主要通過分析計(jì)算投影矩陣，以及單次搜索這兩個(gè)部分來對比TSS-STAP與AU-HOSVD算法的計(jì)算復(fù)雜度。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

本節(jié)將通過仿真實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證分析結(jié)果的有效性，并將與傳統(tǒng)RR-STAP算法以及最新的AU-HOSVD算法進(jìn)行性能對比。本文將以ULA為例來進(jìn)行仿真，主要分為兩部分，首先通過數(shù)值仿真驗(yàn)證所提出算法的性能，第1部分為模擬實(shí)際環(huán)境進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，以驗(yàn)證算法的有效性。通常，STAP算法的性能用SINR損失因子(SINR Loss Factor)衡量，本文用ρ表示，其定義為輸出SINR與最優(yōu)STAP算法輸出SINR的比值[10]：

(27)

式中：R為待檢測快拍真實(shí)的CCM。

4.1 數(shù)值仿真

數(shù)值仿真參數(shù)設(shè)置如下：陣元數(shù)N=8，CPI內(nèi)脈沖數(shù)M=24，參數(shù)β=1，訓(xùn)練樣本滿足IID，雜噪比(Clutter to Noise Ratio, CNR)為30 dB，蒙特卡羅仿真1 000次，訓(xùn)練樣本數(shù)P=62，即為RR-STAP理論上所需要的訓(xùn)練樣本數(shù)目(2倍于CCM的秩)。

圖1 CCM的秩隨參數(shù)L1的變化曲線

圖3給出了RR-STAP、AU-HOSVD以及模2劃分下TSS-STAP算法的SINR損失曲線圖，其中AU-HOSVD僅給出了最優(yōu)結(jié)果用于對比。如圖3所示，仿真結(jié)果中出現(xiàn)了多個(gè)主雜波區(qū)，其原因?yàn)槟?劃分下參數(shù)β′=L1β，導(dǎo)致了多普勒模糊[23]。此外，圖3也表明：模2劃分下的輸出SINR低于模1劃分，這與前文雜波秩仿真結(jié)論一致；本文提出的算法在L1=3時(shí)稍優(yōu)于AU-HOSVD算法，即有稍高的輸出SINR以及更窄的主雜波寬度，當(dāng)L1=3時(shí)，其結(jié)果優(yōu)于L1=2的情況，這與前文的結(jié)論模2劃分傾向于更大的L1相一致，但更大的L1將使得多普勒模糊更加嚴(yán)重，因此，L1在應(yīng)用中需要折衷考慮。

圖4為TSS-STAP以及AU-HOSVD算法計(jì)算矩陣的運(yùn)行時(shí)間對比，運(yùn)行環(huán)境：CPU為酷睿i7，運(yùn)行內(nèi)存為8 G，仿真軟件為MATLAB R2018a。其中圖4(a)為P=62、L2=3時(shí)，2種算法計(jì)算矩陣的運(yùn)行時(shí)間對比，圖4(b)為P=62、待檢測快拍數(shù)為10、參數(shù)L2取不同值時(shí)，2種算法計(jì)算矩陣的運(yùn)行時(shí)間對比。如圖4(a)所示，當(dāng)L2=3時(shí)，本文提出的算法在獲得稍優(yōu)于AU-HOSVD性能的同時(shí)，將運(yùn)行時(shí)間縮短了4～5倍；而根據(jù)圖4(b)的結(jié)果，可以看到當(dāng)L2取不同值時(shí)，運(yùn)行時(shí)間縮短了4～8倍，這與前文理論分析結(jié)果相符。

圖4 計(jì)算投影矩陣的運(yùn)行時(shí)間對比

4.2 模擬仿真

下面通過模擬仿真來驗(yàn)證所提出算法的有效性，主要仿真參數(shù)為：陣元數(shù)N=8，CPI內(nèi)的脈沖數(shù)M=24，載機(jī)飛行高度為1 000 m，飛行速度為225 m/s，脈沖重復(fù)頻率為30 kHz，雷達(dá)波長為0.03 m，陣元間距為半波長，待檢測地面模擬環(huán)境為植被覆蓋環(huán)境，天線為正側(cè)陣。待檢測目標(biāo)參數(shù)：方位角為40°，歸一化多普勒頻率為0.21，圖5給出了待檢測快拍的功率譜，其中虛線框區(qū)域?yàn)橹麟s波區(qū)域。

圖5 目標(biāo)所在快拍的功率譜

在模擬仿真中，AU-HOSVD與TSS-STAP均采用模1劃分，且參數(shù)L1=8。圖6給出了P=30時(shí)，各算法濾波器的頻率響應(yīng)，觀察主雜波區(qū)域(圖中虛線框部分)對應(yīng)的頻率響應(yīng)，可以看出，因?yàn)橛?xùn)練樣本不足，傳統(tǒng)的矢量RR-STAP算法已無法有效抑制主雜波，而AU-HOSVD的雜波抑制沒有TSS-STAP充分。為了更加直觀地對比幾種算法，圖7給出了歸一化多普勒頻率fd以及波達(dá)角θ在給定不同值時(shí)，各算法的濾波器頻率響應(yīng)曲線圖，其中圖7(a)對應(yīng)的fd=0.21，圖7(b)對應(yīng)的fd=-0.23，圖7(c)對應(yīng)的θ=41°，圖7(d)對應(yīng)的θ=-28°，表1則給出了各算法在不同參數(shù)下旁瓣增益的平均值?？梢园l(fā)現(xiàn)，當(dāng)給定的fd與待檢測目標(biāo)一致時(shí)，即fd=0.21，3種算法的旁瓣增益平均值基本相等，濾波器頻率響應(yīng)基本一致。當(dāng)fd=-0.23時(shí)，RR-STAP的旁瓣高度遠(yuǎn)大于另外2種算法，其旁瓣平均增益達(dá)到了3.84 dB，而TSS-STAP算法相對于AU-HOSVD算法，雖然主瓣高度相同，但其旁瓣平均增益為-7.65 dB，小于后者的-4.01 dB。而當(dāng)給定的θ與待檢測目標(biāo)一致時(shí)，即θ=41°，RR-STAP的旁瓣高度稍低于另外兩種算法，其旁瓣平均增益為11.93 dB，當(dāng)θ=-28°時(shí)，根據(jù)表1，可知TSS-STAP的旁瓣平均增益最低。

圖6 各算法的濾波器頻率響應(yīng)

圖7 各算法濾波器頻率響應(yīng)在給定參數(shù)下的對比

表1 各算法旁瓣平均增益對比

圖8為P=30時(shí)各算法的檢測結(jié)果?？梢园l(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)的矢量RR-STAP算法已無法有效抑制主雜波，而基于張量的低秩濾波器依舊能給出清晰的檢測結(jié)果，與前面根據(jù)濾波器的頻率響應(yīng)分析所得出的結(jié)果相一致，該結(jié)果也驗(yàn)證了基于張量的STAP方法所需要的訓(xùn)練樣本數(shù)低于傳統(tǒng)的矢量STAP方法，使得其在非均勻雜波應(yīng)用環(huán)境下?lián)碛懈玫男阅?。觀察圖8(b)與圖8(c)，可以發(fā)現(xiàn)TSS-STAP相對于AU-HOSVD的濾波結(jié)果偽影更少，其原因?yàn)椋寒?dāng)干擾信號與期望信號的參數(shù)不一致時(shí)，AU-HOSVD的濾波器頻率響應(yīng)的旁瓣高于TSS-STAP算法的旁瓣，該結(jié)果再次驗(yàn)證了本文提出的算法能夠更加充分地利用自相關(guān)矩陣的全部信息去實(shí)現(xiàn)去相關(guān)處理。

圖8 各算法的檢測結(jié)果

為了定量地描述濾波結(jié)果的質(zhì)量好壞，本文引入圖像熵(Entropy)的概念來進(jìn)行評價(jià)。在圖像處理領(lǐng)域中，圖像熵的大小反映了一副圖像中平均信息量的多少，其定義為[24]

(28)

式中：Pi表示圖像中灰度值為i的像素所占的比例。例如一副純色圖像，其對應(yīng)的熵為零，那么對于本文中的濾波結(jié)果圖，若其中的偽影越少，則灰度值相等的像素點(diǎn)就應(yīng)該越多，其對應(yīng)的熵就越低。據(jù)式(28)得到圖8(a)對應(yīng)的熵為6.3，圖8(b)對應(yīng)的熵為5.4，而圖8(c)對應(yīng)的熵為4.6。圖9給出了不同訓(xùn)練快拍數(shù)下，TSS-STAP和AU-HOSVD濾波結(jié)果對應(yīng)的熵，該結(jié)果表明：本文算法給出的濾波結(jié)果中包含了更少的偽影。

圖10為模擬仿真過程中TSS-STAP以及AU-HOSVD算法對待檢測快拍的搜索時(shí)間對比，運(yùn)行環(huán)境與前文一致。該結(jié)果表明：相對于AU-HOSVD，本文提出的算法在獲得性能提升的基礎(chǔ)上，將搜索時(shí)間縮短了約3～4倍，即約為L2倍，這與前文的理論分析相符。

圖9 不同訓(xùn)練快拍數(shù)下濾波結(jié)果的熵值對比

圖10 待檢測快拍的搜索時(shí)間對比

5 結(jié) 論

本文提出了一種新的張量波束成形器設(shè)計(jì)算法——TSS-STAP算法，通過理論分析，可得出以下幾點(diǎn)結(jié)論：

1) 本文方法可在較低DoF的子維度上對張量波束成形器進(jìn)行設(shè)計(jì)，因此降低了設(shè)計(jì)所需要的訓(xùn)練樣本數(shù)。

2) 與文獻(xiàn)報(bào)道的張量波束成形器算法相比，本文算法在相同的DoF的基礎(chǔ)上，擁有更低的計(jì)算復(fù)雜度。

3) 本文提出的算法能更加充分地利用全部自相關(guān)矩陣的信息去實(shí)現(xiàn)去相關(guān)處理，從而使算法性能得到了進(jìn)一步提升。

仿真結(jié)果驗(yàn)證了上述理論分析的結(jié)果，最后本文引入了圖像熵這一概念，用以定量的評價(jià)濾波結(jié)果的質(zhì)量。

附錄A

據(jù)式(12)的張量信號模型，可將接受到的快拍表示為

(A1)

為了表達(dá)簡便，式(12)中的s、L1、L2分別用下標(biāo)1、2、3代替，同時(shí)信號的復(fù)幅度被納入在導(dǎo)向矢量中。將式(A1)代入式(8)中，且噪聲與雜波回波信號統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，可計(jì)算得：

(A2)

(A3)

(A4)

附錄B

據(jù)式(25)，有

(B1)

(B2)

利用Kronecker積的性質(zhì)[12](A?B)(C?D)=(AC)?(BD)，以及Khatri-Rao積的性質(zhì)[12](A⊙B)H(C⊙D)=(AHC)(BHD)，將式(B2)中的BTB*展開后，有

(B3)

將式(B3)的結(jié)果代入式(B2)中即得到式(26)，推導(dǎo)完畢。