張世俊，邢 琰，2*

(1.北京控制工程研究所，北京100190；2.空間智能控制技術(shù)重點實驗室，北京100190)

1 引言

未來，人類對月球、火星等地外星體的探測任務(wù)將逐步從星體表面巡視探測向資源開發(fā)利用、基地建設(shè)等方向發(fā)展[1-2]。移動機器人平臺是實現(xiàn)地外天體表面巡視探測、輔助人員作業(yè)的有效工具。與輪式和履帶式運動方式相比，足式機器人的環(huán)境適應(yīng)能力更好，但其結(jié)構(gòu)復雜，對控制的要求比較高[3]。

足式機器人腿部關(guān)節(jié)控制作為底層控制模塊需要較高的控制精度，是機器人運動控制的基礎(chǔ)。機器人單腿動力學模型具有多輸入多輸出、時變、耦合和非線性等特點[4-6]。此外實際機器人較難建立準確的動力學模型，主要有以下兩方面的原因：①多功能、可重構(gòu)機器人的負載、形態(tài)的變化導致系統(tǒng)質(zhì)量特性在工作時發(fā)生變化，系統(tǒng)慣性參數(shù)難以準確獲得；②由于足式機器人的腿在擺動相和支撐相之間交替切換，足地接觸力也在實時變化，較難獲取系統(tǒng)精確的動力學參數(shù)。直接針對腿部動力學模型設(shè)計PD控制器是較為經(jīng)典的方法，因其良好的控制效果和簡單易實現(xiàn)的特點，廣泛應(yīng)用于機器人的關(guān)節(jié)控制，但其參數(shù)整定過程比較困難，且對系統(tǒng)參數(shù)變化的自適應(yīng)能力不佳。動力學的耦合特性會影響機器人各關(guān)節(jié)的控制精度，在高精度控制時需要進行解耦控制。一般解耦控制是通過設(shè)計一個解耦網(wǎng)絡(luò)，將多輸入多輸出耦合系統(tǒng)解耦為多個單輸入單輸出的獨立系統(tǒng)[7-8]，但需要已知精確的動力學模型。Nikolaou等[9]將人工智能思想用于解耦控制器的設(shè)計，并專門討論了模型不確定性對解耦性能的影響。但基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的智能算法具有計算量大的缺點，影響了其在航天任務(wù)中的應(yīng)用。因此有必要進一步研究參數(shù)不確定情況下的關(guān)節(jié)控制問題，尋求一種易于工程實現(xiàn)的建模與控制方法。

基于特征模型的自適應(yīng)控制是吳宏鑫提出的一套實用性很強的自適應(yīng)控制理論和方法。特征模型是指將對象動力學特征、環(huán)境特征和控制性能要求相結(jié)合建立的模型[10-11]，與原動力學方程相比，具有形式簡單、工程實現(xiàn)容易等優(yōu)點?；谔卣髂Ｐ偷淖赃m應(yīng)控制方法一般采用離散設(shè)計方法，算法簡單、適應(yīng)性和魯棒性強，主要包括黃金分割自適應(yīng)控制律、邏輯微分控制律和維持跟蹤控制律等控制方法[12-14]，每次設(shè)計根據(jù)被控對象控制要求選取合適的控制律。該方法經(jīng)過多年的發(fā)展已經(jīng)在交會對接、飛船返回等領(lǐng)域取得了成功的應(yīng)用[12]。

本文將基于特征模型的自適應(yīng)控制方法引入足式機器人腿部關(guān)節(jié)控制。首先針對足式機器人原動力學模型參數(shù)不確定、耦合非線性的特點，建立并推導一種輸入解耦的多輸入多輸出特征模型，以求在保留原系統(tǒng)模型輸入輸出整體完整性的前提下，充分考慮結(jié)構(gòu)的耦合特點。進而針對該特征模型設(shè)計全系數(shù)自適應(yīng)控制器，并仿真驗證該方法的有效性。

2 單腿特征建模

一般對于足式機器人來說，腿部質(zhì)量與身體質(zhì)量相比很小，并且當機器人行走平穩(wěn)時軀干姿態(tài)波動小，因此在設(shè)計腿部關(guān)節(jié)控制器時忽略軀干運動對腿部的影響，這時腿部動力學模型可大大簡化。假設(shè)足式機器人單腿具有n個關(guān)節(jié)，采用Euler-Lagrange方程[4]建立動力學模型如式(1)：

一般來說，實際的機器人可以假設(shè)足地作用力有界、關(guān)節(jié)跟蹤指令函數(shù)及其一階和二階導數(shù)有界，則有F′有界，D′(~q)、C′(~q，~q·)、G′(~q)同樣滿足式(2)～(4)。

其中， A1(t)=C′(Y(t)，Y·(t))，W(t)=F′-G′(~q)+(I-D′(~q))~q¨， 本文若無特別說明 I代表n階單位陣。同樣對于實際的機器人系統(tǒng)，一般可假設(shè)關(guān)節(jié)力矩、關(guān)節(jié)角度、關(guān)節(jié)角速度和關(guān)節(jié)角加速度有界，進而由式(2)～(4)可知，A1(t)和W(t)中的每個元素有界。

對式(6)進行離散化處理，采用歐拉離散化方法，采樣周期為T，整理后得式(7)：

其中： F′1(k)=2I-A1(k)T，F(xiàn)′2(k)=-IA1(k)T， G′0(k)=T2I，E′(k)=T2W(k)。 將式(7)寫成每一通道的形式如式(8)：

其中 j=1、…、n，f′1，ji(k)、f′2，ji(k) 和 g′0j(k) 分別為 F′1(k)、F′2(k) 和G′0(k) 中的第 i行第 j列個元素。將e′j(k)項壓縮至特征參量中，定義如式(9)所示的壓縮函數(shù)[16]：

其中 j=1、…、n，f1，ji(k)=f′1，ji(k) +S1(k)e′j(k)s1，ji(k) ，f2，ji(k) = f′2，ji(k) + S1(k)e′j(k)s2，ji(k)，g0j(k)=g′0j(k)，ej(k)=e′j(k)sm+13，j。 易知0＜|s3，j|＜1，因此存在足夠大的m ＞0使得建模誤差ej(k)足夠小，從而可以忽略建模誤差ej(k)，得到具有輸入解耦形式的特征模型如式(11)：

其中Y(k)=[y1(k)…yn(k)]T代表跟蹤誤差向量，U(k)=[u1(k)…un(k)]T為輸入向量，系數(shù)具有如下性質(zhì)：

1)F1(k)和 F2(k)分別是以 f1，ij(k)和f2，ij(k)為元素的正方陣，G0(k)是以g0j(k)為元素的對角陣，其中 i、j=1、…、n。

2)當采樣周期確定、機器人腿部工作范圍已知時，可估算特征參量的取值范圍。對于任意的k≥0，特征參量均在一定的范圍內(nèi)變化，該范圍與系統(tǒng)的采樣周期相關(guān)，如式(12)：

其中集合Ds為如下閉凸集：

其中i、j=1、…、n，；ˉak，ij＞a-k，ij＞0，ˉbi＞b-i＞0，k=1，2，i、j=1、…、n 為定常參數(shù)。 由上式可知，當采樣周期 T→0 時，有 f1，ii(k) →2，f1，ji(k) →0，f2，ii(k) →-1，f2，ji(k) → 0，g0j(k) → 0， 其中 i、j=1、…、n，i≠ j。

3 多變量全系數(shù)自適應(yīng)控制器

針對建立的多變量特征模型式(11)，采用多變量黃金分割自適應(yīng)控制律，同時為改善系動態(tài)過程增加邏輯微分控制。多變量黃金分割自適應(yīng)控制律如式(13)所示[10]：

其中l(wèi)1=(3- 5)/2、l2=(5-1)/2為黃金分割比；Λ為對角常數(shù)陣；^F1(k)、^F2(k)、G^(k)為特征模型式(11)的系數(shù)估計矩陣，其中各元素由下述投影梯度算法給出。

多變量特征模型的系數(shù)可按每一通道單獨進行參數(shù)估計，將式(11)重寫為每一通道形式，得單通道特征模型式(14)：

其中 j=1、…、n，φj(k-1)=[y1(k-1)…yn(k-1)y1(k-2)…yn(k-2)uj(k-1)]T，^θj(k)=[^f1，j1(k)…^f1，jn(k)^f2，j1(k)…^f2，jn(k)^g0j(k)]T。 采用如式(15)所示投影梯度算法[12]。

其中λ1、λ2為正常數(shù)，π[x]表示x到有界閉凸集Ds上的正交投影。

邏輯微分控制如式(16)所示：

總的全系數(shù)自適應(yīng)控制律如式(17)所示：

4 仿真驗證

為驗證本文所建特征模型及控制器設(shè)計的正確性，本文以四足機器人為例，對本文方法與基于原動力學模型的經(jīng)典PD控制方法進行對比。仿真時假定機器人質(zhì)量、慣量參數(shù)和足地接觸力未知，PD控制利用關(guān)節(jié)角度和角速度的測量信息，本文控制方法僅利用關(guān)節(jié)角度的測量信息。

采用ADAMS和SIMULINK聯(lián)合仿真技術(shù)進行虛擬樣機仿真，如圖1所示，設(shè)機器人總質(zhì)量200 kg，大腿長0.4 m，小腿長0.3 m。規(guī)劃機器人以對角步態(tài)前進，基于機器人足端工作空間和預期前進速度，設(shè)定步態(tài)參數(shù)如下[17]：機器人行走高度保持為0.8 m，步態(tài)周期為0.72 s，直行邁步步長為0.2 m。采用具有復合擺線形式的足端軌跡[18]，邁腿高度為0.1 m。

圖1 四足機器人ADAMS模型Fig.1 Model of the quadruped robot in ADAMS

兩個步態(tài)周期內(nèi)的髖關(guān)節(jié)與膝關(guān)節(jié)曲線如圖2、圖3所示，圖中點線代表關(guān)節(jié)角跟蹤指令，仿真中由步態(tài)規(guī)劃程序給出，實線代表采用全系數(shù)自適應(yīng)控制方法時的實際關(guān)節(jié)角曲線，點劃線代表采用PD控制時的實際關(guān)節(jié)角曲線。圖4為根關(guān)節(jié)坐標系下一個步態(tài)周期內(nèi)足端軌跡曲線，同樣點線代表期望足端軌跡，實線代表采用全系數(shù)自適應(yīng)控制方法時的足端軌跡，點劃線代表采用PD控制時的足端軌跡，圖中上方的復合擺線表示腿處于擺動相，下方的直線表示腿處于支撐相，支撐相與擺動相切換時具有較大的跟蹤誤差，這是由擺動腿觸地是與地面發(fā)生碰撞，足地接觸力產(chǎn)生突變造成的。

圖2 左前腿髖關(guān)節(jié)角度曲線Fig.2 Angle curves of hip joint in left foreleg

為進一步驗證特征建模及自適應(yīng)控制器對不同對象參數(shù)的控制效果，假設(shè)機器人三足支撐站立，修改另一條腿足端質(zhì)量為10 kg，令其跟蹤與上一仿真相同期望軌跡。2個周期內(nèi)的髖關(guān)節(jié)與膝關(guān)節(jié)曲線如圖5、6所示，圖中點線代表關(guān)節(jié)角跟蹤指令，實線代表采用全系數(shù)自適應(yīng)控制方法時的實際關(guān)節(jié)角曲線，點劃線代表采用PD控制時的實際關(guān)節(jié)角曲線。圖7為足端軌跡曲線，同樣點線代表期望足端軌跡，實線代表采用全系數(shù)自適應(yīng)控制方法時的足端軌跡，點劃線代表采用PD控制時的足端軌跡。

圖3 左前腿膝關(guān)節(jié)角度曲線Fig.3 Angle curves of knee joint in left foreleg

圖4 左前腿足端軌跡Fig.4 Foot trajectory of left foreleg

圖5 負載時左前腿髖關(guān)節(jié)角度曲線Fig.5 Angle curves of hip joint in left foreleg under load

圖6 負載時左前腿膝關(guān)節(jié)角度曲線Fig.6 Angle curves of knee joint in left foreleg under load

圖7 負載時左前腿足端軌跡Fig.7 Foot trajectory of left foreleg under load

仿真時足端負載質(zhì)量未知，由仿真曲線可知，本文的特征建模及全系數(shù)自適應(yīng)控制方法對模型參數(shù)的不確定性具有較好的自適應(yīng)能力。

5 總結(jié)

本文將特征建模和全系數(shù)自適應(yīng)控制方法用于足式機器人關(guān)節(jié)控制，由仿真結(jié)果可知本文的方法具有較好的控制效果，同時對模型參數(shù)不確定性有自適應(yīng)能力，可作為為足式機器人關(guān)節(jié)建模和控制問題的一種解決方案。本文未涉及閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。