陶浪平 林 江

(安徽財經大學，安徽 蚌埠 233030)

利率是金融市場中一個十分重要的指標，在過去的很多年中，不管是理論學者還是金融機構的管理人員都對其十分重視。由于不同期限的利率一般有所不同，由此引出的利率期限結構問題成為人們關注的焦點。利率期限結構又稱到期收益率曲線，指的是無違約風險下利率與不同到期期限的一一對應關系。由于國債一般沒有違約的風險，學術界常將國債的收益率曲線看成一個國家的利率期限結構。

在資源的配置過程中，利率的市場化是一種有效的方式。自1996年我國逐步推進市場化改革以來，利率市場化程度穩(wěn)步提高。在經歷了20多年的發(fā)展后，央行對于利率的管制一步步放松，現(xiàn)在主要存在于存款的上限和貸款的下限中。2012年，央行擴大了金融機構存貸款利率的區(qū)間。2013年底，央行推出的銀行同業(yè)存單業(yè)務意味著松動了大額存款利率。2014年3月1日，人行開放上海自貿區(qū)的小額外幣存款上限，意味著自貿區(qū)內實現(xiàn)了外幣利率市場化。2015年10月24日起，央行不再對金融機構設置存款利率浮動上限，實現(xiàn)了利率管制的基本開放。對于利率市場化，有專家給出觀點：由于可能出現(xiàn)的區(qū)域性套利問題，我國應該加強全國利率市場化建設；與此同時，伴隨著互聯(lián)網金融的快速崛起，各種網貸平臺強勢發(fā)展，利率市場化的速度應該加快。因此，在這個大環(huán)境下，研究利率期限結構就顯得十分必要。

由于利率曲線的形狀、利率水平的高低、長短期利率的利差等因素，利率期限結構隱含著大量的信息。國內外對于利率期限結構的研究主要分為兩個角度：靜態(tài)利率期限結構和動態(tài)利率期限結構。對于靜態(tài)的利率期限結構模型，常見的有B樣條模型、指數(shù)樣條模型、多項式樣條模型、NS族模型等。本文的研究主要是建立在NSS模型上，于經典的NSS模型中引入二次方項，建立了一個擴展的NSS模型,并使用二次移動平均法進行動態(tài)預測。

一、文獻綜述

國內外對于靜態(tài)利率期限結構模型的研究是比較多的。國外對于NSS模型的研究要追溯到1987年Nelson和Siegel提出的一種較為簡單的收益率曲線模型。Nelson和Siegel(1987)從動態(tài)利率期限結構模型中推導出指數(shù)形態(tài)的瞬時遠期利率，并通過即期利率與瞬時遠期利率的關系推導出即期利率函數(shù)，該模型就是NSS模型的基礎——NS模型。Svensson(1994)在NS模型的基礎上進行擴展，添加了一個新的曲度項，這就是著名的NSS模型。Bjork和Christensen(1999)在 NS 模型的基礎上也新增了一個項，但不同的是該項是用于描述斜率特征的因子。Diebold和Li(2006)將時間序列引入NS模型，構建了時變的NS模型。

隨著我國利率市場化改革進程的不斷推進，國內學術界對于以NSS為代表的NS族模型的研究在近些年開始增多。朱世武、陳建恒(2003)對比了多項式樣條模型和Svensson模型對上交所國債利率期限結構擬合的結果，認為NSS模型在收益率曲線的短端擬合能力優(yōu)于多項式樣條模型，不過在收益率曲線的遠端，NSS模型的效果并不很好。談正達、霍良安(2012)通過構建無套利的NS模型對中國國債市場進行分析，認為無套利的NS模型擬合能力比NS模型更好，并且無套利的NS模型樣本外預測能力很好。文忠橋(2013)通過對NS模型的參數(shù)構建AR(2)過程進行預測，發(fā)現(xiàn)樣本內的預測結果較為理想，但是樣本外的不理想。丁志國等(2014)使用NS族模型對中國國債收益率數(shù)據進行擬合，認為NS族模型之所以擬合效果較好，是因為模型中的潛在因子能夠較好地刻畫收益率曲線關于宏觀經濟變量變化的預期。丁志國等(2014)利用NS模型對利率期限結構和宏觀經濟因素之間的關系進行實證判別，認為宏觀經濟因素對利率期限結構影響明顯，但是并不穩(wěn)定，其影響的結果取決于人們對于經濟形勢的預期。趙晶等(2014)基于2005年至2014年9月國債市場月度數(shù)據，對比了NS模型和NSS模型的擬合效果，發(fā)現(xiàn)NS模型能夠更好地擬合中國國債的利率期限結構特征。沈根祥、陳映洲(2015)在NS模型上引入第二個斜率因子，構造了雙斜率因子的模型，增強了收益率曲線的靜態(tài)擬合及動態(tài)預測能力。王雪標、趙前程(2017)考察了銀行間債券期限結構模型估計，發(fā)現(xiàn)系數(shù)估計中存在顯著的小樣本偏差，然后利用Bootstrap模擬的偏差修正方法進行修正，重新解釋了我國遠期利率及遠期溢價的一些重要特征。

二、理論與模型簡介

(一)傳統(tǒng)的利率期限結構理論

雖然不同到期期限的利率變動并不是完全相關的，但是其中的高度相關性引起人們的關注。那么究竟是哪些因素導致了利率期限結構的變化呢？這些因素中哪些是主導因素呢？學者們通過主成分和因子分析給出了數(shù)學和統(tǒng)計角度的解釋,然而這些解釋過于數(shù)學模型化，因此，給出其經濟意義就顯得十分重要。

利率期限結構理論主要有四個：純預期理論、流動性偏好理論、市場分割理論、期限偏好理論。

1.純預期理論。純預期理論認為當前的利率期限結構表示了市場對未來即期利率變化的預期。該理論給出了不同形狀的收益率曲線與未來即期利率變化的關系，即收益率曲線和未來即期利率的變化是同漲同跌的。

2.流動性偏好理論。流動性偏好理論是建立在純預期理論上的，該理論認為債券的剩余期限越長，流動性風險越高。由于市場中大多數(shù)投資者都是要規(guī)避風險的，因此，只有當長期債券的收益率同時含有預期利率水平和流動性風險溢價時，投資者才可能會增持長期債券。流動性偏好理論對于不同形狀的利率期限結構有較好的解釋能力，如對于收益率曲線上升的問題，該理論認為有兩種可能的原因：第一，市場對于未來的利率預期是上升的；第二，利率預期水平不變或者有一些輕微的下降，但是流動性風險溢價隨著期限的增加而增加的幅度很大，不僅能抵消利率預期的下降，還能使其上升。

3.市場分割理論。市場分割理論認為不同的投資者有各自不同的期限偏好，并且期限不變。由于大量的投資者根據自身的需求將債券的到期期限與個人的投資計劃進行匹配，導致債券市場不再是一個整體。當不同的債券市場處于完全分割狀態(tài)時，交易發(fā)生于相互分離的市場中，某一個期限債券價格的變動不影響投資者對其他期限債券的需求。

4.期限偏好理論。期限偏好理論是建立在市場分割理論的基礎上的。該理論認為由于不同投資者本身的資產及債務狀況有很大差異，因此各投資者有著特定的投資期限偏好，并且各種特定投資偏好是變動的。例如，當不同到期期限的債券供求發(fā)生較大變動時，風險溢價與利率風險失衡，投資者的偏好就會發(fā)生變化。

對以上四種理論進行對比總結可以發(fā)現(xiàn)：純預期理論最為基礎，該理論的核心是未來即期利率變化的預期；流動性偏好理論則在預期理論的基礎上引入了流動性風險溢價；市場分割理論則是站在另一個角度進行分析，認為投資者有各自不變的期限偏好；而期限偏好理論則在流動性偏好理論的基礎上，認為投資者的期限偏好是會隨著供求因素的變動而變動的。

(二)粒子群算法簡介

本文在對模型待估參數(shù)進行估計時，使用了經典的粒子群算法。粒子群算法簡稱PSO，是進化算法的一種。該方法的主要思想是從隨機解出發(fā)，通過反復迭代尋找最優(yōu)解，主要內容如下：

在一個D維的目標空間中，有N個粒子組成的一個群落，其中第i個粒子表示為一個D維向量：

Xi=(Xi1，Xi2，…，XiD)，i=1，2，…，N

(1)

第i個粒子移動的速度也是一個D維向量：

Vi=(Vi1，Vi2，…，ViD)，i=1，2，…，N

(2)

第i個粒子迄今為止搜索的最優(yōu)位置為個體極值：

Pbest=(Pi1，Pi2，…，PiD)，i=1，2，…，N

(3)

整個粒子群迄今為止搜索的最優(yōu)位置為全局極值：

Gbest=(Pg1，Pg2，…，PgD)，g=1，2，...，N

(4)

在搜索這兩個極值時，粒子根據式(5)、式(6)來不斷調整自己所在的位置以及相應速度：

(5)

(6)

其中,c1，c2是學習因子，r1，r2為均勻隨機數(shù)。

式(5)由三部分組成：第一部分稱為慣性，表示粒子本身的運動趨勢；第二部分是認知部分，表示粒子有向自身歷史最佳位置運動的趨勢；第三部分是社會部分，反映粒子有向群體最佳位置逼近的趨勢。

(三)NS族模型簡介

NS族模型中最為基礎的就是NS模型，在該模型的基礎上，又延伸出NSS模型、BC模型和DL模型。

1.NS模型。NS模型全稱是Nelson-Siegel模型，是Nelson 和 Siegel在1987年提出的。該模型的瞬時遠期利率是指數(shù)形式的：

ft(τ)=β1+β2e-λ1τ+β3λ1τe-λ1τ

(7)

由此推導出t時刻到期收益率函數(shù)為:

(8)

其中，參數(shù)β1刻畫了長期的利率變動水平，因此被定義為長期因子。參數(shù)β2被稱為短期因子，因為其因子載荷項是一個從1開始迅速衰減為0的函數(shù)。參數(shù)β3是曲度因子，因為該因子的載荷項先從0開始逐漸增大，等增大到一定程度后又開始衰減，直至減為0。這樣的變化過程很好地描述了中期因子的變化趨勢，因此曲度因子又被稱為中期因子。λ1表示的是指數(shù)衰減率，NS模型可以通過最小二乘法估計β1、β2、β3三個參數(shù)的結果。從該模型可以看出，模型的設計非常簡便，而且三個參數(shù)的含義十分明確，很多研究者使用NS模型對利率期限結構進行擬合，均取得了較好的效果，因此，NS族其他模型均是對NS模型的補充和改進。

2.NSS模型。NSS模型又稱Svensson模型，是NS模型的一種重要的擴展型。該模型在NS的基礎上增加了一個曲度因子。這樣的改進使模型的中期因子更加靈活多變，適用更多形狀的收益率曲線，增強了模型的擬合能力。該模型的具體表達式如下：

ft(τ)=β1+β2e-λ1τ+β3λ1τe-λ1τ+β4λ2τe-λ2τ

(9)

(10)

λ2是該模型在NS基礎上新增的衰減因子。

3.BC模型。BC模型和NSS模型類似，也是在NS的基礎上增加了一個因子。與NSS模型不同的是，BC模型增加的是斜率因子，并且這個增加的斜率因子擁有更快的衰減速率(2λ)。該模型的具體表達式如下：

ft(τ)=β1+β2e-λ1τ+β3λ1τe-λ1τ+β4e-2λ1τ

(11)

(12)

4.DL模型。DL模型是NS模型的又一個擴展模型，該模型將時間序列引入NS模型，構建了時變的模型變量，該模型的具體形式如下：

ft(τ)=β1t+β2te-λ1tτ+β3tλ1tτe-λ1tτ

(13)

(14)

本文所構建的二次方項NSS模型則是建立在NSS模型基礎上的，是NSS模型的一種擴展形式。該模型t時刻到期收益率yt(τ)具體表現(xiàn)形式如下：

(15)

三、實證分析

(一)數(shù)據選取說明

由于我國國債市場主要由證券所交易市場和銀行間交易市場組成，而我國的金融機構仍然以銀行為主體，并且銀行間市場國債交易量巨大，在整個國債市場占有很重要的地位，因此本文選擇的數(shù)據是銀行間國債市場利率日交易數(shù)據。數(shù)據的時間跨度是從2017年1月6日至2018年12月30日，數(shù)據來源于萬德數(shù)據庫。

本文之所以選擇日交易數(shù)據是因為日交易數(shù)據量非常大，能夠較為精確地對債券市場的收益率曲線進行擬合。除去非交易日、部分缺失值以及異常值后，樣本的交易天數(shù)為471天。對模型參數(shù)進行估計的指標有五個：收盤價、每年付息次數(shù)、票面利率、剩余期限和收盤價的修正久期。由于每日的平均交易數(shù)據有幾百個，每個交易數(shù)據都由上述五個指標的數(shù)據組成，因此整個原始面板數(shù)據量達到38萬。

(二)擴展的NSS模型估計結果分析

本文在NSS模型的基礎上引入了二次方項，通過使用MATLAB軟件進行編程，對收益率曲線的五個參數(shù)β1、β2、β3、β4、β5進行估計。在這里，我們通過對不同時間參數(shù)進行擬合比對，將兩個時間參數(shù)進行固定。我們給出了五個參數(shù)的描述性統(tǒng)計，如表1所示。

表1 收益率曲線參數(shù)描述性統(tǒng)計

從表1可以看出，幾個參數(shù)的標準差都比較小，中位數(shù)和最大值、最小值差距不大，這說明模型參數(shù)整體較為穩(wěn)定。從峰度和偏度兩個指標來看，五個參數(shù)整體上離群程度較低，但是β2和β3兩個參數(shù)相對于其他三個參數(shù)的數(shù)據離群程度較高。表2、圖1給出了用MATLAB運行的2018年11月2日的到期收益率結果及相應的收益率曲線圖。

表2 2018年11月2日的到期收益率數(shù)據

從圖1的收益率曲線圖可以看出，隨著到期期限的增加，利率隨之增加，其中在前8年時間內，到期收益率的增長是非常迅猛的。10年期限以上的收益率雖然整體也在上漲，但是漲幅明顯放緩。對2017年1月至2018年12月的數(shù)據重復上述操作，得到每日的收益率曲線。將每日的數(shù)據進行匯總并計算出各到期收益率，我們通過表3的描述統(tǒng)計表和圖2的三維圖展示結果。

圖1 2018年11月2日的收益率曲線

表3 各到期期限利率的描述統(tǒng)計結果

圖2 2017年1月至2018年12月利率期限結構三維圖

表3和圖2分別給出了不同到期期限利率的描述統(tǒng)計匯總和2017、2018兩年的利率期限結構走勢。圖2清晰地展示了利率期限結構的整體變動趨勢。隨著剩余年限的不斷增加，到期收益率不斷上升，并且上升的幅度在短期較大，而在長期則逐漸減小。這個現(xiàn)象的發(fā)生從流動性偏好理論的角度進行解釋是由于風險溢價的存在。隨著年限的增加，投資者所面臨的不確定性也在增加，為了彌補這種由時間跨度增加而導致的不確定性，投資者往往會要求更高的投資收益率。表3則給出了到期收益率數(shù)據的各統(tǒng)計指標。首先，從均值、中位數(shù)、最大值和最小值的變動趨勢可以看出，隨著年限的增加，數(shù)據整體增大，這和利率期限結構的三維圖是一致的。其次，從標準差可以看出，各期限的到期收益率均非常平穩(wěn)。最后，峰度和偏度的兩組值總體上較小，這說明數(shù)據的離群程度較低，實驗的結果較為理想。

(三)模型的樣本內預測

我們用建立好的模型對2017年(樣本總量為36 534)、2018年(樣本總量為40 551)銀行間債券價格進行樣本內預測，誤差結果如表4、表5所示。

表4 2017年絕對誤差

表5 2018年絕對誤差

表4、表5給出了2017年和2018年銀行間市場債券價格的樣本內預測誤差。由2017年的絕對誤差值我們可以發(fā)現(xiàn)，誤差小于1的個數(shù)為19 041，總體占比達到52%，誤差小于2的個數(shù)達到25 438，總體占比將近70%，誤差高于10的總體占比為2%。由2018年的數(shù)據可以發(fā)現(xiàn)誤差小于5的個數(shù)有33 455，總體占比為83%，誤差在10以上的個數(shù)僅占5%。因此，從總體看，引入二次方項的NSS模型樣本內預測的結果是比較理想的。

四、結論與研究展望

本文使用引入二次方項的NSS模型對2017年1月6日至2018年12月30日銀行間國債日交易數(shù)據進行擬合及動態(tài)的預測，得出了預測的參數(shù)和預測的價格。在預測部分，本文使用了不同于前人的預測方法。

對于模型擬合部分，從參數(shù)和即期利率的描述統(tǒng)計表可以看出參數(shù)較為穩(wěn)定，離群值較小。從圖2的三維圖走勢可以看出，模型整體擬合效果不錯。對于模型的預測部分，從樣本內預測的情況來看，整體誤差較小，預測精度較高。

引入二次方項的NSS模型可以進行樣本外預測，但是要解決經典模型長期預測誤差較大的問題，下一步的研究可以從如何縮小長期預測誤差這個角度著手進行研究。