崔亞寧，任偉?

①上海大學 理學院物理系，上海 200444；②上海大學 量子與分子結(jié)構(gòu)國際中心，上海 200444

1 拓撲絕緣體

拓撲絕緣體是由凝聚態(tài)物理學家提出的一類關(guān)于電子導電性質(zhì)的全新物態(tài)相，其從理論上提出到實驗樣品制備合成及表征測量，很快成為凝聚態(tài)物理和量子材料中的熱點研究問題[1-2]。量子霍爾效應、量子反?；魻栃?、量子自旋霍爾效應的研究為拓撲絕緣體的提出打下了堅實的基礎。拓撲絕緣體與常規(guī)絕緣體的不同之處在于自旋軌道耦合效應較為顯著，其塊體材料具有內(nèi)部體態(tài)絕緣而表面或者邊緣導電的奇異特性，這一特性無法用朗道對稱性破缺理論進行很好的描述。拓撲絕緣體表面態(tài)或者邊緣態(tài)的狄拉克(Dirac)錐是由體態(tài)能帶的拓撲性質(zhì)決定的，并受到時間反演對稱性的保護，具有很強的穩(wěn)定性。那么什么是數(shù)學上的拓撲概念呢？我們舉一個簡單直觀的例子：如圖1所示，一個莫比烏斯環(huán)帶不能通過簡單平滑的形變轉(zhuǎn)換成為一個普通的環(huán)形帶，而兩者之間的區(qū)別就是拓撲上的區(qū)別。類似概念在凝聚態(tài)物理以及其他領(lǐng)域都有非常重要的研究意義和價值。

拓撲不變量的概念早在1982年就已經(jīng)被應用于處理二維周期勢中的整數(shù)量子霍爾效應[3]，而且拓撲序的概念也被用于描述強關(guān)聯(lián)體系中的分數(shù)量子霍爾效應[4]。如果將自旋軌道耦合作用當作一個等效的本征磁場，那么拓撲絕緣體可以被認為是在無外加磁場時發(fā)生了量子霍爾效應。當前人們發(fā)現(xiàn)的拓撲絕緣體可以在固體物理的單電子能帶理論[5]框架下進行理解，并且已經(jīng)被廣泛地推廣到光子晶體[6]、聲子晶體[7]甚至經(jīng)典電子元件組成的電路中的輸運研究[8]。

圖1 (a)石墨烯圍成的莫比烏斯帶；(b)石墨烯圍成的正常環(huán)帶

1.1 拓撲能帶理論

絕緣體也可稱作電介質(zhì)，具有不易傳導電流的高電阻率，是一種與導體相反的最基本的物態(tài)。一個簡單直觀的圖像就是電子都被緊緊束縛在原子核周圍，沒有自由電子或者載流子(圖2)。固體能帶理論基于量子力學，常被用于描述晶體中的電子結(jié)構(gòu)。根據(jù)晶體的平移對稱性，我們可以在動量空間或倒空間定義布里淵區(qū)，并且求解其高對稱路徑上的能量與k的色散關(guān)系，就可以獲得常說的能帶結(jié)構(gòu)。由于電子是費米子，在滿足泡利不相容原理的條件下，電子從低到高能量占據(jù)軌道能級，即在費米面下方的填充軌道對應價帶，而費米面上方的空軌道則對應導帶。絕緣體的導帶與價帶之間存在躍遷能隙，因此電子不能輕易躍遷到導帶，也就表現(xiàn)出不活躍的電惰性。

如果我們將絕緣體進行分類，那么所有常規(guī)絕緣體都是拓撲等價的，并且拓撲上可以等價為真空，因為根據(jù)狄拉克的相對論量子理論，真空中電子和正電子間也有能量帶隙。然而，并非所有的絕緣體電子態(tài)都和真空等價，一個最簡單的例子是整數(shù)量子霍爾效應實驗[3,9]。二維電子氣在強磁場和低溫條件下，電子圓形軌道的量子化回旋頻率為ωc，第m個量子化朗道能級為?m=?ωc(m+1/2)。每個朗道能級都是分立的，朗道能級之間沒有可以占據(jù)的電子態(tài)。如果第N條朗道能級被填滿而剩下的是空的，占據(jù)態(tài)和空態(tài)之間有一個能量帶隙，這使其能帶結(jié)構(gòu)看起來與常規(guī)絕緣體有所類似。然而與絕緣體不同，霍爾橫向電場會引起電子軌道漂移，從而導致邊緣出現(xiàn)量子化霍爾電導率的霍爾電流。量子化霍爾電導率可以寫為：

其中e為一個電子的電荷量，h為普朗克常數(shù)。實驗上測量得到的量子霍爾電導的精度高達10-9[10]，完美地體現(xiàn)了的拓撲性質(zhì)。

圖2 (a)～(c)絕緣態(tài)；(a)原子絕緣體；(b)簡單絕緣體的模型能帶結(jié)構(gòu)；(d)～(f)量子霍爾態(tài)；(d)電子的回旋運動；(e)分立的朗道能級；(c)和(f)橙子和甜甜圈表示具有兩種不同拓撲結(jié)構(gòu)的示意圖(圖片來自文獻[2])

1.2 TKNN不變量

既然量子霍爾態(tài)和普通絕緣體都有能隙，那么它們之間該如何區(qū)分呢？ Thouless、Kohmoto、Nightingale和den Nijs四人(簡稱TKNN)的一篇開創(chuàng)性的論文中給出了一種新的分類方法。有帶隙的能帶結(jié)構(gòu)可以通過考慮等價類來進行拓撲分類，在不閉合能隙的條件下哈密頓量可以連續(xù)變形，這些不同的類可以通過拓撲不變量表示整數(shù))來區(qū)分，即數(shù)學中的纖維叢理論的陳不變量(Chern invariant)[11]。如果兩個能帶能夠相互連續(xù)變換，并且不閉合能隙，它們就有著相同的陳不變量。如果從物理的角度解釋陳不變量，可以通過與布洛赫波函數(shù)um(k)相關(guān)的貝里相位(Berry phase)表示。在沒有簡并的情況，貝里相位可以通過對?在k空間的閉合環(huán)路積分得到。貝里曲率的定義為而陳不變量即為整個布里淵區(qū)貝里曲率的積分：

nm是一個量子化的整數(shù)，總的陳數(shù)可以等于所有已占據(jù)能帶的累加。假如占據(jù)態(tài)能帶之間有簡并，陳數(shù)也是不變的。拓撲能帶理論中的陳數(shù)n類似于拓撲學中的虧格g。一個球體(如圖2(c))有g(shù)=0，而一個環(huán)(圖2(f))的g=1。由數(shù)學中的Gauss定理[11]可知，虧格g可以通過閉合曲面上的高斯曲率積分得到，而陳數(shù)就是貝里曲率的積分。

2 霍爾效應

2.1 量子霍爾效應

量子霍爾效應于1980年被德國物理學家Klaus von Klitzing在高強度磁場實驗中發(fā)現(xiàn)[9]，并因此獲得1985年諾貝爾物理學獎。量子霍爾效應與傳統(tǒng)霍爾效應最大的不同之處在于橫向電壓對磁場的線性響應顯著不同。

橫向(霍爾)電阻是量子化的。從圖3可以看出，盡管從整體趨勢上，橫向電阻(圖中紅線)隨著磁場強度增大而增大，但卻在強磁場下形成若干橫向電阻不隨磁場增大的完美平臺。這些平臺所對應的是“量子化電阻”，即h/e2的1/n(n為正整數(shù))，對應圖3中橫向電阻平臺的“1、0.5、0.33、0.25、0.2”等位置，這也就是整數(shù)量子霍爾效應。此外，在橫向霍爾電阻達到一個平臺時，縱向電阻值(圖中綠線)趨于0。

如圖2(d)所示，在強磁場下運動的電子受到洛倫茲力作用將導致體系內(nèi)部成為絕緣體，但在體系邊緣的位置電子可以按照如圖4(a)所示做總體的單向運動，這就是量子霍爾效應的邊緣態(tài)。如圖4(b)，費米能級上方和下方分別是塊體的導帶和價帶，它們具有連續(xù)的能態(tài)并且在k=0附近具有電子能量帶隙，導帶和價帶之間的能隙中存在一條可以用來描述上述邊緣態(tài)的單帶。表面邊緣態(tài)的色散關(guān)系具有重要的性質(zhì)，它的行為僅僅依賴于物質(zhì)的拓撲性，而與具體的幾何構(gòu)型無關(guān)。

圖3 磁場下的量子霍爾效應中橫向霍爾電阻和縱向電阻的響應曲線圖

圖4 (a)量子霍爾態(tài)和普通絕緣體界面存在一個手性由外磁場確定的邊界態(tài)；(b) 量子霍爾效應體態(tài)和邊界態(tài)的電子結(jié)構(gòu)示意圖(圖片來自文獻[2])

2.2 自旋霍爾效應

除了由于電子電荷受到洛倫茲力作用的傳統(tǒng)霍爾效應，自旋軌道耦合也可以導致奇特的自旋霍爾效應。自旋霍爾效應簡單說來就是在無需外加磁場的作用下，邊界態(tài)出現(xiàn)上下兩種自旋相反方向運動的效應。這是由于自旋軌道作用使上下自旋電子的電流產(chǎn)生解耦從而導致兩套自旋分立的霍爾效應。與上述自旋簡并的電荷霍爾效應不同，自旋霍爾效應中時間反演對稱性是被滿足的。在自旋霍爾效應的二維材料中，總的電流為0，即Ie=e(I↑+I↓) = 0，而自旋流并不為0，即IS=?/2(I↑-I↓) ≠ 0，由此我們可以定義自旋霍爾電導為Gs=Is/V[12-13]。

在介觀物理體系的量子輸運中有一個著名的普適電導漲落現(xiàn)象，引入無序之后由于量子干涉效應導致電荷電流的電導存在一個量級為e2/h的漲落值。對于同一個給定無序樣品來說，隨機振蕩的電導漲落(如同樣品的指紋一樣)是可以被重復測量出來的。2006年我們發(fā)現(xiàn)自旋霍爾電導有類似于此介觀物理體系的量子輸運性質(zhì)，自旋霍爾電導的普適漲落值為0.18e/(4π)[14-15]，這一結(jié)論很快被他人利用隨機矩陣理論方法證實[16]。如圖5的左插圖所示，考慮導線端口1和3為水平方向的電流，兩者和其中的正方形散射區(qū)域內(nèi)存在的Rashba或者Dresselhaus自旋軌道耦合，自旋霍爾電導通過導線端口2與4測量。圖中三角形、正方形和圓形符號分別代表Anderson型無序強度值為1、2和3的情況，其中系綜平均和漲落值rmsGsH=(-2)1/2通過分析10 000個隨機無序的體系得到。當無序度增大時，自旋霍爾電導平均值逐漸減小，而同時其漲落值增大至0.18e/(4π)范圍，這一數(shù)值變得與自旋霍爾電導的平均值相同量級。

圖5 自旋霍爾電導漲落和系綜平均的霍爾電導隨電子費米能量的依賴關(guān)系(圖片來自文獻[14])

2.3 量子自旋和反?；魻栃?/h3>

在量子霍爾效應中，我們暫沒有考慮電子自旋內(nèi)稟屬性而只關(guān)心其電荷在外磁場洛倫茲力作用下的運動行為。如果體系不存在自旋軌道耦合作用，則體系的哈密頓量可以分解為兩個獨立的自旋向上和自旋向下的貢獻。在只涉及電荷的霍爾效應中，自旋向上和自旋向下的霍爾電導流向相同的方向，但是考慮自旋霍爾效應之后我們有可能發(fā)現(xiàn)上下自旋的電子反向運動，導致電荷電流為0而自旋電流不為0。

人們最早在石墨烯體系中預言了量子自旋霍爾效應[17]。石墨烯是碳元素構(gòu)成的單原子層零帶隙半金屬，本身具有很弱的自旋軌道耦合作用[18-22]，因此實驗上很難在石墨烯體系上實現(xiàn)量子自旋霍爾絕緣體效應。后來Bernevig等人提出使用HgCdTe量子阱結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)量子自旋霍爾效應，也為實驗上發(fā)現(xiàn)量子自旋霍爾效應鋪平了道路[23]。Hg1-xCdxTe是具有強自旋軌道耦合作用的半導體。CdTe的導帶是由一個s軌道構(gòu)成，而價帶是由p軌道構(gòu)成。然而在HgTe中發(fā)生了能帶結(jié)構(gòu)反轉(zhuǎn)，即p軌道能級在s軌道上面。Bernevig等人選擇HgTe在兩個CdTe中間形成三明治結(jié)構(gòu)的量子阱。當HgTe厚度ddc時能帶結(jié)構(gòu)發(fā)生反轉(zhuǎn)。在此理論提出一年內(nèi)，烏爾茲堡大學的Molenkamp課題組制備了這個器件并且做了輸運的測量，在實驗上驗證了量子自旋霍爾效應[24]。目前有大量的理論工作被提出，預言在足夠大的自旋軌道耦合作用下，可以在室溫條件觀測到量子自旋霍爾效應。上海大學任偉課題組在兩面分別氫化和氟化的二維單層金屬鉍Bi2HF中也預測了量子自旋霍爾效應的可能[25]。這一結(jié)構(gòu)對稱性破缺還導致電子自旋和能谷之間的耦合，理論上二維拓撲絕緣體的能隙接近1 eV，因此有望在非低溫條件下被實驗觀測到。

量子自旋霍爾效應是無需外加磁場實現(xiàn)的，而如果材料本身存在內(nèi)稟磁場，就會出現(xiàn)反?；魻栃Ｏ鄳?，量子反?；魻栃膊恍枰饧哟艌觯怯刹牧媳旧淼淖孕壍礼詈虾妥园l(fā)磁化導致的。如圖6(a)所示，將單層石墨烯置于襯底BiFeO3的(111)表面上，便會打破石墨烯平面上下的鏡面對稱性，同時由于Fe是具有磁性的原子，可以產(chǎn)生磁鄰近作用，石墨烯的電子能帶結(jié)構(gòu)就會出現(xiàn)自旋劈裂的現(xiàn)象(圖6(b)的紅色和藍色能帶)。如果此時再考慮自旋軌道耦合作用，在上下自旋交叉處將會產(chǎn)生有限大的能隙(圖6(c)中綠色方框顯示)，這個能隙便是可以觀測無磁場下的量子反常霍爾效應的能量窗口。此時單層石墨烯由于量子反常霍爾效應而進入量子拓撲態(tài)[26]。早在2013年，由薛其坤領(lǐng)銜的實驗團隊從實驗上首次觀測到量子反?；魻栃猍27]。

圖6 (a)在(111)BiFeO3表面的石墨烯超胞；(b)自旋分裂的石墨烯能帶結(jié)構(gòu)；(c)考慮自旋軌道耦合的石墨烯能帶結(jié)構(gòu)(圖片來自文獻[26])

2.4 石墨烯狄拉克電子和碳納米管模型

石墨烯是二維的碳原子單層物質(zhì)[28-29]，是當前眾多科學技術(shù)研究領(lǐng)域的明星材料。不考慮自旋軌道耦合作用時，石墨烯中存在二維狄拉克電子，即由狄拉克方程描述的線性色散的電子，區(qū)別于普通的半導體中電子的能量和動量為拋物線型的色散關(guān)系。這意味著狄拉克電子的運動行為類似于相對論性的光子，即使在室溫下也具有極其高的電子或空穴的載流子遷移率[30-31]。碳納米管是由石墨烯層巻曲而成的無縫納米管狀的準一維材料，其擁有的拓撲性質(zhì)不遜于石墨烯。根據(jù)碳管邊界的形狀還可以分為鋸齒型和扶手椅型，以及除此以外的手性結(jié)構(gòu)。由于結(jié)構(gòu)對稱性的不同，碳納米管的狄拉克點也會隨之改變。對于鋸齒型邊界碳納米管，根據(jù)管壁一周的原子數(shù)目對于整數(shù)3的倍數(shù)關(guān)系，狄拉克點會移動到Γ點，或者直接打開一個能量帶隙，分別表現(xiàn)為金屬性質(zhì)或半導體性質(zhì)。對于扶手椅型碳納米管，狄拉克點則會移動到Γ點和X點之間的一個位置。有趣的是，這一狄拉克點可以被垂直于管軸的橫向電場進行調(diào)控。隨著外加電場強度的增強，線性色散關(guān)系在費米能級附近發(fā)生扭曲，進而Γ-X方向上的1個狄拉克點會轉(zhuǎn)變?yōu)?個相交于費米能級的狄拉克點[32]。圖7(a)~(e)是我們利用密度泛函理論計算得出的能帶結(jié)構(gòu)，從左向右依次為外加電場強度數(shù)值為0、0.05、0.10、0.12、0.15 eV/?的情況。圖7(f)~(j)是我們用單參數(shù)緊束縛模型計算得出的能帶結(jié)構(gòu)，可以看出在費米能級附近非常吻合第一性原理計算得出的結(jié)果。

圖7 扶手椅型(12,12)碳納米管中的狄拉克點數(shù)量隨電場增大而變化：(a)～(e)密度泛函理論計算結(jié)果；(f)~(j)緊束縛模型計算結(jié)果(圖片來自文獻[32])

碳納米管早在1991年就被實驗發(fā)現(xiàn)[33]，但是合成出的碳納米管形態(tài)具有多樣性，半徑尺寸相似的結(jié)構(gòu)也可具有半導體或者金屬的不同性質(zhì)，批量生產(chǎn)特定單一結(jié)構(gòu)的碳納米管仍然具有挑戰(zhàn)。相比之下，石墨烯首次在實驗上發(fā)現(xiàn)于2004年，引發(fā)的研究熱潮使得其發(fā)現(xiàn)者在2010年便獲得諾貝爾物理學獎。這些具有拓撲性質(zhì)的量子材料被人們認為具有廣闊的應用前景。正如量子力學為半導體技術(shù)的發(fā)展奠定了堅實的基礎，信息工業(yè)的發(fā)展也極大得益于過去一個世紀物理學研究領(lǐng)域的發(fā)現(xiàn)。如今集成電路芯片越來越小，性能越來越高，但是散熱問題卻構(gòu)成阻礙摩爾定律持續(xù)發(fā)展的瓶頸。然而拓撲絕緣體因為電子軌道耦合作用導致的內(nèi)部絕緣、表面無耗散導電特性，將有望在新一輪信息產(chǎn)業(yè)革新中起到重要作用。

3 拓撲半金屬

前面介紹的是拓撲絕緣體的創(chuàng)新發(fā)展，那么能不能將拓撲物理的概念和方法推廣到金屬等其他物質(zhì)的分類中呢？我們在此介紹一類特殊的金屬體系——拓撲半金屬。拓撲半金屬可以通過能帶交叉的費米面表征，這些能帶交叉點的簡并度一般和晶體對稱性相關(guān)，與對應的拓撲數(shù)也存在聯(lián)系。不同類型的拓撲半金屬通過能帶交叉點的簡并度、維度、費米速度區(qū)分，也可以用能帶交叉點的原因——能帶反轉(zhuǎn)或是對稱性保護區(qū)分。這些不同的性質(zhì)和拓撲特征構(gòu)成了龐大的拓撲半金屬家族，包括狄拉克和外爾(Weyl)半金屬[34-37]，以及各種不同的節(jié)線態(tài)半金屬(如nodalchain[38]、nodal-link[39]、node-knot[40]、node-line[41]和node-net[42-43]、第一類型和第二類型拓撲半金屬[44]、多重簡并的半金屬[45-46]和三重簡并半金屬[47-50])。這些拓撲半金屬可以存在豐富多樣的低能拓撲激發(fā)，不僅僅為固體中研究準粒子提供了平臺，還拓展了高能物理中對已知粒子的認識[46]。

3.1 狄拉克半金屬和外爾半金屬

狄拉克半金屬中的狄拉克點是四重簡并的線性能帶交叉點，受到晶體對稱性的保護。前文中提到的石墨烯模型就是狄拉克半金屬的典型范例。外爾半金屬則是兩條不同自旋的能帶在布里淵區(qū)空間中相交于同一個k點，這個二重簡并點就是外爾點。

外爾半金屬可以看成對稱性破缺的相，因為在同時具有時間反演對稱性和空間反演對稱性的情況下，所有的能帶都保持二重簡并性。所以，外爾點的存在需要破壞時間反演對稱性或者空間反演對稱性[51]，當然也可以同時破壞這兩種對稱性。在有對稱性破缺的情況下，狄拉克點會被移除或者分裂成為兩個外爾點[10,35,52]，因此狄拉克半金屬又可以看作對稱性保護的拓撲半金屬相。具有旋轉(zhuǎn)對稱性保護的狄拉克半金屬已經(jīng)在Na3Bi和Cd3As2中預測和實驗驗證[53-54]，這些半金屬相表現(xiàn)出豐富的拓撲性質(zhì)[35]。狄拉克半金屬和外爾半金屬看似具有完全不同的對稱性要求，那么是否存在一種這兩種準粒子同時存在的材料呢？

3.2 狄拉克-外爾半金屬

上海大學任偉課題組2018年開創(chuàng)性地提出外爾點和狄拉克點共存的拓撲半金屬[55]，這是一種非中心反演對稱性的六角ABC結(jié)構(gòu)SrHgPb，能帶結(jié)構(gòu)計算顯示其中可以共存狄拉克點和外爾點。在具有極化空間群P63mc的SrHgPb中存在1對狄拉克費米子和6對外爾費米子。其中：狄拉克點是由于能帶反轉(zhuǎn)導致，位于旋轉(zhuǎn)軸上并受到晶體點群對稱性的保護；位于kz=0平面上的外爾點是由于二重旋轉(zhuǎn)對稱性和時間反演對稱性所導致的，并且外爾點的位置和存在可以通過HgPb層的褶皺厚度來控制。隨著HgPb褶皺厚度的改變，一對手性相反的外爾點可以在高對稱性線上產(chǎn)生或者湮滅。三元化合物SrHgPb的晶體結(jié)構(gòu)如圖8所示，位于B和C位的Hg和Pb原子形成Wurtzite晶格，A位原子填充于其間隙。這是一種LiGaGe類型的ABC晶體結(jié)構(gòu)，所選的三種元素都位于元素周期表下方且具有較強的自旋軌道耦合效應[56]，而且理論計算提出，類似LiGaGe類型的晶體[57]可以實現(xiàn)鐵電[57]、Rashba效應[58]、反鐵電拓撲絕緣體[59]、狄拉克半金屬[18,60]和外爾半金屬[61]。SrHgPb的晶體材料已經(jīng)在多年之前的實驗中合成[56]，這為深入研究狄拉克和外爾點共存的效應提供了材料實現(xiàn)的可能。

我們的第一性原理計算得到的SrHgPb能帶圖如圖9所示。沿著能帶的高對稱性點路徑，可以觀察到位于Γ點附近的空穴口袋以及位于M和A點的電子口袋，這說明該材料是一個半金屬。一般在中心反演對稱性破缺的結(jié)構(gòu)中，除了一些高對稱點和高對稱線以外，能帶保持單重簡并，而SrHgPb的能帶結(jié)構(gòu)就具有這種性質(zhì)。

圖8 (a) SrHgPb的晶體結(jié)構(gòu)：綠色、黑色和灰色分別表示Sr、Pb和Hg原子；(b) SrHgPb的(110)面電子局域函數(shù)；(c) SrHgPb的第一布里淵區(qū)以及在(001)表面的投影(圖片來自文獻[55])

圖9(a)中沿著Γ-A線的導帶和價帶發(fā)生了能帶反轉(zhuǎn)，并且導帶和價帶的反轉(zhuǎn)形成四重簡并的狄拉克點。這里的狄拉克點是由于B和C位的成鍵態(tài)和反鍵態(tài)導致的，受到晶體對稱性保護，不會被自旋軌道耦合相互作用給打開。這里的狄拉克點與Na3Bi和Cd3As2中的狄拉克點類似[53]。不同于非點式對稱性保護的狄拉克半金屬BiO2，外爾點在k空間的位置與狄拉克點一般不同。由于狄拉克點受到旋轉(zhuǎn)對稱性或者非點式對稱性的保護，一般會在布里淵區(qū)的高對稱點上，而外爾點一般就不在高對稱點上。在SrHgPb體系的能帶結(jié)構(gòu)中共有6對外爾點，如圖9(b)中沿著Γ-W+-K，其中W+為一個外爾點。利用SrHgPb晶體的點群對稱性C6v，可以通過旋轉(zhuǎn)對稱性找到剩下的5對外爾點，并且這6對外爾點具有相同的能量。

圖9 (a) SrHgPb的動量空間中沿著高對稱點的能帶結(jié)構(gòu)，其中的插圖為紅色；(b) 能帶結(jié)構(gòu)沿著Γ-W+-K，其中W+處有一個外爾點坐標為(0.217, 0.036, 0)?-1，這里的導帶和價帶交叉形成一個外爾點；(c) 布里淵區(qū)中的狄拉克點和外爾點的分布，其中狄拉克點用黑色的點來表示，外爾點用藍色和紅色的點來表示，紅色和藍色的點表示不同手型的外爾點；(d) kz=0平面的面內(nèi)Berry曲率，箭頭表示Berry曲率的方向(圖片來自文獻[55])

通過理論預測發(fā)現(xiàn)的這種可以共存狄拉克和外爾兩種拓撲相的新材料為我們研究它們之間的相互關(guān)系提供了新思路，這項工作為實現(xiàn)自旋電子學和量子計算衍生的拓撲材料提供了新的可能性。

4 總結(jié)和展望

近年來量子拓撲材料因為基礎研究和應用潛力的新奇獨特物性備受關(guān)注。本文擷取目前熱門的研究方向，包括拓撲絕緣體、拓撲半金屬、量子反?；魻栃?、量子自旋霍爾效應等，并且我們對這些材料和現(xiàn)象進行了簡要的介紹和描述，列舉了具有代表性的研究成果。我們相信隨著越來越多的拓撲材料被從理論預言到實驗證實，人們對其物理性質(zhì)的理解會越來越清晰，并且可選擇的材料種類越來越豐富。近期一些工作利用材料基因組工程的思路和高通量計算系統(tǒng)搜索篩選建成了拓撲材料數(shù)據(jù)庫[62-64]，可以幫助人們尋找以前未發(fā)現(xiàn)的拓撲材料，也為拓撲材料的發(fā)現(xiàn)提供了新平臺。目前半導體電子器件尺寸的不斷縮小已經(jīng)日趨達到瓶頸，迫切需要新一代的電子器件，而拓撲電子體系所具有的量子材料特性，或能實現(xiàn)能量和信息的無耗散傳輸，這將推動能源和信息產(chǎn)業(yè)的發(fā)展與革命。