花文華，張金鵬,2，張擁軍

(1.中國空空導(dǎo)彈研究院，河南 洛陽 471009;2.航空制導(dǎo)武器航空科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河南 洛陽 471009)

0 引言

將一類僅可提供目標(biāo)方位角量測的攔截導(dǎo)彈作為研究對(duì)象。僅有角度量測情況下的目標(biāo)跟蹤問題的研究成果可用于該類型攔截導(dǎo)彈濾波器的設(shè)計(jì)。然而，在目標(biāo)機(jī)動(dòng)不確定性和量測噪聲等因素的影響下，即使采用先進(jìn)的濾波器，如粒子濾波等，攔截高機(jī)動(dòng)目標(biāo)的性能仍將受限于濾波器的延遲和跟蹤精度的影響，同時(shí)濾波器越先進(jìn)，往往也越復(fù)雜，在彈上實(shí)現(xiàn)也是一個(gè)問題。一種改進(jìn)目標(biāo)跟蹤精度，從而改進(jìn)攔截性能的方法是增加量測量。這一方法通常需要改變導(dǎo)彈的硬件，如采用多模導(dǎo)引頭等，會(huì)較大程度的增加導(dǎo)彈的成本和復(fù)雜度，且工程化的多模導(dǎo)引頭在國內(nèi)仍屬技術(shù)難點(diǎn)。另一種方式是采用其他信息源的信息，如地面跟蹤雷達(dá)。這一要求需要地面或機(jī)載跟蹤雷達(dá)持續(xù)的向攔截導(dǎo)彈傳送目標(biāo)信息，會(huì)限制跟蹤雷達(dá)的運(yùn)行，且影響導(dǎo)彈的自主性，同時(shí)跟蹤雷達(dá)的跟蹤精度會(huì)隨著探測距離的增加而顯著下降。對(duì)于攔截一些高價(jià)值目標(biāo)的情形，如攔截彈道導(dǎo)彈、隱身戰(zhàn)機(jī)、預(yù)警機(jī)等，往往會(huì)發(fā)射多枚導(dǎo)彈以提高命中概率，但攔截導(dǎo)彈之間并不存在協(xié)同或信息共享，因此多彈同時(shí)攔截情況下的可用信息并未得到充分利用。

多導(dǎo)彈協(xié)同易于構(gòu)建更加有利的目標(biāo)攔截態(tài)勢，從而改進(jìn)制導(dǎo)性能并降低控制量要求，多彈協(xié)同也可用于飽和目標(biāo)防御、限制目標(biāo)機(jī)動(dòng)概率、誘騙目標(biāo)和增強(qiáng)對(duì)目標(biāo)的可觀測性等方面[1-5]。本文提出一種基于擴(kuò)展Kalman濾波器(extended Kalman filter,EKF)[6-9]的多導(dǎo)彈協(xié)同濾波方法，通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換和濾波器量測方程的建立，實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈間量測信息的共享，從而改進(jìn)估計(jì)性能。

1 數(shù)學(xué)建模

1.1 系統(tǒng)狀態(tài)模型

針對(duì)多枚導(dǎo)彈攻擊一個(gè)目標(biāo)的攔截情形進(jìn)行建模，導(dǎo)彈采用設(shè)定的制導(dǎo)律，彼此在制導(dǎo)上不存在協(xié)同，僅進(jìn)行信息共享。假設(shè)導(dǎo)彈是滾轉(zhuǎn)穩(wěn)定的，可近似分解為垂直和水平2個(gè)平面分別進(jìn)行研究，且結(jié)果是類似的。垂直平面的彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1所示。

圖1 平面彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系Fig.1 Planar engagement geometry

圖1中Mi和Mj分別表示攔截導(dǎo)彈i和j，T為目標(biāo)，v，a和γ分別表示速度、加速度和航向角，下標(biāo)m和t分別對(duì)應(yīng)導(dǎo)彈和目標(biāo)，Mi和目標(biāo)間、Mj和目標(biāo)間的相對(duì)距離分別采用ρmi和ρmj表示，相對(duì)應(yīng)的視線角為λmi和λmj。

以導(dǎo)彈Mi為例，選取導(dǎo)彈自身的狀態(tài)變量為

(1)

選取導(dǎo)彈關(guān)于目標(biāo)的狀態(tài)向量為

(2)

假設(shè)目標(biāo)做常速運(yùn)動(dòng)，且具有一階控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)，式(2)相應(yīng)的狀態(tài)方程可以表示為

(3)

式中:

vρi=-[vmicos(γmi-λmi)+vtcos(γt+λmi)],
vλi=-vmisin(γmi-λmi)+vtsin(γt+λmi)；

(4)

τt為目標(biāo)的控制系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)；atc為加速度指令，是一個(gè)白噪聲驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)過程。

1.2 量測模型

假設(shè)攔截導(dǎo)彈安裝有僅可提供角度量測的導(dǎo)引頭[10-15]，可以提供相對(duì)目標(biāo)的視線角度信息，該類型導(dǎo)引頭具有低成本的優(yōu)勢。建立導(dǎo)彈Mi的量測方程為

zmi=γmi-λmi+wmi,

(5)

導(dǎo)彈Mj的量測方程也是類似的，結(jié)合圖1，將Mj的量測方程寫成導(dǎo)彈Mi的狀態(tài)表示的形式：

(6)

導(dǎo)彈Mi和導(dǎo)彈Mj在同一個(gè)坐標(biāo)系下，導(dǎo)彈Mj將自身的位置信息傳輸給導(dǎo)彈Mi用于構(gòu)建量測方程，實(shí)現(xiàn)信息共享或協(xié)同濾波，則導(dǎo)彈Mi綜合n個(gè)導(dǎo)彈信息的量測方程可表示為

(7)

導(dǎo)彈Mi相應(yīng)增加了n-1個(gè)偽量測信息。采用EKF進(jìn)行協(xié)同濾波器的設(shè)計(jì)，并假設(shè)噪聲符合高斯分布。對(duì)于一些先進(jìn)的濾波方法，如粒子濾波，并不受限于量測噪聲的高斯特性要求。

2 協(xié)同擴(kuò)展Kalman濾波器設(shè)計(jì)

2.1 濾波器的設(shè)計(jì)

擴(kuò)展Kalman濾波器通過Taylor序列展開實(shí)現(xiàn)了對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)和量測量聯(lián)合分布的高斯近似，從而將Kalman濾波器的適用范圍擴(kuò)展到了非線性系統(tǒng)領(lǐng)域。

EKF所采用的濾波模型為

xk=f(xk-1,k-1)+Qk-1，
zk=h(xk,k-1)+Rk，

(8)

式中：f和h為非線性函數(shù)向量,分別為系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型和量測模型，分別與式(3)和式(7)相對(duì)應(yīng)。

在給定量測z1 : k的條件下，狀態(tài)xk的分布概率滿足：

p(xk|z1 : k)=N(xk|mk,Pk)，

(9)

式中:mk和Pk分別為狀態(tài)xk的均值和方差。

在每一個(gè)執(zhí)行周期內(nèi)，EKF都由狀態(tài)預(yù)測和量測更新2個(gè)過程構(gòu)成。相應(yīng)于系統(tǒng)(3)的狀態(tài)預(yù)測為

xk|k-1=f(xk-1,k-1).

(10)

相應(yīng)的預(yù)測誤差協(xié)方差矩陣為

(11)

式中:

Φk,k-1=eFxk·T,

(12)

(13)

式中：Fxk和Φk,k-1分別為狀態(tài)方程(3)的Jacobian矩陣和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；T=tk-tk-1為執(zhí)行周期；Qd為系統(tǒng)噪聲離散化后的誤差矩陣，其大小與濾波器的響應(yīng)速度相關(guān)。

在狀態(tài)預(yù)測完成后進(jìn)行量測更新，

xk|k=xk|k-1+Kk(zk-h(xk|k-1))，

(14)

式中：K為濾波器增益矩陣,由式(15)進(jìn)行計(jì)算：

(15)

式中：Sk為濾波新息的協(xié)方差矩陣；Hx為量測Jacobian矩陣，滿足：

(16)

對(duì)于導(dǎo)彈Mi，結(jié)合式(7)，可將式(16)展開為

(17)

(18)

(19)

(20)

最后進(jìn)行濾波器協(xié)方差矩陣更新，用于下一濾波周期預(yù)測誤差協(xié)方差矩陣的計(jì)算：

(21)

將式(13)表示成式(22)的形式，進(jìn)行可觀性分析:

(22)

對(duì)于僅有視線角度量測的單枚導(dǎo)彈，Hx=(0，-1，0，0，0)，根據(jù)線性系統(tǒng)可觀性判據(jù)，

(23)

式中:o21等矩陣參數(shù)不展開給出，但可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)很容易滿足rank{Om1}=5的條件，即系統(tǒng)是可觀的，對(duì)于多導(dǎo)彈信息協(xié)同的情況，系統(tǒng)同樣是可觀的，且可觀測性有所增強(qiáng)。

對(duì)觀測方僅可提供角度測量的情況,文獻(xiàn)[16-17]分別針對(duì)單傳感器和多傳感器對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的可觀測性進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[16]從幾何方法、線性與非線性方法、數(shù)值分析方法等角度，對(duì)單傳感器情況下的純方位目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的可觀測性研究成果進(jìn)行了綜述。文獻(xiàn)[17]對(duì)多靜止測向站系統(tǒng)的可觀測性、定位方法進(jìn)行了分析和研究，建立了純方位多傳感器系統(tǒng)目標(biāo)定位問題的數(shù)學(xué)描述，并定量分析了系統(tǒng)的可觀測性條件，指出多觀測方與目標(biāo)共線、多觀測方位置不分辨、觀測方測量時(shí)機(jī)選擇不當(dāng)?shù)犬a(chǎn)生不良的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)會(huì)帶來系統(tǒng)的不可觀測。對(duì)于多觀測方和目標(biāo)同時(shí)運(yùn)動(dòng)情況下的可觀測性研究較少，可以從不可觀測拓?fù)錁?gòu)型分析和避免措施方面開展研究，從而滿足多導(dǎo)彈的協(xié)同作戰(zhàn)使用需求。

2.2 濾波器的初始化

假設(shè)所有的導(dǎo)彈都由同一機(jī)載或地面雷達(dá)進(jìn)行初始化。圖2給出了雷達(dá)R與導(dǎo)彈之間的平面相對(duì)關(guān)系。雷達(dá)與目標(biāo)間的視線角和相對(duì)距離分別為λr和ρr，此外通過相關(guān)濾波技術(shù)還可以提供目標(biāo)的航向角γt和加速度at信息。雷達(dá)的位置(xr,yr)是已知的，與初始信息(λr0,ρr0,γt0,at0)一同通過發(fā)射前任務(wù)加載或數(shù)據(jù)鏈信息傳輸給導(dǎo)彈。利用這些信息，導(dǎo)彈完成濾波器的初始化，其中彈目距離和視線角的初始化值為

(24)

(25)

圖2 雷達(dá)與導(dǎo)彈的平面相對(duì)關(guān)系Fig.2 Planar engagement geometry between radar and missile

式中:

(26)

3 仿真結(jié)果及分析

系統(tǒng)狀態(tài)的估計(jì)結(jié)果如圖3～7所示。

圖3 彈目相對(duì)距離估計(jì)Fig.3 Estimation of range between missile and target

圖4 視線角估計(jì)Fig.4 Estimation of line of sight angle

圖5 目標(biāo)航向角估計(jì)Fig.5 Estimation of flight-path angle

圖6 目標(biāo)加速度估計(jì)Fig.6 Estimation of target acceleration

圖7 目標(biāo)加速度指令估計(jì)Fig.7 Estimation of target acceleration command

從圖3～7中可以發(fā)現(xiàn)，在較大的初始彈目相對(duì)距離誤差(2 000 m)下，單枚導(dǎo)彈的濾波器除與量測相關(guān)的視線角狀態(tài)外，其他狀態(tài)并不收斂，而在存在協(xié)同的情況下，由于可觀測性增強(qiáng)，獲得了較好的狀態(tài)估計(jì)結(jié)果。由于是可觀的，雖然在適當(dāng)?shù)某跏紬l件下是可以實(shí)現(xiàn)狀態(tài)收斂的，但僅有角度量測的單枚導(dǎo)彈濾波器對(duì)狀態(tài)初值和估計(jì)誤差協(xié)方差初值是較為敏感的，出現(xiàn)了發(fā)散現(xiàn)象。

圖8～12進(jìn)一步給出了2枚導(dǎo)彈信息協(xié)同的情況下200次Monter Carlo仿真的狀態(tài)估計(jì)的統(tǒng)計(jì)，包括估計(jì)誤差均值和1σ包絡(luò)曲線。從圖8～12中可以看出，各狀態(tài)的估計(jì)誤差都是收斂的。

圖8 彈目相對(duì)距離估計(jì)誤差統(tǒng)計(jì)，彈間協(xié)同F(xiàn)ig.8 Statistical estimation errors of range for cooperation missile

圖9 視線角估計(jì)誤差統(tǒng)計(jì)，彈間協(xié)同F(xiàn)ig.9 Statistical estimation errors of line of sight angle for cooperation missile

圖10 目標(biāo)航向角估計(jì)誤差統(tǒng)計(jì)，彈間協(xié)同F(xiàn)ig.10 Statistical estimation errors of flight-path angle for cooperation missile

圖11 目標(biāo)加速度估計(jì)誤差統(tǒng)計(jì)，彈間協(xié)同F(xiàn)ig.11 Statistical estimation errors of target acceleration for cooperation missile

圖12 目標(biāo)加速度指令估計(jì)誤差統(tǒng)計(jì)，彈間協(xié)同F(xiàn)ig.12 Statistical estimation errors of target acceleration command for cooperation missile

4 結(jié)束語

本文針對(duì)多枚導(dǎo)彈量測信息共享的情況，完成了基于EKF的多導(dǎo)彈協(xié)同濾波器的設(shè)計(jì)。相比于單枚導(dǎo)彈的情況，由于可觀測性增強(qiáng)，在初始彈目相對(duì)距離誤差較大的情況下，實(shí)現(xiàn)了對(duì)所有系統(tǒng)狀態(tài)的較好估計(jì)，同時(shí)Monter Carlo仿真結(jié)果表明所有狀態(tài)的估計(jì)誤差都是收斂的，進(jìn)一步表明了彈間協(xié)同濾波的優(yōu)勢。