王 露， 易平濤， 李偉偉， 劉 軍

(東北大學(xué) 工商管理學(xué)院，遼寧 沈陽 110167)

0 引言

多屬性決策是指根據(jù)決策問題描述的多種屬性信息，對多個決策備選對象進(jìn)行綜合排序，并以排序結(jié)果作為決策的參考依據(jù)。多屬性決策愈來愈成為諸多領(lǐng)域如管理、軍事、醫(yī)學(xué)等的重要研究工具，是決策領(lǐng)域的重要研究內(nèi)容。在已有的研究中，精確值信息形式的決策方法成果積累較多，但隨著信息技術(shù)的高速發(fā)展，決策者的決策環(huán)境日趨復(fù)雜，決策信息更加多樣，其中非精確值信息形式(如模糊信息)的決策問題近年來吸引著眾多學(xué)者的廣泛興趣。1965年Zadeh首次提出模糊集的概念。1978年Dubois和Prade定義了模糊數(shù)作為實數(shù)的模糊子集。

梯形模糊數(shù)近年來應(yīng)用于決策領(lǐng)域中的成果頗多，饒從軍[3]提出了TOWA算子并結(jié)合灰色關(guān)聯(lián)度算法，對梯形模糊數(shù)進(jìn)行了集結(jié)。許葉軍等[4]在決策信息為梯形模糊數(shù)和決策屬性權(quán)重未知的情況下，提出了TFOWA算子，對決策信息進(jìn)行集結(jié)。文獻(xiàn)[5～8]以語言模糊數(shù)為決策信息，對群決策問題進(jìn)行了探討。鐘映竑等[9]基于貝葉斯理論，將廣義梯形模糊數(shù)引入三枝決策粗糙集。

在上述研究基礎(chǔ)上，易平濤等[10]進(jìn)一步考慮數(shù)據(jù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，根據(jù)數(shù)據(jù)分布結(jié)構(gòu)的特征提出了密度中間(DM)集結(jié)算子，并對該算子的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行了分析。密度集結(jié)算子主要通過分組集結(jié)的方式，為已有算子(如AA、WAA、OWA、Min、Max等算子)的融合提供了統(tǒng)一框架[10～12]。文獻(xiàn)[13～15]基于密度算子分別解決了區(qū)間數(shù)、二元語義信息和三角模糊數(shù)形式的決策信息的集結(jié)問題。目前針對廣義梯形模糊數(shù)排序的研究較多，但相應(yīng)的聚類方法研究較少。數(shù)據(jù)聚類及不同聚類組權(quán)重的確定是需要解決的關(guān)鍵問題，本文根據(jù)廣義梯形模糊數(shù)的排序指標(biāo)值進(jìn)行聚類，并定義了廣義梯形模糊數(shù)密度加權(quán)算子(TF-DWA)。具體研究了密度加權(quán)向量的確定方法，密度加權(quán)向量ξ“同性”測度的取值，以及廣義梯形模糊數(shù)密度算子的性質(zhì)分析等問題。

1 相關(guān)概念介紹

1.1 廣義梯形模糊數(shù)及其運算

對于廣義梯形模糊數(shù)，其基本定義[1]如下。

根據(jù)Zadeh提出的擴(kuò)展原理[1]，廣義梯形模糊數(shù)的代數(shù)運算法則如下。

1.2 廣義梯形模糊數(shù)的排序

1988年，學(xué)者Cheng[2]在S.Murakami，S.Maeda和S.Imamura的基礎(chǔ)上首次提出了模糊數(shù)質(zhì)心這一概念，并計算其與坐標(biāo)軸原點的距離，按距離的數(shù)值對模糊數(shù)進(jìn)行大小排序。隨后，多名學(xué)者沿著該思路進(jìn)行了拓展研究。2006年，學(xué)者Y.M.Wang，J.B.Yang，D.L.Xu和K.S.Chin[17]根據(jù)質(zhì)心的幾何特征，對其進(jìn)行定義，提出了模糊數(shù)的質(zhì)心排序指標(biāo)。

令A(yù)=(b,c,d,e;w)為模糊數(shù)，Dubois和Prade定義fA為其連續(xù)隸屬度函數(shù)：

文獻(xiàn)[17]模糊數(shù)A的質(zhì)心為:

(1)

(2)

(3)

(4)

質(zhì)心排序指標(biāo)[16]為：

(5)

設(shè)A1，A2為兩個廣義梯形模糊數(shù)，若D(A1)≥D(A2)，則A1≥A2。

2 廣義梯形模糊數(shù)密度算子

2.1 基本定義

(6)

定義4設(shè)TF-DWGA:Rn→R，若

(7)

將TF-DWA和TF-DWGA算子統(tǒng)稱為廣義梯形模糊數(shù)密度算子，記為TF-DM算子，并將其結(jié)合WAA，OWA，AA，Min，Max等算子構(gòu)建合成算子。以WAA和OWA算子為例，定義5與定義6分別定義了相應(yīng)的密度合成算子。

定義5設(shè)TF-DWAWAA:Rn→R，若

(8)

(9)

則稱TF-DWGAWAA為廣義梯形密度加權(quán)幾何平均算子，也稱為TF-DWGAWAA算子。

定義6TF-DWAOWA:Rn→R,若

(10)

(11)

則稱TF-DWGAOWA算子為廣義梯形密度有序加權(quán)幾何平均算子。

2.2 性質(zhì)分析

證明根據(jù)式(5)知，

3 數(shù)據(jù)聚類及密度權(quán)重求解

3.1 廣義梯形模糊數(shù)的聚類

Step2令計數(shù)器r=0，D′=D。

Step4令D′=D-Cr，若D′=?，則聚類結(jié)束；否則轉(zhuǎn)入Step3。

3.2 密度權(quán)重求解

定義7設(shè)ξ=(ξ1,ξ2,…,ξm)T為密度加權(quán)向量，則

(12)

密度加權(quán)向量可根據(jù)決策者對數(shù)據(jù)信息分布的偏好進(jìn)行設(shè)置，當(dāng)決策者偏好主體信息時，密度加權(quán)向量體現(xiàn)有趨同性；若決策者偏好個體信息時，密度加權(quán)向量體現(xiàn)趨極性；若決策者沒有偏好，密度加權(quán)向量體現(xiàn)趨中性。

定義8[19]ξ=(ξ1,ξ2,…,ξm)T為密度加權(quán)向量，不同聚類組之間的“同性”程度測度為

(13)

聚類組之間“極性”程度的測度為

Te(ξ)=1-Ts(ξ)

(14)

當(dāng)決策者偏好主體共識信息時，Ts(ξ)∈(0.5,1]；當(dāng)決策者偏好少數(shù)人意見時，Ts(ξ)∈[0,0.5)；當(dāng)決策者對于信息沒有特殊偏好時，Ts(ξ)=0.5。

定義9對密度加權(quán)向量ξ=(ξ1,ξ2,…,ξm)T，稱

(15)

為密度加權(quán)向量的熵。

熵值反映了密度加權(quán)向量中各元素的離散程度，熵值越大，元素見的差異越大，彼此的平衡狀態(tài)越好[11]。決策者可以根據(jù)決策信息的分布偏好，給出組間偏好水平值Ts(ξ)(設(shè)為γ)，然后通過如下規(guī)劃模型確定密度加權(quán)向量:

(16)

上述規(guī)劃模型中，通過最大熵值法在密度加權(quán)向量的最大信息量的基礎(chǔ)上，保證組間權(quán)重向量的均衡性。同時決策者可以表達(dá)自身的偏好，使決策結(jié)果更好的服務(wù)于決策者。

4 應(yīng)用算例

隨著市場經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，投資環(huán)境復(fù)雜多變，一家風(fēng)險投資公司就某一項目需要對6個方案進(jìn)行評價，方案O1，方案O2，方案O3，方案O4，方案O5，方案O6，做出投資決策。在進(jìn)行方案優(yōu)選時主要考慮6個屬性，屬性f1，屬性f2，屬性f3，屬性f4，屬性f5，屬性f6。獲取的被評價方案的6個屬性的廣義梯形模糊數(shù)的初始決策信息如表1所示。

表1 廣義梯形模糊數(shù)的決策信息

下面給出TF-DWA算子的計算步驟。

(1)確定廣義梯形模糊數(shù)的質(zhì)心指標(biāo)值

通過式(3)～(5)求出每個被評價對象(行)的每個屬性值(列)的廣義梯形模糊數(shù)的質(zhì)心指標(biāo)值，得到矩陣D：

根據(jù)廣義梯形模糊數(shù)的聚類方法得到每個被評價對象關(guān)于各個指標(biāo)的聚類，將發(fā)展相似的指標(biāo)進(jìn)行聚類，聚類結(jié)果為：

方案O1：F1={f1,f3,f6},F2={f2,f4},F3={f5}；

方案O2：F1={f1,f5,f6},F2={f2},F3={f3,f5}；

方案O3：F1={f1,f5,f6},F2={f2},F3={f3,f5}；

方案O4：F1={f1,f5},F2={f2,f3,f6},F3={f4}；

方案O5：F1={f1,f2,f3},F2={f4,f5},F3={f6}；

方案O6：F1={f1,f2},F2={f3,f4,f5},F3={f6}。

(2)密度加權(quán)向量的確定

決策者事先給出偏好，算例中假設(shè)決策者更加偏好主體信息，設(shè)組間同性偏好程度的值為Ts(ξ)=0.6，由于后兩組的元素個數(shù)相同，所以后兩組的密度加權(quán)向量相等。方案O1至方案O6均聚類為三組，且組內(nèi)的個數(shù)均為3、2、1，因此通過規(guī)劃模型(16)求得組間的密度加權(quán)向量為ξ1=0.4384，ξ2=0.3233，ξ3=0.2383，相應(yīng)的密度影響因子為λ1=1.282，λ2=0.5266，λ2=-1.4615。

(3)決策信息的集結(jié)

算例中以TF-DWAWAA算子為例，依據(jù)廣義梯形模糊數(shù)的計算規(guī)則，得到評價方案Q1,Q2,Q3,Q4,Q5,Q6的集結(jié)結(jié)果，分別為

(0.2293,0.3723,0.4825,0.5877;0.1307)

(0.3715,0.5163,0.6448,0.7863;0.5538)

(0.2884,0.4145,0.5376,0.6446;0.6769)

(0.2548,0.3949,0.5732,0.7090;0.6612)

(0.3289,0.4536,0.5638,0.6639;0.5532)

(0.2521,0.3869,0.5863,0.7111;0.7007)

根據(jù)式(3)～(5)得到質(zhì)心指標(biāo)排序值，分別為0.0224，0.1323，0.1334，0.1364，0.1154，0.1472，排序結(jié)果為O6?O4?O3?O2?O5?O1。

5 結(jié)論

本文面向決策信息為廣義梯形模糊數(shù)，考慮信息分布的疏密程度，提出了廣義梯形模糊數(shù)密度算子(TF-DM)對其進(jìn)行集結(jié)，拓展了密度算子在模糊信息中的應(yīng)用。具體而言，本文基于廣義梯形模糊數(shù)的質(zhì)心排序指標(biāo)值，給出了一種簡單有效的聚類方法。根據(jù)聚類組內(nèi)的規(guī)模確定組內(nèi)元素的權(quán)重，然后依據(jù)聚類組間的差異性，通過規(guī)劃模型求解密度加權(quán)向量。將TF-DM與已知的信息集結(jié)算子(如WAA,OWA)合成，拓展了密度算子的應(yīng)用范圍。