崔春生， 林 健

(1.北京物資學(xué)院 北京市智能物流系統(tǒng)協(xié)同創(chuàng)新中心，北京 101149; 2.福建農(nóng)林大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院，福建 福州 350002)

0 引言

合作博弈是局中人通過(guò)結(jié)盟合作以實(shí)現(xiàn)盡可能大收益的競(jìng)爭(zhēng)模型。大到國(guó)家與國(guó)家、集體與集體，小到人與人之間，都存在在廣泛的競(jìng)爭(zhēng)與合作現(xiàn)象。在潛在競(jìng)爭(zhēng)的環(huán)境中尋求結(jié)盟合作的必要性日益凸顯，合作博弈正是在這樣的背景下日益發(fā)展起來(lái)。合作博弈的研究核心是局中人的收益分配問(wèn)題，即合作博弈的解概念及其求解模型。Shapley[1]從局中人邊際收益的概率加權(quán)期望值角度，提出了合作博弈的Shapley值。自Shapley值提出以來(lái)，在社會(huì)生產(chǎn)、行業(yè)經(jīng)濟(jì)等各個(gè)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[2～4]，已成為迄今為止最重要的合作博弈的解概念。

隨著人類社會(huì)的不斷發(fā)展，信息日益膨脹的同時(shí)其結(jié)構(gòu)也在不斷變遷。由于受知識(shí)結(jié)構(gòu)、社會(huì)背景、所處環(huán)境等因素的制約，聯(lián)盟的收益值經(jīng)常不能準(zhǔn)確獲取，而往往以區(qū)間數(shù)的形式給出。特別是前期合作經(jīng)驗(yàn)較少的聯(lián)盟，此類聯(lián)盟的收益信息很難預(yù)先準(zhǔn)確評(píng)估，從而只能通過(guò)估算其收益的可能取值范圍，來(lái)給出合作博弈的區(qū)間聯(lián)盟值。基于上述背景及實(shí)踐的需要，學(xué)者們已針對(duì)具有區(qū)間收益值的合作博弈問(wèn)題展開(kāi)研究，并提出了一系列有效的解概念。于曉輝等[5]通過(guò)拓展經(jīng)典合作博弈的代數(shù)公理體系，將具有區(qū)間支付的合作博弈應(yīng)用于供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)利益分配。譚春橋等[6]基于解概念的嚴(yán)格公理體系，探討了區(qū)間合作博弈的理論框架，并研究了區(qū)間Shapley值的存在唯一性。Alparslan-Goek[7]等通過(guò)定義具有區(qū)間支付合作博弈的相關(guān)概念，構(gòu)建了在有效性、可加性、啞元性等框架下的唯一Shapley值公式。Han[8]等基于區(qū)間摩爾差運(yùn)算和完全序，給出了一類新穎的合作博弈的區(qū)間Shapley值，探討了該解存在的必要條件。通過(guò)引入系列類Shapley值的概念，進(jìn)一步對(duì)相關(guān)結(jié)論進(jìn)行了有效拓展。于曉輝[9]等結(jié)合區(qū)間數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，提出了具有唯一表達(dá)形式的區(qū)間合作博弈的區(qū)間Shapley值。

在合作博弈的應(yīng)用過(guò)程中，由于合作博弈潛在的對(duì)抗性以及收益信息獲取的復(fù)雜性，經(jīng)常出現(xiàn)部分聯(lián)盟的收益值無(wú)法獲取的情形。針對(duì)這類信息殘缺的合作博弈問(wèn)題，Letscher[10]給出了具有殘缺聯(lián)盟值的合作博弈框架，分析了該框架下合作博弈的解概念。Housman[11]針對(duì)一類特殊的收益值殘缺合作博弈問(wèn)題，建立了殘缺合作博弈的加權(quán)Shapley值，分析了該加權(quán)Shapley值滿足的優(yōu)良性質(zhì)，驗(yàn)證了該值與傳統(tǒng)Shapley值間的兼容性。Willson[12]在線性性、單調(diào)性、對(duì)稱性等公理下，探討了聯(lián)盟收益值殘缺的合作博弈的一類Shapley值。Masuya等[13]在合作博弈超可加性的基礎(chǔ)上，定義了殘缺合作博弈的上、下完全合作博弈，并定義了相應(yīng)的有效Shapley值計(jì)算方法。林健等[14]通過(guò)定義殘缺合作博弈的一致性，基于正、負(fù)理想分配，提出了一個(gè)滿足存在性與合理性的理想Shapley值公式。Lin等[15]綜合分析了互補(bǔ)聯(lián)盟之間的超出值關(guān)系，并由此定義了殘缺模糊合作博弈的最小二乘雙核仁，分析了該解概念滿足的公理性質(zhì)。

本文首先給出了殘缺區(qū)間合作博弈的基本概念，通過(guò)收益值信息的超可加特征，建立了聯(lián)盟收益值的一致性檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?。其次基于合作博弈的正、?fù)理想分配，構(gòu)造了收益分配與正、負(fù)理想分配之間的距離，并由此提出了殘缺區(qū)間合作博弈的區(qū)間Ideal-Shapley值，分析了該值滿足的合理性與存在性。最后將上述殘缺區(qū)間合作博弈模型應(yīng)用于農(nóng)地污染治理的節(jié)約成本分?jǐn)倖?wèn)題，以突顯本文方法的有效性與優(yōu)越性。

1 區(qū)間合作博弈的基本概念

設(shè)全體局中人的集合N={1,2,…,n}，N的冪集記為P(N)。?S∈P(N)，S稱為N上的一個(gè)聯(lián)盟。記R+={x|x≥0}，?a,b∈R+，若a≤b，則稱[a,b]為一個(gè)非負(fù)區(qū)間數(shù)。全體非負(fù)區(qū)間數(shù)的集合記為Ω+。

(1)k·[a1,b1]=[ka1,kb1],k>0；

其中運(yùn)算“-H”稱為區(qū)間數(shù)的廣義Hukuhara差。

定義1.3[5]若對(duì)?S1,S2∈P(N),S1∩S2=?，均有

(1)

v+(S1∪S2)≥v+(S1)+v+(S2)

(2)

v-(S1∪S2)≥v-(S1)+v-(S2)

(3)

超可加性是局中人形成聯(lián)盟合作的基礎(chǔ)，也是聯(lián)盟維持穩(wěn)定性的有效保障。當(dāng)局中人形成合作后，由超可加性知，局中人的整體收益總和增加了。從而，合理分配大聯(lián)盟的收益成為合作博弈研究的一個(gè)核心問(wèn)題。

2 殘缺區(qū)間合作博弈及其一致性擴(kuò)充

由上述定義易知，殘缺區(qū)間合作博弈中空聯(lián)盟、大聯(lián)盟以及單人聯(lián)盟的區(qū)間收益值是已知的，這將是后續(xù)進(jìn)行殘缺區(qū)間收益值擴(kuò)充的基礎(chǔ)。

從模型(M-1)的約束條件易知，?S∈Δ，指標(biāo)集ε(S)不一定是唯一的。

為了獲取殘缺合作博弈中實(shí)數(shù)收益值的上、下可能邊界，Masuya[13]基于超可加性給出了上、下完全合作博弈的定義，巧妙地分析了殘缺合作博弈的潛在收益邊界。通過(guò)對(duì)殘缺實(shí)合作博弈元素?cái)U(kuò)充方法的區(qū)間拓展，可定義殘缺區(qū)間合作博弈的上、下完全合作博弈如下：

3 殘缺區(qū)間合作博弈的區(qū)間Ideal-Shapley值

模型(M-2)的前兩個(gè)約束刻畫(huà)了區(qū)間合作博弈中局中人的個(gè)體理性，第三和第四個(gè)約束反映了大聯(lián)盟的集體理性。第五和第六個(gè)約束條件是區(qū)間Shapley值的具體表達(dá)形式。第七和第八個(gè)約束條件是超可加合作博弈的必要特征，第九和第十個(gè)約束條件是上完全區(qū)間合作博弈和下完全區(qū)間合作博弈對(duì)殘缺元素的擴(kuò)充限制。根據(jù)區(qū)間Shapley值的有效性和合理性，故可略去模型(M-2)的前四個(gè)約束條件。假設(shè)大聯(lián)盟對(duì)正、負(fù)理想偏差無(wú)額外的偏好，為了兼顧正、負(fù)理想偏差在最終分配確定時(shí)的作用，可將多目標(biāo)優(yōu)化模型(M-2)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的單目標(biāo)優(yōu)化模型(M-3)如下：

v+(S1∪S2)≥v+(S1)+v+(S2)

v-(S1∪S2)≥v-(S1)+v-(S2)

S1,S2,S1∪S2∈P(N),S1∩S2=?

|{S1,S2,S1∪S2}∩(P(N)Δ)|>1

單目標(biāo)優(yōu)化模型(M-3)中增加了約束條件|{S1,S2,S1∪S2}∩(P(N)Δ)|，確保了超可加約束中至少出現(xiàn)兩個(gè)未知收益值，有效避免了冗余約束重復(fù)出現(xiàn)的問(wèn)題，可很大程度上降低計(jì)算的復(fù)雜性。

(4)

(5)

5 污染聯(lián)合治理應(yīng)用

設(shè)某城郊農(nóng)地周邊有三家化工廠(局中人1、2、3)，由于化工廢水、廢料等排放不當(dāng)，現(xiàn)已導(dǎo)致工廠周邊的農(nóng)地出現(xiàn)嚴(yán)重的污染。為了維護(hù)農(nóng)地的可耕作性以及人們的食品安全，當(dāng)?shù)卣?zé)令這三家當(dāng)事化工廠繳納相應(yīng)的治污費(fèi)用，在停止排污的同時(shí)對(duì)周邊農(nóng)地進(jìn)行污染聯(lián)合治理。由于當(dāng)?shù)卣畤?yán)格督促，當(dāng)事化工廠也積極配合治污，經(jīng)專家組估算在污染治理結(jié)束后會(huì)比預(yù)期節(jié)約成本12至18萬(wàn)元。由于各化工廠在治污人力、技術(shù)和維護(hù)等方面均存在優(yōu)劣差異，對(duì)節(jié)約成本的再分?jǐn)偡桨敢矐?yīng)兼顧治污各方的公平和效率。由于各化工廠間合作經(jīng)驗(yàn)較少，故各聯(lián)盟的節(jié)約成本值往往難以精確估計(jì)，更常見(jiàn)的是以區(qū)間估值范圍的形式給出，甚至?xí)霈F(xiàn)某些聯(lián)盟的節(jié)約成本值無(wú)法獲取的情形。下面采用區(qū)間Ideal-Shapley值，給出農(nóng)地污染治理的節(jié)約成本分?jǐn)偛呗浴?/p>

化工廠1與其余兩家化工廠有過(guò)頻繁的前期交流合作，故彼此較為熟悉。但化工廠2和化工廠3之前沒(méi)有合作過(guò)，導(dǎo)致聯(lián)盟{(lán)2,3}的節(jié)約成本值難于預(yù)估。已知各聯(lián)盟的節(jié)約成本值分別為：

假設(shè)大聯(lián)盟對(duì)風(fēng)險(xiǎn)保持中立，故可取參數(shù)λ=0.5。從而有

進(jìn)一步，模型(M-3)可建立如下:

6 小結(jié)

隨著社會(huì)生產(chǎn)與行業(yè)經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，人類所處環(huán)境的復(fù)雜不確定性日益凸顯。由于受知識(shí)結(jié)構(gòu)、行業(yè)背景、社會(huì)環(huán)境等因素的制約，聯(lián)盟的收益值往往無(wú)法準(zhǔn)確獲取，甚至有時(shí)會(huì)出現(xiàn)部分收益值完全未知的情形。本文針對(duì)部分收益值殘缺的區(qū)間合作博弈問(wèn)題，通過(guò)考察殘缺區(qū)間收益值的上、下可能邊界，構(gòu)造相應(yīng)的上、下完全區(qū)間合作博弈?；诔杉有则?yàn)證了殘缺區(qū)間合作博弈的一致性。定義了正、負(fù)理想分配，并由此構(gòu)建區(qū)間Ideal-Shapley值的有效求解模型。結(jié)合農(nóng)地污染治理的背景特點(diǎn)，將上述求解模型應(yīng)用于節(jié)約成本的再次分?jǐn)倖?wèn)題，可為相關(guān)部門(mén)的實(shí)踐應(yīng)用提供必要的理論依據(jù)與數(shù)據(jù)支持。