鐘都都，黃 煦,2，賈曉曉，金學(xué)敏

(1.中國人民解放軍96901部隊，北京 100094； 2. 清華大學(xué) 精密儀器系，北京 100084； 3. 中國人民解放軍火箭軍駐北京地區(qū)第七代表室，北京 100039； 4. 中國人民解放軍96669部隊，北京 102208)

0 引言

航天器編隊飛行是空間任務(wù)中的一項關(guān)鍵技術(shù)，可應(yīng)用于對地觀測、在軌服務(wù)、深空探測等任務(wù)[1-3]。不同于傳統(tǒng)單個大型航天器，航天器編隊將以往單個航天器的功能分布在一群近距飛行的小型航天器內(nèi)，因而具有低成本、低風(fēng)險、高可靠性以及任務(wù)靈活性等優(yōu)勢[4-6]。其中，顯著改善的任務(wù)靈活性得益于編隊構(gòu)型的可重構(gòu)性，即編隊內(nèi)的航天器可根據(jù)不同任務(wù)需求通過相對軌道機動的方式改變航天器間的相對位置，從而改變編隊的幾何構(gòu)型[7]。上述過程可定義為編隊重構(gòu)。作為編隊飛行中的關(guān)鍵技術(shù)，編隊重構(gòu)控制成為研究熱點與難點。

現(xiàn)有的編隊重構(gòu)控制方法可分為脈沖控制與連續(xù)推力控制方法。采用脈沖控制方法，VADDI等[8]設(shè)計了圓軌道編隊最優(yōu)重構(gòu)控制方案。ROSCOE等[9]進一步考慮J2攝動，設(shè)計了攝動環(huán)境下圓軌道編隊重構(gòu)最優(yōu)脈沖控制策略。此外，SOBIESIAK等[10]進一步對脈沖時刻進行了優(yōu)化。對于連續(xù)推力控制方法，李靜等[11]采用同倫分析方法和間接優(yōu)化方法推導(dǎo)了連續(xù)小推力作用的燃耗最優(yōu)重構(gòu)控制軌跡。針對類似問題，吳寶林等[12]采用直接優(yōu)化方法求解了最優(yōu)控制軌跡。此外，滑?？刂芠13]、魯棒控制[14]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[15]等方法也被應(yīng)用于連續(xù)推力作用的重構(gòu)控制方案設(shè)計。

然而，上述脈沖或連續(xù)推力控制方法均基于相對軌道動力學(xué)系統(tǒng)為全驅(qū)動控制系統(tǒng)的假設(shè)設(shè)計，即航天器徑向、跡向和法向均存在獨立的控制通道。若某一方向的推力器出現(xiàn)故障，系統(tǒng)成為欠驅(qū)動系統(tǒng)，即系統(tǒng)獨立控制數(shù)目小于系統(tǒng)自由度的系統(tǒng)[16]。此時，上述全驅(qū)動控制方法均不再適用。顯然，針對推力器故障問題，最為直接的解決方法為安裝備份推力器[17]。但考慮到小型編隊航天器的質(zhì)量和成本約束，更為經(jīng)濟有效的方法為設(shè)計欠驅(qū)動控制器。

針對欠驅(qū)動重構(gòu)控制問題，國內(nèi)外學(xué)者已開展了一系列研究，主要包括徑向欠驅(qū)動和跡向欠驅(qū)動兩類控制方法。對于徑向欠驅(qū)動控制方法，LEONARD等[18]基于航天器間的相對大氣阻力近似作用于跡向的假設(shè)，提出了僅采用跡向相對大氣阻力進行編隊構(gòu)型控制的概念。KUMAR等[19]采用線性反饋控制方法設(shè)計了圓軌道徑向欠驅(qū)動編隊重構(gòu)控制器，且VARMA等[20]采用線性滑模控制方法解決了類似問題。對于跡向欠驅(qū)動控制方法，GODARD等[17]分析了跡向欠驅(qū)動條件下的圓軌道編隊重構(gòu)可行性，并基此設(shè)計了線性滑?？刂破鳌ｋS后，黃煦等[21]解析推導(dǎo)了兩類欠驅(qū)動條件下的圓軌道編隊重構(gòu)最優(yōu)解析，并基此設(shè)計了自適應(yīng)控制器。然而，上述控制方案均假設(shè)控制器為連續(xù)推力，故而不適用于脈沖推力的控制方式?？紤]到脈沖推力更易于工程實現(xiàn)，本文將研究脈沖推力作用下的圓軌道徑向或跡向欠驅(qū)動編隊重構(gòu)控制方法。

綜上，與現(xiàn)有成果相比，本文的不同與改進之處在于：1)與全驅(qū)動重構(gòu)控制方法[7-15]相比，本文提出的控制方法可適用于徑向和跡向欠驅(qū)動兩類情況，故而可有效避免由推力器故障引起的重構(gòu)任務(wù)失效；2)與現(xiàn)有全驅(qū)動重構(gòu)控制方案相比，采用本文提出的欠驅(qū)動控制方案可有效減小控制器數(shù)目，進而減輕航天器系統(tǒng)質(zhì)量，降低系統(tǒng)成本，更加符合未來小型化、低成本的編隊航天器的發(fā)展需求；3)與連續(xù)推力作用的欠驅(qū)動控制方法[17-21]相比，本文提出的控制方法采用脈沖推力方式，故而更貼合工程實際，減少操作難度。

1 動力學(xué)建模與分析

1.1 動力學(xué)模型

坐標系定義如圖1所示。由圖可見，主航天器運行于圓軌道，從航天器飛行于主航天器附近，并與其構(gòu)成編隊。OEXIYIZI為地心慣性坐標系，OE為地心。主從航天器相對運動在軌道坐標系OCxyz中描述，其中，OC為主航天器質(zhì)心，x軸沿主航天器地心距矢量RC方向，z軸沿主航天器軌道面法向，y軸與x、z軸構(gòu)成右手笛卡爾直角坐標系。OD為從航天器質(zhì)心，且RD為從航天器地心距矢量。

圖1 坐標系定義Fig.1 Definition of coordinate frames

定義ρ=RD-RC=[xyz]T為主從航天器相對位置矢量，假設(shè)主從航天器相對距離遠小于其地心距，則主從航天器相對運動方程可表述為[22]

(1)

其中

(2)

(3)

(4)

需要指出的是，上述線性化模型僅對近距航天器成立。一般地，對于相對距離在100 km范圍的航天器，由線性化假設(shè)引起的誤差不超過0.03%[23]。本文中討論的航天器編隊范圍在幾千米范圍之內(nèi)，因此，由線性化引起的誤差可忽略不計。

1.2 能控性分析

主從航天器相對運動模型式(1)為線性時不變系統(tǒng)。根據(jù)線性系統(tǒng)理論[24]，系統(tǒng)(A,B1)在徑向欠驅(qū)動條件下仍完全可控。相反，跡向欠驅(qū)動條件下，系統(tǒng)(A,B2)非完全可控，可按能控性結(jié)構(gòu)分解為

(5)

其中

(6)

1.3 可行性分析

2 脈沖控制

如式(1)所示，對于近距圓軌道相對運動，平面內(nèi)與平面外的相對運動狀態(tài)解耦。同時，對于徑向或跡向欠驅(qū)動情況，法向的相對運動與徑向和跡向相對運動獨立，且法向相對運動動力學(xué)系統(tǒng)為全驅(qū)動控制系統(tǒng)。因此，法向脈沖控制可采用常規(guī)全驅(qū)動脈沖控制方法設(shè)計，且對徑向和跡向相對運動無影響?；?，本文僅對平面內(nèi)的欠驅(qū)動脈沖控制方法進行設(shè)計，法向全驅(qū)動控制方法可參考文獻[25]。

2.1 徑向欠驅(qū)動

(7)

式中

(8)

式(7)的解析解為

(9)

式中：t0，tf分別為初始和終端時刻；ti為施加跡向脈沖的時刻。Φ1(τ2,τ1)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，即

(10)

式中：Δτ=τ2-τ1；s=sinnΔτ且c=cosnΔτ。Φ1v=Φ1(:,4)，即Φ1v為矩陣Φ1的第4列。

ΔX1=F1ΔV1

(11)

式(11)為k元一次方程組，其中，ΔX1∈R4，F(xiàn)1∈R4×k且ΔV1∈Rk，R表示實數(shù)域。顯然，當k<4時，方程組無解；當k=4時，若rank(F1)=4，方程組有唯一解，其中rank表示矩陣的秩；當k>4時，方程組有無窮組解。由此可得，一般情況下，實現(xiàn)徑向欠驅(qū)動編隊重構(gòu)脈沖控制的最小次數(shù)為4，并且當4次脈沖的時刻ti確定時，每次脈沖施加的速度增量ΔVyi也隨之確定，即

(12)

2.2 跡向欠驅(qū)動

(13)

式中

(14)

同理可得，式(14)的解析解為

(15)

式中：Φ2v為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φ2(τ2,τ1)的第2列，即Φ2v=Φ2(:,2)；Φ2(τ2,τ1)的表達式為

(16)

ΔX2=F2ΔV2

(17)

同理，式(17)為k元一次方程組，其中ΔX2∈R3，F(xiàn)2∈R3×k且ΔV2∈Rk。顯然，當k<3時，方程組無解；當k=3時，若rank(F2)=3，則方程組有唯一解；當k>3時，則方程組有無窮組解。由此可得，一般情況下，實現(xiàn)跡向欠驅(qū)動編隊重構(gòu)脈沖控制的最小次數(shù)為3，并且當3次脈沖的時刻ti確定時，每次脈沖施加的速度增量ΔVxi也隨之確定，即

(18)

3 數(shù)值仿真及結(jié)果分析

假設(shè)主航天器運行于軌道高度為500 km的圓軌道，初始時刻主從航天器構(gòu)成半徑r=0.5 km的投影圓編隊，其幾何構(gòu)型表達式為[7]

(19)

式中：r為投影圓編隊半徑，且φ0為相位角。本算例中假設(shè)初始編隊構(gòu)型的相位角為0，即φ0=0。

選取待重構(gòu)的構(gòu)型為r=1.0 km且φ0=π/2的投影圓編隊，且終端時刻選定為tf=T，其中T表示主航天器軌道周期。兩類欠驅(qū)動情況下的仿真結(jié)果如下所述。

3.1 徑向欠驅(qū)動

選取的4次脈沖時刻見表1。由式(12)計算得到的脈沖速度增量也總結(jié)于表1?？梢?，實現(xiàn)重構(gòu)所需的脈沖數(shù)量級在10-1至10-2m/s數(shù)量級，所需的總速度增量消耗約為0.76 m/s。對于比沖為3 km/s的軌控發(fā)動機，所耗燃料質(zhì)量約為航天器總質(zhì)量的0.025%，符合工程實際的合理范圍。

表1 脈沖時刻與速度增量(Vx=0)

圖2和圖3分別給出了重構(gòu)過程中的相對位置和相對速度軌跡，且圖4給出了重構(gòu)過程中的相對轉(zhuǎn)移軌道。由圖可見，從航天器從較小的編隊構(gòu)型出發(fā)，經(jīng)過4次脈沖變軌后，進入較大的編隊構(gòu)型，從而實現(xiàn)了編隊重構(gòu)，證明了式(12)的正確性。

圖2 相對位置軌跡(Vx=0)Fig.2 Time histories of relative position (Vx=0)

圖3 相對速度軌跡(Vx=0)Fig.3 Time histories of relative velocity (Vx=0)

圖4 重構(gòu)轉(zhuǎn)移軌道(Vx=0)Fig.4 Transfer trajectory of formation reconfiguration (Vx=0)

3.2 跡向欠驅(qū)動

選定的3次脈沖時刻見表2。對應(yīng)地，由式(18)計算得到的脈沖速度增量也列于表2?？梢?，單次脈沖的速度增量消耗約為10-1m/s數(shù)量級，且總速度增量消耗約為0.83 m/s，在本算例中略多于徑向欠驅(qū)動情況。同理，對于比沖為3 km/s的軌控發(fā)動機，所耗燃料質(zhì)量約為航天器總質(zhì)量的0.028%，符合工程實際的合理范圍。

表2 脈沖時刻與速度增量(Vy=0)

圖5 相對位置軌跡(Vy=0)Fig.5 Time histories of relative position (Vy=0)

同理，圖5和圖6給出了跡向欠驅(qū)動條件下重構(gòu)過程的相對位置和相對速度軌跡。圖7給出了重構(gòu)過程的相對轉(zhuǎn)移軌道，可見，從航天器從較小的編隊出發(fā)，經(jīng)過3次變軌后，到達期望的編隊，實現(xiàn)了編隊重構(gòu)，驗證了式(18)的正確性。

圖6 相對速度軌跡(Vy=0)Fig.6 Time histories of relative velocity (Vy=0)

圖7 重構(gòu)轉(zhuǎn)移軌道(Vy=0)Fig.7 Transfer trajectory of formation reconfiguration (Vy=0)

4 結(jié)束語

本文研究了徑向和跡向欠驅(qū)動條件下的圓軌道編隊重構(gòu)脈沖控制問題?；趦深惽夫?qū)動條件下的相對軌道動力學(xué)模型，開展了系統(tǒng)能控性與重構(gòu)可行性分析，并基此解析推導(dǎo)了實現(xiàn)重構(gòu)所需的最少脈沖次數(shù)以及對應(yīng)的脈沖速度增量。理論分析與仿真結(jié)果表明徑向或跡向欠驅(qū)動條件下，圓軌道編隊重構(gòu)仍可行。通常條件下，徑向欠驅(qū)動時，實現(xiàn)軌道面內(nèi)重構(gòu)所需的最少脈沖次數(shù)為4次；跡向欠驅(qū)動時，實現(xiàn)軌道面內(nèi)重構(gòu)所需的最少脈沖次數(shù)為3次。相較于全驅(qū)動重構(gòu)控制方案，本文提出的欠驅(qū)動控制方案可有效避免由推力器故障引起的重構(gòu)任務(wù)失效。此外，若主動采取欠驅(qū)動控制方案，可有效減少推力器數(shù)目，減輕系統(tǒng)質(zhì)量，降低系統(tǒng)成本，滿足編隊航天器小型化、低成本的發(fā)展需求。當前研究針對二體圓軌道，后續(xù)研究將進一步考慮攝動因素以及橢圓參考軌道，進行欠驅(qū)動編隊重構(gòu)控制設(shè)計，并對脈沖時刻與脈沖速度增量進行優(yōu)化。