(1.北京化工大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，北京 100029; 2.北京化工大學(xué) 軟物質(zhì)科學(xué)與工程高精尖創(chuàng)新中心，北京 100029)

隨著數(shù)字電路功能越來越強大，其對模數(shù)轉(zhuǎn)換器性能的要求也越來越高，傳統(tǒng)的模數(shù)轉(zhuǎn)換器的轉(zhuǎn)換精度一般都不高，不能夠滿足系統(tǒng)高精度要求。Sigma-Delta調(diào)制器是過采樣模數(shù)轉(zhuǎn)換器的一種，屬于高精度高穩(wěn)定性模數(shù)轉(zhuǎn)換器，同時對前端抗混疊濾波器性能要求較低[1-4]。利用過采樣技術(shù)和噪聲整形來增加有效分辨率和消除系統(tǒng)高頻噪聲的Sigma-Delta ADC廣泛運用于數(shù)字音頻、MEMS傳感器、汽車電子、綜合業(yè)務(wù)數(shù)字網(wǎng)等領(lǐng)域[5-8]。Sigma-Delta調(diào)制器是通過過采樣來提高系統(tǒng)的信噪比；通過噪聲整形來降低信號帶內(nèi)的量化噪聲功率[9]。該調(diào)制器的實質(zhì)是利用高速度換取高精度，從而降低實現(xiàn)高精度模數(shù)轉(zhuǎn)換器的復(fù)雜性。

Sigma-Delta調(diào)制器按系統(tǒng)的等效積分器個數(shù)可以分為二階系統(tǒng)和高階系統(tǒng)[10]。二階系統(tǒng)全時穩(wěn)定，且系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單、電路容易實現(xiàn)，系統(tǒng)中僅包含敏感結(jié)構(gòu)和量化器等電路，不包含電學(xué)積分器，但由于階數(shù)較低，限制了Sigma-Delta調(diào)制器的噪聲整形能力，造成系統(tǒng)整體的性能不高。高階Sigma-Delta調(diào)制器在具有低通濾波特性的敏感結(jié)構(gòu)后面級聯(lián)積分器，積分器的個數(shù)越多、階次越高，噪聲整形能力越強，整體性能也就越高，但是高階Sigma-Delta調(diào)制器系統(tǒng)存在穩(wěn)定性差、系統(tǒng)參數(shù)設(shè)計復(fù)雜、系統(tǒng)的動態(tài)范圍較窄的缺點[11]。目前，多采用級聯(lián)結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)能夠保證系統(tǒng)的高穩(wěn)定性，但是產(chǎn)生了新的器件匹配問題，加大了設(shè)計難度。高階一位Sigma-Delta 調(diào)制器能以相對簡單的電路和適中的過采樣頻率得到較高的轉(zhuǎn)換精度和線性度，因此在數(shù)字電路領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。但是高階一位Sigma-Delta 調(diào)制器除了面臨系統(tǒng)穩(wěn)定性問題外，其非線性也增加了系統(tǒng)的設(shè)計和分析難度。

本文將滑?？刂评碚揫12]引入到高階一位Sigma-Delta 調(diào)制器系統(tǒng)中，對調(diào)制器系統(tǒng)的工作原理進(jìn)行重新解釋，消除了一位比較器非線性對系統(tǒng)的影響，從而得到線性高階一位Sigma-Delta調(diào)制器。在此基礎(chǔ)上，采用粒子群優(yōu)化算法對線性高階一位Sigma-Delta調(diào)制器參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，在簡化設(shè)計難度的同時為獲得高信噪比高穩(wěn)定性的Sigma-Delta調(diào)制器提供了可能。下面將對本文所提方法進(jìn)行詳細(xì)討論。

1 高階一位Sigma-Delta調(diào)制器系統(tǒng)非線性分析

1.1 高階一位Sigma-Delta調(diào)制器數(shù)學(xué)模型

所采用的高階一位Sigma-Delta調(diào)制器系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 高階一位Sigma-Delta調(diào)制器系統(tǒng)框圖

圖1中，CMP為一位比較器，W(s)為Sigma-Delta調(diào)制器系統(tǒng)積分器，其表達(dá)式為

(1)

其中，

N(s)=η(sn-1+β1sn-2+β2sn-3+…+βn-1)

(2)

D(s)=sn+α1sn-1+α2sn-2+α3sn-3+…+αn

(3)

式中，n為積分器階次；η為積分器增益，η>0；α1,α2,…,αn為積分器的分母系數(shù)；β1,β2,…,βn-1為積分器的分子系數(shù)。

假設(shè)，式(1)中沒有零極點相消，積分器傳遞函數(shù)W(s)可寫成式(4)所描述的狀態(tài)空間表達(dá)式：

(4)

式(4)對應(yīng)的狀態(tài)空間原理圖如圖2所示。

圖2 高階一位Sigma-Delta調(diào)制器狀態(tài)空間原理圖

圖2中，x為n維向量；A、B、C為系統(tǒng)矩陣,其與積分器傳遞函數(shù)W(s)有如下關(guān)系:

W(s)=C(sI-A)-1B

(5)

1.2 高階一位Sigma-Delta調(diào)制器滑模面設(shè)計

如圖1所示，針對Sigma-Delta調(diào)制器系統(tǒng)，設(shè)計滑模面的思路是在每一個采樣瞬間保證W(s)的輸出趨于零，即一位比較器的輸入趨于零。如果系統(tǒng)的采樣頻率無限大，則滑模趨近率是連續(xù)的，即可以保證e=0，那么W(s)的狀態(tài)x可以一直在滑模面e=Cx=0上運動。然而，系統(tǒng)的采樣頻率不可能無限大，因此不可能保證e=0，所以W(s)的狀態(tài)x不可能在滑模面e=Cx=0上運動。這種情況下，選取滑模區(qū)域|e|<ε，那么W(s)的狀態(tài)x將在滑模區(qū)域|e|<ε上運動。

基于Sigma-Delta調(diào)制器系統(tǒng)，設(shè)計滑模面并且能夠保證系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面上穩(wěn)定，需具備以下兩個條件：

① |u|<1，同時u=(CB)-1CAx+r;

②N(s)為最小相位系統(tǒng)。

只有滿足上述兩個條件，同時滑模面應(yīng)滿足|e|<2ητ，其中η為傳遞函數(shù)W(s)的增益、τ為系統(tǒng)的采樣時間，才能保證Sigma-Delta調(diào)制器系統(tǒng)能夠穩(wěn)定地處于滑模運動。由圖1可得，系統(tǒng)誤差可以表示為

E(s)=W(s)·(R(s)-Y(s))

(6)

式中，Y(s)、R(s)和E(s)分別為y(t)、r(t)和e(t)的拉氏變換。

在系統(tǒng)穩(wěn)定情況下，通過式(6)可得：

Y(s)=R(s)-W-1(s)E(s)

(7)

若式(7)穩(wěn)定且滿足零初始條件，那么對式(7)進(jìn)行拉氏反變換，同時結(jié)合條件①和條件②可得系統(tǒng)輸入需滿足式(8)才能保證系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即

|r(t)|<1-2τ‖G(s)‖1

(8)

式中，‖G(s)‖1表示傳遞函數(shù)G(s)的L1范數(shù)。對式(8)進(jìn)行拉氏反變換，同時結(jié)合穩(wěn)定條件①和條件②可得

(9)

又由式(4)可得：

(10)

通過式(10)可導(dǎo)出y：

(11)

將式(11)代入到式(4)中可得：

(12)

式中，

(13)

由式(13)和條件①可得：

(14)

其中

(15)

對式(14)進(jìn)行拉氏變換可得：

U(s)=R(s)+η-1G(s)E(s)

(16)

式中，

(17)

通過式(17)可以推導(dǎo)出：

‖u‖∞≤‖r‖∞+η-1‖G(s)‖1‖e‖∞

(18)

又由式(18)可得：

|r∞+η-1|G(s)1|e∞≤1

(19)

因為|e|<2ητ，所以有

‖r‖∞≤1-2τ|G(s)1

(20)

不等式(20)給出了系統(tǒng)輸入的穩(wěn)定范圍，若W(s)=η/s，那么G(s)為零，則通過式(20)可得，不管采樣頻率多大，都不會影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這里可以為G(∞)選取最大輸入幅值‖r‖∞，因為G(∞)≈β1-α1，那么

‖r‖∞≈1-2(β1-α1)τ

(21)

式(21)可以為積分器參數(shù)的設(shè)計提供選取規(guī)則，即當(dāng)Sigma-Delta調(diào)制器輸入和采樣時間確定的情況下,若積分器系數(shù)滿足式(21)可以保證積分器的輸出(一位比較器的輸入趨于零)，從而消除一位比較器非線性對整個系統(tǒng)的影響。

2 高階一位Sigma-Delta調(diào)制器參數(shù)優(yōu)化

2.1 五階積分器W(s)傳遞函數(shù)

采用五階一位Sigma-Delta調(diào)制器為研究對象，即W(s)的表達(dá)式為

(22)

選取Sigma-Delta調(diào)制器的最大輸入為0.1g(g=9.8 N/s2)，采樣頻率為128 kHz，代入到式(21)中可以得到:

β1-α1=1280

(23)

將式(23)代入到式(22)得：

(24)

下面將對積分器W(s)系數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，即對式(24)中系數(shù)采用粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行優(yōu)化整定。

2.2 粒子群優(yōu)化算法

Kennedy和Eberhart于1995年基于對鳥群運行模式的簡化研究及行為模擬開發(fā)了一種優(yōu)化算法——粒子群優(yōu)化算法[13](Particle Swarm Optimization，PSO)。設(shè)在一個D維的搜索空間里存在n個粒子，這時每個粒子代表以一定速度飛行的一只鳥。對于要求解的優(yōu)化問題，此時的一個粒子就是一個潛在的解。每個粒子都具備以下信息：目前為止自己發(fā)現(xiàn)的最優(yōu)位置(pbest)，并以pbest作為自身飛行的經(jīng)驗、到目前為止整個群體所找到的最優(yōu)位置(gbest)，該值為pbest中的最優(yōu)值。在整個尋優(yōu)過程中，每個粒子的適應(yīng)度取決于所采用的優(yōu)化函數(shù)的值。粒子群優(yōu)化算法是一種迭代優(yōu)化算法，即每個粒子通過若干次迭代搜索，最終找到最優(yōu)解。在每次的迭代過程中，微粒通過追蹤pbest與gbest的位置來更新自己。粒子群優(yōu)化算法在尋優(yōu)過程中，運用以下公式來更新自身的速度與位置：

vk+1=ωvk+r1(pbestk-vk)+r2(gbestk-vk)

(25)

xk+1=xk+vk+1

(26)

式中，vk為粒子的當(dāng)前速度;xk為粒子的當(dāng)前位置；ω為慣性權(quán)重；r1,r2稱為加速常數(shù)，分別用來表示pbestk、gbestk對每個粒子的影響強度，一般r1,r2∈[0,2]。

2.3 積分器W(s)參數(shù)優(yōu)化過程

積分器W(s)參數(shù)優(yōu)化過程如下。

(1) 初始化粒子群參數(shù)。待優(yōu)化參數(shù)為α5,α4,α3,α2,α1,β4,β3,β2,η，則可將粒子群優(yōu)化算法的位置矢量選取為xi=[α5,α4,α3,α2,α1,β4,β3,β2,η]，同時選定粒子個數(shù)為1000，最大迭代次數(shù)取100，ω=0.9,c1=c2=2。

② 目標(biāo)函數(shù)選定。在Sigma-Delta調(diào)制器系統(tǒng)中，信噪比(SNR)是驗證系統(tǒng)性能的主要參數(shù)，若調(diào)制器信噪比低，則Sigma-Delta調(diào)制器的精度、分辨率以及抗干擾能力就很難滿足實際應(yīng)用要求。因此，選取SNR為粒子群優(yōu)化算法的目標(biāo)函數(shù)，通過優(yōu)化積分器傳遞函數(shù)W(s)參數(shù)，在優(yōu)化空間內(nèi)求取最大SNR。SNR的計算通過Sigma-Delta調(diào)制器輸出的功率譜密度(PSD)求取，在每一次優(yōu)化迭代過程中將優(yōu)化參數(shù)代入到所搭建的Sigma-Delta調(diào)制器Simulink系統(tǒng)模型中(如圖3所示)，通過Matlab工具箱中calcSNR函數(shù)計算信噪比。

③ 利用式(25)、式(26)更新粒子的速度與位置，對當(dāng)前粒子進(jìn)行性能評價，同時更新pbest、gbest。

④ 若滿足尋優(yōu)終止條件，則停止迭代，否則返回步驟③。

圖3給出了所搭建的對應(yīng)于圖1的Sigma-Delta調(diào)制器的Simulink仿真圖。

圖3 Sigma-Delta調(diào)制器Simulink模型

按照上述介紹的參數(shù)優(yōu)化流程編寫Matlab程序，本文程序中采樣頻率設(shè)定為128 kHz，過采樣倍數(shù)為OSR=64。Simulink模型中，輸入信號選用頻率為45 Hz，幅值為0.1g(g=9.8 N/s2)的正弦波，運行程序?qū)⒚看蝺?yōu)化參數(shù)xi=[α5,α4,α3,α2,α1,β4,β3,β2,η]代入到Simulink模型中，同時通過calcSNR求取目標(biāo)函數(shù)。通過100次搜索結(jié)果可得所構(gòu)造的分?jǐn)?shù)階Sigma-Delta調(diào)制器所取得的信噪比在97～126 dB之間，同時在混沌粒子群尋優(yōu)100次過程中得到的最高信噪比為SNR=125.239 dB，對應(yīng)的優(yōu)化參數(shù)為α5,α4,α3,α2,α1,β4,β3,β2,η如表1所示。

表1 參數(shù)優(yōu)化結(jié)果

將表1中的優(yōu)化參數(shù)代入到Simulink模型(如圖3所示)中，得到分?jǐn)?shù)階Sigma-Delta調(diào)制器的功率譜密度(PSD)如圖4所示。

圖4 Sigma-Delta調(diào)制器的噪聲能量譜密度示意圖

在圖4中，有效信號主要集中在低頻段(5～250 Hz)，而噪聲主要集中分布在高頻段(500 Hz以上)。由圖4可得在在5～150 Hz范圍內(nèi)，其輸出噪聲基底約為-170 dB、信噪比為125.239 dB，因此，可以說所優(yōu)化的Sigma-Delta調(diào)制器具有很好的低頻噪聲抑制能力。將表1中的優(yōu)化參數(shù)代入到圖1,繪制出Sigma-Delta調(diào)制器閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡如圖5所示。

圖5 分?jǐn)?shù)階Sigma-Delta調(diào)制器閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡

從圖5中可得，在基于滑?？刂评碚撍O(shè)計的Sigma-Delta調(diào)制器系統(tǒng)是絕對穩(wěn)定的，其閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有根都位于復(fù)平面s域的左半平面。

3 結(jié)束語

基于滑?？刂评碚撏茖?dǎo)出了積分器參數(shù)與采樣時間以及Sigma-Delta調(diào)制器輸入的關(guān)系，當(dāng)積分器參數(shù)滿足所推導(dǎo)關(guān)系時，能夠消除調(diào)制器非線性環(huán)節(jié)對系統(tǒng)的影響，從而為分析系統(tǒng)提供方便。并采用粒子群優(yōu)化算法設(shè)計積分器參數(shù)，簡化了傳統(tǒng)Sigma-Delta調(diào)制器參數(shù)設(shè)計的難度，通過優(yōu)化得到了一組參數(shù)，其對應(yīng)的信噪比為125.239 dB。由于系統(tǒng)中不存在非線性影響，因此可以采用根軌跡來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。通過根軌跡可以得知，所設(shè)計的五階一位Sigma-Delta調(diào)制器系統(tǒng)是穩(wěn)定的。