藍 海， 徐 寶

(吉林師范大學 數(shù)學學院， 吉林 四平 136000)

0 引言

反向帕累托分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為

f(x;θ,α)=αθ-αxα-1,00,

F(x;θ,α)=θ-αxα,00,

其中α為形狀參數(shù),θ為位置參數(shù)，簡記為RP(θ,α).目前關于反向帕累托分布的理論研究相對較少,實際應用偏多，如：文獻[1]在研究帕累托種群時使用了反向帕累托分布；文獻[2]首次提出將反向帕累托分布應用于城市人口分布的研究中；文獻[3]使用RP(θ,α)分布擬合我國居民收入；文獻[4]將RP(θ,α)分布與其它分布進行組合得到了形式更為靈活的組合分布模型.理論研究的僅有文獻[5]反向帕累托分布參數(shù)估計及應用.

但文獻[5]并沒有討論RP(θ,α)分布形狀參數(shù)的E-Bayes估計，E-Bayes估計最早由文獻[6]提出，目前該方法已經(jīng)具有充分的發(fā)展，如：文獻[7]使用E-Bayes估計研究超參數(shù)選擇對先驗的影響；文獻[8]給出了逆威布爾分布參數(shù)E-Bayes估計的新公式；文獻[9]認為Ⅱ型截尾數(shù)據(jù)下雙參數(shù)浴缸型壽命分布參數(shù)的E-Bayes估計優(yōu)于Bayes估計；文獻[10]發(fā)現(xiàn)參數(shù)的E-Bayes估計更便于計算與應用；文獻[11]運用E-Bayes估計得到了失效概率pi的點估計.因此本文將在不同先驗信息下，使用加權p,q對稱熵損失函數(shù)

(1)

在位置參數(shù)θ給定時,研究反向帕累托分布形狀參數(shù)α的Bayes估計以及E-Bayes估計，并通過使用MCMC算法進行仿真模擬比較估計之間的性能，進而鞏固反向帕累托分布的理論研究.

1 形狀參數(shù)的Bayes估計

使用Bayes分析往往需要利用先驗信息，當先驗信息只有極少甚至沒有先驗信息時可以使用共軛先驗以及Jeffreys無信息先驗，因此本節(jié)分別在共軛先驗與Jeffreys無信息先驗下，使用損失函數(shù)(1)得出當位置參數(shù)θ已知時，RP(θ,α)分布形狀參數(shù)α的Bayes估計的表達式.

定理1.1設X1,X2,…,Xn為來自RP(θ,α)分布的一組樣本,記X=(X1,X2,…,Xn),在損失函數(shù)(1)下,對于任意的先驗分布,形狀參數(shù)α的Bayes估計為

證明任意選取一個參數(shù)α的估計量δ(X),在損失函數(shù)(1)下,δ(X)的Bayes風險為

推論1.1若RP(θ,α)分布的形狀參數(shù)α的先驗分布為Γ(β,γ),其中參數(shù)β、γ均為定值,則在損失函數(shù)(1)下，形狀參數(shù)α的Bayes估計為

δB(X)=

證明由于形狀參數(shù)α的先驗分布為Γ(β,γ),于是有

又因為RP(θ,α)分布的密度函數(shù)為f(x;θ,α)=αθ-αxα-1;00,所以X1,X2,…,Xn的聯(lián)合密度函數(shù)為

因此形狀參數(shù)α的后驗密度為

同理可得

由定理1.1易知,α的Bayes估計為

同理可得

E(α-q|X)=

由定理1.1易知,α的Bayes估計為

2 形狀參數(shù)的E-Bayes估計

使用共軛先驗推導Bayes估計時，出現(xiàn)了兩個新的參數(shù)β、γ,為了簡化計算在上一節(jié)中人為地將這兩個參數(shù)設為已知量，這種方法可能會影響估計的仿真性，因此本節(jié)結合文獻[12]給出了形狀參數(shù)α的E-Bayes估計進而降低新參數(shù)對估計仿真性的影響.

定理2.1RP(θ,α)分布中的形狀參數(shù)α在損失函數(shù)(1)下的E-Bayes估計為

δEB(X)=

證明由推論1.1可知參數(shù)α在損失函數(shù)(1)下的Bayes估計為

δB(X)=

δEB(X)=

3 隨機模擬

由于所得的估計中含有常數(shù)p,q,c,為了更好地比較估計之間的性能，首先通過取Be(1,1)為提議分布，分別在θ=1以及α=(0.05,0.2,1.5,4)下運用R軟件進行MCMC模擬，通過1000次的迭代其中Markov鏈如圖1所示.

圖1 θ=1時α=(0.05,0.2,1.5,4)的迭代圖

由圖1可以發(fā)現(xiàn)，當α=1.5時迭代效果較好.接下來為了使結果更具有一般性，在α=1.5的條件下選取θ=(5,10,100,1000)進行MCMC模擬，結果如圖2所示.

圖2 α=1.5時θ=(5,10,100,1000)的迭代圖

由圖2可以發(fā)現(xiàn)，參數(shù)θ對模擬結果影響較小，因此為了便于后續(xù)計算，選取θ=1并從該鏈生成的數(shù)據(jù)中截取第501到第600之間的數(shù)據(jù)作為容量n=100的樣本，其次分別在p≠q與p=q以及β=0.5,γ=1條件下根據(jù)所得樣本進行數(shù)值模擬，模擬結果如表1至表3所示，表中結果均為模擬結果的平均值，其中Bayes表示形狀參數(shù)α的貝葉斯估計，MSE表示估計的均方誤差，Abs表示偏差的絕對值.

表1 共軛先驗下形狀參數(shù)Bayes估計的模擬結果(θ=1,α=1.5,q=1,p>q)

表2 共軛先驗下形狀參數(shù)Bayes估計的模擬結果(θ=1,α=1.5,p=1,p

表3 共軛先驗下形狀參數(shù)Bayes估計的模擬結果(θ=1,α=1.5,p=q)

由表1至表3可以得出：

(1)當參數(shù)p大于q時，隨著p,q之間的值相差越來越大，形狀參數(shù)α的Bayes估計和均方誤差以及偏差的絕對值都有遞增的趨勢.當p小于q時，隨著p,q之間的值相差越來越大，形狀參數(shù)α的Bayes估計和均方誤差以及偏差的絕對值都有遞減的趨勢，但是當p,q之間的值差達到某一峰值時，Bayes估計、MSE、Abs開始遞增.

(2)當參數(shù)p,q相等時，隨著p,q的改變，形狀參數(shù)α的Bayes估計的均分誤差和偏差的絕對值波動較小相對穩(wěn)定，因此在使用加權p,q對稱熵損失函數(shù)對反向帕累托分布形狀參數(shù)α進行更深入的研究與探討時，若要求精度較高，對于參數(shù)p,q的選取應適當將q的值稍大于p的值，但是若不要求精度，可以將參數(shù)p,q取為相等的數(shù)，可以使得到的結果相對穩(wěn)定.

最后根據(jù)上述結論，為了得到波動較少的穩(wěn)定值，接下來在p=q=1以及c=(0.5,4,5,7,50)的條件下對E-Bayes估計進行仿真模擬.模擬結果如表4所示，其中EB表示形狀參數(shù)α的E-Bayes估計

表4 形狀參數(shù)E-Bayes估計的模擬結果(n=100,α=1.5,p=q=1,θ=1)

由表4可以發(fā)現(xiàn)c=(4,5,7)的穩(wěn)健性較好，因此居中選取c=5時的結果與不同先驗下Bayes估計的仿真結果進行比較，比較結果如表5所示.

表5 形狀參數(shù)估計的模擬結果(n=100,α=1.5,p=q=1,θ=1,c=5)

由表5可以得出下述結論：

(1)E-Bayes估計和MSE以及Abs的值相比Bayes估計具有較好的仿真性，因此可以得出E-Bayes估計能夠有效地降低先驗信息中所含新參數(shù)對結果的影響.

(2)在共軛先驗與Jeffreys無信息先驗下的估計都與真值相差較小，從而進一步驗證了無信息先驗對Bayes分析的影響較小是可以接受的.

4 結束語

針對反向帕累托分布的參數(shù)估計體系還不夠豐富，以及E-Bayes估計的廣泛使用，本文通過Bayes分析，探討了反向帕累托分布的形狀參數(shù)α在不同先驗信息下，使用加權p,q對稱熵損失函數(shù)分別得到了相應的Bayes估計，通過并結合相關定義以及文獻，給出了反向帕累托分布的形狀參數(shù)α的E-Bayes估計.最后運用R軟件使用MCMC算法進行仿真模擬，通過模擬結果驗證了無信息先驗是可以接受的以及E-Bayes估計的仿真性優(yōu)于Bayes估計，從而完善了反向帕累托分布的參數(shù)估計體系.