曹 宏，張善賢

1.蘇州工業(yè)園區(qū)教師發(fā)展中心，江蘇 蘇州 215021

2.蘇州市吳中區(qū)教研室，江蘇 蘇州 215121

1 問題的緣起

在考查簡(jiǎn)單串聯(lián)電路中電功率問題的初中物理試卷中，經(jīng)常會(huì)涉及到這樣一類問題：當(dāng)用電器在電壓發(fā)生變化時(shí)，比較電功率的變化量△P與其電壓變化量△U、電流變化量△I的乘積△U·△I的大小關(guān)系。例如，2018年河北省中考物理試卷第15題，此題中C選項(xiàng)就是對(duì)簡(jiǎn)單串聯(lián)電路中定值電阻△U·△I與△P的大小進(jìn)行比較的問題。

試題如圖1所示，電源電壓不變，a、b、c為電流表或電壓表，只閉合S1時(shí)，a表無示數(shù)，b表有示數(shù)。S1、S2都閉合時(shí)，滑片P向右滑動(dòng)，c表的示數(shù)不變，下列判斷正確的是（ ）

圖1 試題示意圖

A．a(chǎn)表是電壓表

B．先閉合S1，再閉合S2，電路中的總電流變大

C．只閉合S1，P向右移動(dòng)，R2兩端的電壓變化量與電流變化量的乘積大于其電功率的變化量

D．開關(guān)均閉合，電路的總功率為P1，若將c表換成另一種電表，再閉合S1、S2，電路的總功率為 P2，則 P2>P1

剖析本題中C選項(xiàng)的電路特點(diǎn)，可以歸結(jié)為如圖2所示的基本電路模型。圖2中R1為定值電阻，R2為滑動(dòng)變阻器，閉合S，滑片P右移至某位置時(shí)，記錄兩表的示數(shù)分別為U1、I1，繼續(xù)將P右移到另一位置時(shí)，兩表示數(shù)增至U2、I2。

圖2 基本電路模型

易得△U=U2-U1，△I=I2-I1

定值電阻R的電功率增量

顯然，△P>△U·△I，即定值電阻電功率的增量△P大于其兩端電壓的增量△U跟通過電流的增量△I的乘積。

對(duì)上述推導(dǎo)過程，也可沿以下思路展開：

上式不能直接看出△P>△U·△I，但經(jīng)過換算后也應(yīng)該能得到結(jié)論。

在解決簡(jiǎn)單電路有關(guān)電流、電壓、電阻、電功率等各物理量的問題時(shí)，用電器的電流I與電壓U的關(guān)系圖像（I-U圖像）是一個(gè)重要的工具，它具有信息量豐富、直觀方便的特點(diǎn)[1]。為此，本文擬采用I-U圖像為研究工具，深度探究在簡(jiǎn)單串聯(lián)電路中定值電阻、可變電阻、總電路的△U·△I與△P具有怎樣的關(guān)系，為初中物理教學(xué)提供參考。

2 用I-U圖像研究△U·△I和△P的關(guān)系

2.1 定值電阻的△U·△I和△P的關(guān)系

1．圖像對(duì)關(guān)系式的驗(yàn)證

圖3是圖2所示電路中定值電阻R1的I-U圖像。當(dāng)電壓從U1增至U2時(shí)，對(duì)應(yīng)的電流由I1增至I2，電功率增量△P就是圖中矩形OU2O3I2的面積與矩形OU1O1I1的面積之差，即圖中陰影部分的面積S（以下簡(jiǎn)稱“7”形面積）。而△U·△I的值就是圖中O1O2O3O4部分所圍成的面積S1。顯然S>S1，說明了由公式推導(dǎo)出的△P>△U·△I結(jié)論的正確性。

圖3 基本電路I-U圖中“7”形面積

在圖3中，“7”形面積由三塊組成，除 S1以外，另兩塊為矩形I2O4O1I1部分的面積S2，矩形U1U2O2O1部分的面積S3，從圖上可以看出S2=△I·U1，S3=△U·I1，S=S1+S2+S3，與（1）式中△P=△U·I1+△I·U1+△U·△I相對(duì)應(yīng)。

在圖3中，也可以將“7”形面積S表示為S=（S2+S1）+（S3+S1）-S1，從圖上可以看出：S2+S1=△I·U2，S3+S1=△U·I2，所以有 S=△U·I2+△I·U2-△U·△I，也即與（2）式相對(duì)應(yīng)。

因?yàn)镾>S1，所以從（2）式同樣應(yīng)能得出△P>△U·△I的結(jié)論。

2．通過圖像拼接實(shí)現(xiàn)對(duì)關(guān)系式的拓展

（1）從圖 3可以將“7”形面積 S表示為 S=（S2+S1）+S3，據(jù)此可寫出對(duì)應(yīng)的關(guān)系式：

“7”形面積 S 還可以表示為 S=S2+（S1+S3），對(duì)應(yīng)關(guān)系式

（2）△P的其他變形式

①由 S=S1+S2+S3，及 S2=S3，可得 S=S1+2S2，再由圖 3 可知：S2+S1=△I·U2，

S2=△I·U1，這樣有

②由 S=S1+S2+S3，及 S2=S3，可得 S=S1+2S3，再由圖 3 可知：S1+S3=△U·I2，

同樣方法，利用（8）式以及△I=I2-I1又可以得到△P的另兩種變形公式，分別為

3．幾點(diǎn)結(jié)論

結(jié)論1：△P的10個(gè)表達(dá)式都表明了對(duì)于定值電阻而言，僅憑電壓變化量△U和電流變化量△I，不能確定其電功率的變化量△P，但可以確定△U·△I一定小于△P。

結(jié)論2：△P的10個(gè)表達(dá)式都表明要計(jì)算定值電阻消耗電功率的變化率，除了△U和△I以外，還需要知道 U1、U2、I1、I2四個(gè)量中的一個(gè)，只要運(yùn)用△P=U2I2-U1I1，或者中的任何一式，結(jié)合均可以導(dǎo)出這10個(gè)表達(dá)式。這10個(gè)表達(dá)式都可以借助于定值電阻的I-U圖像中的“7”形面積的不同組合導(dǎo)出。

結(jié)論3：10個(gè)表達(dá)式均可以相互串聯(lián)變形溝通，其中最典型的是（1）（5）（8）式，（1）式直接對(duì)應(yīng)圖 3 的 I-U 圖像“7”形中的 S1、S2、S3，（5）（8）二式結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)明。

結(jié)論4：在電壓增量△U（或電流增量△I）相同的情況下，△P的10個(gè)表達(dá)式都表明定值電阻電功率的增量△P都隨電壓的初始值U1的增大而同步線性增加。關(guān)于這一點(diǎn)也可以用圖4所示的定值電阻的I-U圖像加以說明。圖中電壓U3＞U2，I3＞I1，外側(cè)的“7”形面積大于內(nèi)側(cè)的，兩種情況下△U和△I的乘積所對(duì)應(yīng)的矩形面積相等。

圖4 定值電阻的I-U圖

2.2 可變電阻的△U·△I和△P的關(guān)系

簡(jiǎn)單電路中的可變電阻常見的有滑動(dòng)變阻器和小燈泡。

1．滑動(dòng)變阻器的△U·△I和△P[2]的關(guān)系

在如圖5所示電路中，電源電壓為U0，定值電阻阻值為R1，滑動(dòng)變阻器的最大阻值為R2。當(dāng)滑動(dòng)變阻器的滑片P右移時(shí)，其電壓值降低，通過的電流增大，比較滑動(dòng)變阻器△P與△U·△I的大小時(shí)，電壓的變化量取其絕對(duì)值|△U|。為便于比較，同時(shí)作出定值電阻和滑動(dòng)變阻器的I-U圖像。根據(jù)滑動(dòng)變阻器的最大阻值R2和定值電阻 R1的大小關(guān)系，分別作出 R2＞R1、R2=R1、R2＜R1三種情況下的I-U圖像（如圖6）。

圖5 含變阻器的電路

由于圖6（a）能全面反映滑動(dòng)變阻器電壓變化導(dǎo)致電功率的變化情況，所以下面就以它為基準(zhǔn)，全面分析|△U|·△I和△P的關(guān)系。

（1）圖 6（a）的四個(gè)特殊坐標(biāo)點(diǎn)

O1（U0，Im）點(diǎn)：當(dāng)滑動(dòng)變阻器的滑片移動(dòng)至最右端使阻值為零時(shí)，定值電阻R1的電壓為U0，電路中的電流為Im=U0/R1，此時(shí)滑動(dòng)變阻器的電壓和電功率均為零。O2（U0/2，Im/2）點(diǎn)：滑動(dòng)變阻器的阻值恰好等于R1時(shí)，變阻器和定值電阻R1兩端的電壓均為U0/2，電路中的電流為U0/2R1，O2點(diǎn)就是滑動(dòng)變阻器和定值電阻兩者的I-U圖線的交點(diǎn)。可論證得該點(diǎn)處滑動(dòng)變阻器的電功率為其最大值Pm，且

O3（U1，I1）點(diǎn)和 O4（U1'，I1）點(diǎn)：當(dāng)滑動(dòng)變阻器的滑片移動(dòng)到最左端時(shí)，其阻值為最大值R2，此時(shí)變阻器兩端的電壓為，定值電阻兩端的電壓，電流均為顯然U1+U1'=U0。根據(jù)這四個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)，就能作出滑動(dòng)變阻器和定值電阻的I-U圖像。

圖6 不同電阻的I-U圖

（2）用I-U圖像顯示△P[3]

假定開始時(shí)滑片處于最大阻值的位置，閉合開關(guān)后，記錄滑動(dòng)變阻器兩端電壓U1，通過的電流I1，而后移動(dòng)滑片至阻值小于R1的某一位置，再記錄它的電壓及電流U1'、I2，如圖7所示。

圖7 變化電阻的I-U圖

滑動(dòng)變阻器的電功率增量△P就是圖7中矩形O5U1'OI2的面積S2減去O3U1OI1的面積S3，而|△U|·△I就是矩形O3O4O5O6的面積S1，由于無法比較面積S3與S2的大小，所以表明無法判斷△P的正負(fù)情況，也即無法比較△P與|△U|·△I的大小情況，這一點(diǎn)是滑動(dòng)變阻器與定值電阻的不同之處。

但是，可以分段討論滑動(dòng)變阻器電功率的變化情況。

第1階段，滑動(dòng)變阻器由阻值最大位置R2開始，逐漸滑至阻值為R1的位置，由圖8中的面積變化可以看出滑動(dòng)變阻器的電功率增大，其增加的電功率△P即為矩形所圍面積減去矩形O3U1OI1所圍面積，由于矩形O5'O4I1Im與矩形的面積相等，所以△P即為矩形O2O4'O4O'5所圍成的面積，也即△P=|△U·|△I。

圖8 分段討論電功率變化

第2階段，滑動(dòng)變阻器由阻值為R1的位置，逐漸向小于R1的某一位置滑動(dòng)后，設(shè)電流恰好為I1，電壓為U1'，由圖8中的面積變化可以看出滑動(dòng)變阻器的電功率增小，其減小的電功率△P即為矩形所圍面積減去矩形OU'OI所512圍面積，又由于矩形O5U'1OI2所圍面積與矩形O3U1OI1所圍面積相等，等同第1階段，同樣可以得到△P=|△U|·△I。

綜合考慮，滑動(dòng)變阻器的阻值由最大阻值位置滑至零阻值位置的過程中，滑動(dòng)變阻器的電功率先增大到最大功率，再逐漸下降為零，其變化的拐點(diǎn)發(fā)生在阻值恰好為R1的位置。

圖6（b）和圖6（c）所對(duì)應(yīng)的滑動(dòng)變阻器電功率的變化，只存在一種情況，即當(dāng)它的阻值由較大位置向較小位置變化時(shí)，電功率減小，△P為負(fù)值，借助于圖8和第2階段過程中的結(jié)論，可推證到減小量|△P|>|△U|·△I。

2.小燈泡的△U·△I和△P的關(guān)系

探究電路圖如圖9所示，小燈泡的I-U圖像如圖10所示。下面通過圖像進(jìn)行分析。

圖9 探究電路圖

圖10 探究電路I-U圖

不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于△U·△I和△P，小燈泡與定值電阻在如下幾個(gè)方面存在著異同：

相同點(diǎn)：小燈泡的電功率與定值電阻的電功率一樣，隨著其兩端電壓的增加而增大，且電功率的增量△P大于電壓增量和電流增量的乘積，即△P>△U·△I。在圖10所示的小燈泡的I-U圖像中，小燈泡電功率的增量也如“7”形面積所示。其面積：

S=S1+S2+S3=△U·△I+△I·U1+△U·I1

不同處：

（1）因?yàn)樾襞莸臒艚z電阻隨溫度升高而增大，所以它的I-U圖像如圖10所示的曲線。

（2）隨著電壓增大，即使△U的數(shù)值相同，但△I的數(shù)值不同，且逐漸減小，所以△U·△I的值也逐漸減小，在I-U圖像中對(duì)應(yīng)的矩形面積S1減小。

△P=△U·I2+△I·U2-△U·△I

△P=△U·I1+△I·U2

△P=△U·I2+△I·U1

（4）因?yàn)樾襞萃ㄟ^的電流跟其兩端電壓的函數(shù)關(guān)系不明，所以圖10所示的I-U圖像只是根據(jù)I和U的數(shù)據(jù)描點(diǎn)而成，這樣就導(dǎo)致小燈泡電功率的增量△P跟電壓初始值的關(guān)系 （在△U相同的前提下）不明確，只能依據(jù)I-U圖像粗略地估計(jì)為△P的數(shù)值先增大后減小，這是跟定值電阻的△P隨電壓初始值同步線性增加是完全不同的結(jié)論。