浙江省溫州市文成縣第二高級(jí)中學(xué) 潘建波

一、問(wèn)題提出，定位教學(xué)

問(wèn)題：若實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足4x2+y2+xy=1,則2x+y的最大值是 。

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)關(guān)鍵是讓學(xué)生在“做中學(xué)”“做中悟”。高三復(fù)習(xí)課教學(xué)過(guò)程不必像新課那樣過(guò)分拘泥于一章一節(jié)，應(yīng)該要適當(dāng)?shù)乜v橫發(fā)散，在數(shù)學(xué)知識(shí)的縱橫聯(lián)系和解題方法的多元選擇中展開(kāi)復(fù)習(xí)。在復(fù)習(xí)的過(guò)程中，應(yīng)彰顯學(xué)生的主體地位，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性、嚴(yán)謹(jǐn)性和廣闊性，以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

本題是2011 年浙江高考數(shù)學(xué)理科第16 題（填空題），學(xué)生在實(shí)際的解題過(guò)程中，思路不清晰，解答不理想。事實(shí)上，本題是高中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的二元函數(shù)最值問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題思路開(kāi)闊，解法豐富多樣，在各地的高考及競(jìng)賽試題中屢見(jiàn)不鮮?？梢酝ㄟ^(guò)不等式、三角、幾何、齊次化等不同角度進(jìn)行分析，以期了解二元函數(shù)最值問(wèn)題的基本求解策略和方法，對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的解答能夠有一個(gè)清晰、完整的過(guò)程，實(shí)現(xiàn)以少勝多，做一題通一類(lèi)復(fù)習(xí)一大片的良好效果。

二、自主探究，一題多解

1.判別式法

點(diǎn)評(píng)：判別式法是學(xué)生最先想到的，若把z=2x+y看成一個(gè)二元函數(shù)，消元的好處是可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為學(xué)生所熟悉的一元二次方程來(lái)解決，整個(gè)過(guò)程自然簡(jiǎn)潔，符合學(xué)生的認(rèn)知水平，但判別式法求最值時(shí)要注意取等條件，需要代入檢驗(yàn)（若題設(shè)增加條件x＞1，最值就取不到了）。

2.基本不等式法

點(diǎn)評(píng)2：學(xué)生通過(guò)變形，觀(guān)察已知條件的特征，符合基本不等式，該解法技巧性較強(qiáng)，解題過(guò)程中必須關(guān)注等號(hào)成立的條件是否滿(mǎn)足。

3.三角代換法

點(diǎn)評(píng)3：學(xué)生通過(guò)解法2 的啟發(fā)，將已知條件用不同的形式呈現(xiàn)，把目標(biāo)二元函數(shù)三角化，解法自然。上述解法本質(zhì)上是通過(guò)三角代換實(shí)現(xiàn)了從二元函數(shù)降為一元函數(shù)的目的，進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)知識(shí)特點(diǎn)求得最值。

4.換元還圓法

點(diǎn)評(píng)4：解法4 其實(shí)是解法3 的另一種體現(xiàn)，三角代換也是符合圓方程特征的，解法3 傾向代數(shù)計(jì)算，而解法4 結(jié)合了直線(xiàn)與圓的幾何特點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了從數(shù)到形的轉(zhuǎn)化。

5.解三角形

點(diǎn)評(píng)5：如果說(shuō)解法4 是實(shí)現(xiàn)了代數(shù)到幾何的跨越，那么解法5就是站在幾何角度把本題解釋得更加透徹.上述方法讓我感到學(xué)生集體力量之強(qiáng)大，其實(shí)作為高三的學(xué)生，已經(jīng)建立起數(shù)學(xué)知識(shí)體系，看問(wèn)題的角度不同，解題策略就會(huì)不同。

6.齊次化

分析6：學(xué)生提出可以嘗試將2x+y平方起來(lái)，目的是為了和已知條件一樣，化為二次式，然后利用“1”的代換，構(gòu)造不等式來(lái)解決。

點(diǎn)評(píng)6：已知等式中的“1”為齊次化打下了很好的基礎(chǔ)，齊次化的本質(zhì)是利用常數(shù)和變量之間的代換，實(shí)現(xiàn)分子分母次數(shù)統(tǒng)一，從而轉(zhuǎn)化成不等式或者是函數(shù)求最值。

7.配方法

分析7：由已知4x2+y2+xy=1 得4x2+y2+xy-1=0，令z=2x+y，引入?yún)?shù)λ，則z2=4x2+4xy+y2+λ(4x2+y2+xy-1)=0。學(xué)生試想，如果帶有x2,y2,xy的三項(xiàng)可以配成一個(gè)完全平方式，用待定系數(shù)法求出λ，那么z的最值就解決了。

點(diǎn)評(píng)7：配方法是一種易于理解、便于掌握的方法，對(duì)此類(lèi)二元函數(shù)求最值問(wèn)題不失為一種通法，想法自然，運(yùn)算機(jī)械性強(qiáng)，貼近學(xué)生認(rèn)知水平。

通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生自主探究，得出上述七種解法，事實(shí)上都是通過(guò)對(duì)題目已知條件和所求目標(biāo)進(jìn)行全面的分析，在不同視角下找到解題的切入點(diǎn).解法1 到解法7 的教學(xué)過(guò)程，符合學(xué)生思維的層層遞進(jìn)，這種連續(xù)性較強(qiáng)的教學(xué)使學(xué)生的邏輯思維能力得到提升。

三、舉一反三，提升素養(yǎng)

鞏固練習(xí)：

①設(shè)x,y為實(shí)數(shù)，若x2+xy+y2=1，則x+y的最大值是___________。

②若x2+2xy-y2=7（x,y∈R），求x2+y2的最小值。

③已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足x2+y2+xy=3，則x2+y2的取值范圍是________。

數(shù)學(xué)知識(shí)具有很強(qiáng)的邏輯性和系統(tǒng)性，通過(guò)上述3 個(gè)練習(xí)，實(shí)現(xiàn)了從一題多解到多題通解，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性。二元函數(shù)求最值問(wèn)題可以從齊次式特征、數(shù)與形特征、對(duì)稱(chēng)式特征入手，學(xué)生通過(guò)一題多解的分析過(guò)程鍛煉了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的發(fā)散思維，通過(guò)多題通解鞏固了數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)化。

整堂復(fù)習(xí)課注重知識(shí)的遷移，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，采用教師講授與學(xué)生自主學(xué)習(xí)相結(jié)合的模式，有利于提高學(xué)生的歸納與概括能力，充分訓(xùn)練了學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，真正做到了眼中有生、心中有數(shù)、以學(xué)定教，讓學(xué)生經(jīng)歷了解題方法生成的過(guò)程，感受了數(shù)學(xué)的魅力。