姜玉婷

摘? 要：隨著分數階微積分的不斷發(fā)展，其定義也逐漸得到完善，在工程、物理、生物等領域的應用也越來越廣。文章首先介紹了分數階微積分幾種形式的定義及其性質，然后給出了帶有分數階微積分的不同粘彈性流體的本構關系，研究了Oldroyd-B流體在不同參數值下圓管中速度隨著時間變化的圖像，并對速度變化情況進行了分析。由圖像可以發(fā)現，分數階微積分在非牛頓流體中有很好的應用，且能夠達到很好的效果。

關鍵詞：分數階微積分;粘彈性流體;Oldroyd-B流體

中圖分類號：O172? ? ? ? ?文獻標志碼：A? ? ? ? ?文章編號：2095-2945（2019）24-0179-02

Abstract： With the continuous development of fractional calculus， its definition has been gradually improved， and it is more and more widely used in engineering， physics， biology and other fields. In this paper， the definitions and properties of several forms of fractional calculus are introduced， and then the constitutive relations of different viscoelastic fluids with fractional calculus are given. The image of the variation of velocity with time in a circular tube with different parameter values of Oldroyd-B fluid is studied， and the variation of velocity is analyzed. From the image， it can be found that fractional calculus has a good application in non-Newtonian fluid， and can achieve good results.

Keywords： fractional calculus; viscoelastic fluid; Oldroyd-B fluid

引言

隨著計算機技術的發(fā)展，分數階微積分在信號處理、粘彈性材料、沈流分析與控制等自然科學與工程的各個領域都有很大應用。當前，分數階算子的定義主要有Riemann-Liouville型、Caputo型、Grünwald-Letnikov型、Weyl型、Erdelyi-Kober型、Riesz型等[1-2]。經過許多學者的長期不懈努力，分數階微積分的理論在一定程度上被建立起來。但是目前分數階微積分的實際應用仍然遇到許多障礙，其中很重要的一個原因是其數學基礎仍未完善，一些情況下不同問題所用的定義形式也不相同，并且分數階導數的傅里葉變換與拉普拉斯變換也存在問題。

從應用的角度看，分數階導數模型和整數階導數模型的本質區(qū)別在于：對時間而言，整數階導數所表征的是一個物理或力學過程某時刻的變化或某種性質，而分數階導數所表征的性質則與該現象的整個發(fā)展歷史有關。整數階空間導數描述的是一個物理過程在空間某一確定位置的局部性質，而分數階導數所描述的性質則與該物理過程涉及的整個空間有關。

本文首先介紹了分數階微積分的幾種不同定義，然后給出了粘彈性流體中幾種經典流體的本構關系[3-5]，重點分析了Oldroyd-B流體在分數階微積分算子取不同值時，圓管中心速度變化的圖像。

1 分數階微積分的定義

現在，基礎數學研究和工程應用研究中最常用的有以下四種分數階微積分的定義：Grünwald-Letnikov型分數階微積分、Riemann-Liouville型分數階微積分、Caputo型分數階微積分和Riesz型分數階微積分。Grünwald-Letnikov定義是差分格式定義，與Riemann-Liouville等定義比較，該定義較少的被用于數學理論分析。然而，它在微分方程理論和數值計算方面使用較多。Riemann-Liouville定義采用微分-積分形式，在數學理論研究中起著重要作用。為了方便實際問題的建模，在粘彈性材料的研究中引入了另一種分數階微分的定義，即Caputo型微分。Caputo型定義在建模應用及積分變換中需滿足的初始條件以整數階微積分的形式給出，現在實際問題中廣泛應用Caputo型定義。下面給出四種分數階微積分的定義。其中，α是階數。

1.1 Riemann-Liouville型

4 結論

本文在分數階微積分基本理論的基礎上，利用分數階導數建模，給出了圓管中幾種粘彈性流體的本構方程，并重點分析了圓管中分數階Oldroyd-B流體的速度隨著不同分數階參數的變化情況。本文的結果對微流控芯片和實驗室芯片等設備的設計和改進具有一定的參考意義。

參考文獻：

[1]陳文，孫洪廣，李西成.力學與工程問題的分數階導數建模[M].科學出版社，2010.

[2]祝奔石.分數階微積分及其應用[J].黃岡師范學院學報，2011，31（6）.

[3]Shaowei Wang， Moli Zhaoa， Xicheng Li， Xi Chen， Yanhui Ge. Exact Solutions of Electroosmotic Flow of Generalized Second-Grade Fluid with Fractional Derivative in a Straight Pipe of Circular Cross. Z. Naturforsch. 2014，69：697-704.

[4]Shaowei Wang， Moli Zhao. Analytical solution of the transient electro-osmotic flow of a generalized fractional Maxwell fluid in a straight pipe with a circular cross-section. European Journal of Mechanics B/Fluids. 2015，54：82-86.

[5]Yuting Jiang， Haitao Qi， Huanying Xu， Xiaoyun Jiang. Transient electroosmotic slip flow of fractional Oldroyd-B fluids. Microfluid Nanofluid.2017，21：7.