俞錦濤， 王金山

(陸軍炮兵防空兵學(xué)院基礎(chǔ)部，安徽 合肥 230031)

0 引言

決策在人們?nèi)粘Ｉ钪邪l(fā)揮著非常重要的作用，針對某一目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化選擇是決策的一種常見形式。人作為決策的主體，因其自身認(rèn)知能力的局限性和客觀事物的復(fù)雜性，往往不能夠在決策過程中做精確描述，而是以不確定信息形式表達(dá)出來。Zadeh提出的模糊集合[1]是一種很好的工具，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步發(fā)展出了直覺模糊集[2]和猶豫模糊集[3]，但是前者不能描述猶豫性，后者不能體現(xiàn)非隸屬度，因而猶豫直覺模糊集[4]發(fā)展成為更加實用的工具，受到了眾多學(xué)者的青睞。Zhou等[5]提出了一種猶豫直覺模糊信息下的偏好關(guān)系，在此基礎(chǔ)上討論了一種群決策方法；Peng等[6]討論了猶豫直覺模糊集新的運算體系，并在此基礎(chǔ)上給出了相應(yīng)的集結(jié)算子和排序方法；Yang等[7]利用Choquet積分建立了猶豫直覺模糊語言信息的集結(jié)算子，并提出了屬性互相關(guān)聯(lián)時的線性分配方法；Faizi等[8]基于直覺模糊支持函數(shù)、風(fēng)險函數(shù)和可信度函數(shù)，提出了一種基于猶豫直覺模糊語言信息的群決策排序方法。

另一方面，語言信息在決策表達(dá)中也發(fā)揮了重要作用。在現(xiàn)實決策中，人們往往更傾向于用自然語言、不確定語言或多粒度語言等定性信息來描述對決策對象的偏好[9]。心理學(xué)研究指出，人能有效區(qū)分7～9個等級，學(xué)者們在此基礎(chǔ)上用語言術(shù)語集做了很多研究。Xu[10]將語言術(shù)語集從離散拓展到了連續(xù)，從而方便了語言術(shù)語間的運算；Xu還提出了不確定語言[11]的概念，并給出了相應(yīng)的運算法則和比較方法；Pang等[12]提出了概率語言集，并用擴(kuò)展的TOPSIS方法將其用于多屬性群決策；Gou等[13]基于兩種等價變換函數(shù)提出了語言術(shù)語集、猶豫模糊語言集、概率語言集的運算規(guī)則，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)運算規(guī)則的缺陷。

猶豫直覺模糊語言集[14]綜合了上述描述決策信息的優(yōu)點，既能描述決策者的心理偏好，也能表示隸屬度、非隸屬度和猶豫度。然而，語言術(shù)語集的下標(biāo)在運算中，會出現(xiàn)不封閉的問題，比如在一個粒度為7的語言術(shù)語集中，會出現(xiàn)s4+s5=s9的情況，雖然在實際運算中通過加權(quán)不會出現(xiàn)這種情形，但是在邏輯上是有缺陷的。針對語言術(shù)語集運算不封閉的問題，本文基于Archimedean三角模，討論猶豫直覺模糊語言信息下的封閉運算體系。首先介紹四種典型的滿足封閉運算的Archimedean三角模：Algebra型、Einstein型、Hamacher型和Frank型；然后提出基于Archimedean三角模的猶豫直覺模糊語言集，給出了其得分函數(shù)、精確函數(shù)、排序方法、加權(quán)的算術(shù)平均和幾何平均算子；并在此基礎(chǔ)上提出一種群決策方法；最后以九甸峽水庫運作方案選擇為例，經(jīng)過對比分析，說明本文方法的優(yōu)越性和有效性。

1 基本概念

1.1 基于Archimedean三角模的代數(shù)運算體系

考慮基于Archimedean三角模的封閉代數(shù)運算體系，首先給出三角模的概念。

定義1[15]記區(qū)間I=[0,1]，若函數(shù)T:I×I→I滿足：

(1)T(1,x)=x,x∈I，

(2)T(x,y)=T(y,x),x,y∈I，

(3)T(x,T(y,z))=T(T(x,y),z),x,y,z∈I，

(4)若x≤z，則T(x,y)≤T(z,y),x,y,z∈I；則稱函數(shù)T是I上的三角模。

若將(1)改成T(0,x)=x，并用S替換T，則稱函數(shù)S是I上的三角余模。容易看出，三角模和三角余模滿足對偶關(guān)系[15]。

文獻(xiàn)[16]指出滿足嚴(yán)格Archimedean性的三角模可以與實數(shù)的普通加法相互轉(zhuǎn)化，即存在嚴(yán)格單調(diào)遞減的算子φ:[0,1]→[0,∞)，φ(1)=0，使得

T(x,y)=φ-1(φ(x)+φ(y))

(1)

根據(jù)對偶關(guān)系的性質(zhì)，同樣有

S(x,y)=φ-1(φ(x)+φ(y))

(2)

其中，φ(x)=φ(1-x)。常見的Archimedean三角模和三角余模如表1所示。

表1 常見的Archimedean三角模和三角余模

根據(jù)式(1)、(2)描述的性質(zhì)，文獻(xiàn)[17,18]提出了基于Archimedean三角模的模糊信息代數(shù)運算體系，并且依舊滿足封閉性。

定義2[17,18]設(shè)x,y∈[0,1]，λ≥0為常數(shù)，則基于Archimedean三角模的運算規(guī)則定義為：

(1)x⊕y=S(x,y)=φ-1(φ(x)+φ(y))；

(2)x?y=T(x,y)=φ-1(φ(x)+φ(y))；

(3)λx=φ-1(λφ(x))；

(4)xλ=φ-1(λφ(x))。

1.2 猶豫直覺模糊語言集

A={|x∈X}

(3)

關(guān)于猶豫直覺模糊語言集的運算規(guī)則可以參考文獻(xiàn)[14]。

2 基于Archimedean三角模的猶豫直覺模糊語言集及其集結(jié)算子

(4)

(5)

(6)

(7)

特別地，當(dāng)權(quán)重都相等時，ATNHILWA算子退化為基于Archimedean三角模的猶豫直覺模糊語言變量的平均(ATNHILA)算子，表示為

(8)

基于Archimedean三角模的猶豫直覺模糊語言變量的加權(quán)幾何平均(ATNHILWG)算子可表示為

(9)

特別地，當(dāng)權(quán)重都相等時，ATNHILWG算子退化為基于Archimedean三角模的猶豫直覺模糊語言變量時的幾何平均(ATNHILG)算子，表示為

(10)

定理1基于Archimedean三角模的猶豫直覺模糊語言變量的加權(quán)算術(shù)平均算子集結(jié)結(jié)果仍為基于Archimedean三角模的猶豫直覺模糊語言變量，且可以表示為

(11)

基于Archimedean三角模的猶豫直覺模糊語言變量的加權(quán)幾何平均算子集結(jié)結(jié)果仍為基于Archimedean三角模的猶豫直覺模糊語言變量，且可以表示為

(12)

證明只需證前半部分語言算子，采用數(shù)學(xué)歸納法，對于ATNHILWA算子，當(dāng)n=1時，式(11)顯然成立。當(dāng)n=2時，有

從而式(11)成立。

假設(shè)n=k≥2(k∈N+)時式(11)成立，當(dāng)n=k+1時，有

從而式(11)成立。

同理，對于ATNHILWG算子，可證式(12)成立。

綜上可知，定理1成立。

對于本節(jié)給出的集結(jié)算子，實際計算中采用不同類型的Archimedean三角?？赡軙玫讲煌臎Q策結(jié)果，限于篇幅，本文只對最簡單的Algebra型進(jìn)行分析。

3 基于Archimedean三角模的猶豫直覺模糊語言信息的群決策方法

(13)

Step2利用式(5)、(6)計算決策者k對方案Xi評價信息的得分函數(shù)和精確函數(shù)，再利用決策者權(quán)重加權(quán)得到方案Xi的得分函數(shù)和精確函數(shù)，如下：

(14)

(15)

Step3利用定義8給出的排序規(guī)則對所有的方案進(jìn)行排序，得到最優(yōu)決策結(jié)果。

4 算例分析

下面以改編自九甸峽水庫運作方案選擇[21,22]的案例為背景，闡述本文方法的實現(xiàn)過程，并與現(xiàn)有方法進(jìn)行對比分析，以顯示其優(yōu)勢。

九甸峽水庫的設(shè)計有多種用途，如發(fā)電、灌溉、工農(nóng)業(yè)用水、居民用水和環(huán)境用水等。根據(jù)對水量分配的不同要求，提出四種水庫運作方案X1、X2、X3和X4。

X1:使植物產(chǎn)量最大，保證洮河流域用水量充足，多的用于社會和經(jīng)濟(jì)供給；

X2:使植物產(chǎn)量最大，保證洮河流域用水量充足，多的用于社會和經(jīng)濟(jì)供給，減少生態(tài)系統(tǒng)供給；

X3:使植物產(chǎn)量最大，保證洮河流域用水量充足，多的用于社會和經(jīng)濟(jì)供給，生態(tài)環(huán)境總供給的90%用于低水期沖沙；

X4:使植物產(chǎn)量最大，保證洮河流域用水量充足，多的用于社會和經(jīng)濟(jì)供給，生態(tài)環(huán)境總供給的50%用于低水期沖沙。

為了選出最優(yōu)方案，當(dāng)?shù)卣辛巳以u價機(jī)構(gòu)相互獨立地對四個方案進(jìn)行比較評估，機(jī)構(gòu)的權(quán)重向量為v=(0.41,0.34,0.25)。評價結(jié)果以猶豫直覺模糊語言集的形式給出，其中語言術(shù)語集為S={s0:極差，s1:差，s3:對等,s4:好，s5:較好，s6:極好}，最終給出的偏好信息分別為A1、A2、A3。下面給出其上三角矩陣關(guān)系，下三角矩陣?yán)媚嫠阕蛹纯芍?/p>

本文決策方法步驟如下：

Step1將偏好信息轉(zhuǎn)化為基于Archimedean三角模的猶豫直覺模糊語言集后，集結(jié)不同決策者對每個方案偏好信息，具體公式為

Step2計算方案Xi的得分函數(shù)和精確函數(shù)，最后結(jié)果為

E1=0.4083,E2=0.4134,E3=0.3169,E4=0.4326

H1=0.5686,H2=0.5307,H3=0.4031,H4=0.5718

Step3利用定義8得到的方案排序為X4?X2?X1?X3，從而最優(yōu)方案為X4。

以下將使用直覺梯形模糊數(shù)來集結(jié)偏好信息的方法與本文的方法進(jìn)行比較。為了保持一致，決策者的權(quán)重也為v=(0.41,0.34,0.25)，具體決策步驟如下：

(16)

(17)

Step2利用文獻(xiàn)[23]的集結(jié)算子計算不同決策者對方案的偏好信息，公式為

(18)

Step3根據(jù)決策者的權(quán)重計算方案總的評價結(jié)果，并進(jìn)行排序，其中集結(jié)算子為

(19)

所有方案的最后評價信息為

I1=<[0.4174,0.4943,0.5713,0.6482](1,0)>

I2=<[0.4195,0.4964,0.5734,0.6503](1,0)>

I3=<[0.2749,0.3518,0.4287,0.5056](1,0)>

I4=<[0.4267,0.5036,0.5805,0.6574](1,0)>

容易得到方案排序為X4?X2?X1?X3，最優(yōu)方案為X4。

比較排序結(jié)果可知兩種方法得到的最優(yōu)方案相同，并且方案的排列順序也相同。本文的方法能減少將評價信息轉(zhuǎn)化為直覺梯形模糊數(shù)造成的信息損失，并且不需要用平均直覺梯形模糊集結(jié)算子來合并決策者的偏好，而是用基于Archimedean三角模的猶豫直覺模糊語言集相對直觀地表達(dá)偏好信息。另外，本文的方法還保證了語言術(shù)語下標(biāo)運算的封閉性。

5 結(jié)論

本文通過建立基于Archimedean三角模的猶豫直覺模糊語言集，解決了語言術(shù)語下標(biāo)運算不封閉的問題；同時給出了基于Archimedean三角模的猶豫直覺模糊語言集的得分函數(shù)、精確函數(shù)、排序規(guī)則、加權(quán)算術(shù)平均和幾何平均算子。將本文內(nèi)容拓展到猶豫直覺模糊不確定語言以及多粒度語言的情形是進(jìn)一步研究的方向。