賈素素

(上海交通大學(xué) 安泰經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海 200030)

根據(jù)中國(guó)物流與采購(gòu)聯(lián)合會(huì)發(fā)布的《中國(guó)采購(gòu)發(fā)展報(bào)告(2017)》，在過(guò)去的2016年中，我國(guó)社會(huì)物流總費(fèi)用為10.2萬(wàn)億元，同比增長(zhǎng)幅度為9.3%，增幅較上年同期回落2.1個(gè)百分點(diǎn)，占GDP比重為18.0%。而在發(fā)達(dá)國(guó)家中，美國(guó)此項(xiàng)占比為8.5%；在其他與我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平基本相當(dāng)?shù)慕鸫u國(guó)家中，印度為13.0%，巴西為11.6%。事實(shí)上，社會(huì)物流總費(fèi)用占GDP比重是衡量物流效率的標(biāo)志，該比重越低，表明單位GDP消耗物流資源越少、物流效率越高、國(guó)家的經(jīng)濟(jì)整體競(jìng)爭(zhēng)力越強(qiáng)。有統(tǒng)計(jì)表明，我國(guó)社會(huì)物流總費(fèi)用占GDP比例每降低1個(gè)百分點(diǎn)，將會(huì)帶來(lái)3000億元的效益。當(dāng)今，國(guó)際物流正向精細(xì)化方向發(fā)展，從前不計(jì)成本、拼人力物力的模式早已不是長(zhǎng)久之計(jì)，因而我國(guó)物流必須結(jié)合實(shí)際由傳統(tǒng)物流向信息化、現(xiàn)代化物流發(fā)展。由此可見(jiàn)，我國(guó)物流成本偏高是不爭(zhēng)的事實(shí)，也是亟待解決的問(wèn)題。

1 延遲支付與現(xiàn)金折扣條件下庫(kù)存總成本模型的建立

本文研究的問(wèn)題建立在供應(yīng)商提供延遲支付與現(xiàn)金折扣這兩種常見(jiàn)的供應(yīng)鏈金融服務(wù)的基礎(chǔ)上，延遲支付是供應(yīng)商允許零售商一個(gè)期限，零售商可以在此延遲支付期限之前支付貨款，且不產(chǎn)生任何利息的一種供應(yīng)鏈金融手段?，F(xiàn)金折扣指的是供應(yīng)商為了敦促零售商盡快支付貨款，承諾若零售商在商定的現(xiàn)金折扣支付期之前付清貨款，則可以享受一定的價(jià)格折扣優(yōu)惠。且零售商經(jīng)營(yíng)的貨物具有變質(zhì)性，在這種情況下，本文的研究?jī)?nèi)容與相關(guān)結(jié)論可以幫助零售商做出使得自身單位時(shí)間庫(kù)存總成本最低的訂貨決策，其中決策變量為訂貨周期與相應(yīng)的訂貨量。

1.1 零售商庫(kù)存總成本模型

文章首先構(gòu)建零售商的庫(kù)存總成本模型，包含訂貨成本(是否享受折扣優(yōu)惠)、變質(zhì)性物品的貶值成本、庫(kù)存持有成本與利息的凈支出成本等，對(duì)以上成本計(jì)量后加總；之后按照訂貨周期與現(xiàn)金折扣支付期以及允許的延遲支付期限的長(zhǎng)短將問(wèn)題分為三種情況分別討論利息支出與是否享受折扣的情況：在訂貨周期大于可延遲支付期限時(shí)(此時(shí)也必然大于現(xiàn)金折扣支付期)，不享受現(xiàn)金折扣優(yōu)惠，從周期起始到可延遲支付期限的一段時(shí)間內(nèi)存在利息收入，而從可延遲支付期限到訂貨周期結(jié)束的一段時(shí)間內(nèi)，未售出的庫(kù)存(如果存在)會(huì)產(chǎn)生利息支出；當(dāng)訂貨周期小于可延遲支付期限而大于現(xiàn)金折扣支付期時(shí)，不享受折扣優(yōu)惠，整個(gè)訂貨周期內(nèi)都有利息收入，且無(wú)利息支出發(fā)生；當(dāng)訂貨周期小于現(xiàn)金折扣支付期時(shí)(此時(shí)必然小于延遲支付期限)，享受折扣優(yōu)惠，同時(shí)整個(gè)周期內(nèi)都存在利息收入，無(wú)利息支出。最后，在三種情況下分別計(jì)算出庫(kù)存總成本，并通過(guò)求導(dǎo)方式得到最優(yōu)訂貨周期，以及對(duì)應(yīng)的最優(yōu)訂貨量，確保理論上可以實(shí)現(xiàn)三種情況下各自的單位時(shí)間庫(kù)存總成本最小化。

1.2 基本假設(shè)與符號(hào)定義

根據(jù)以上問(wèn)題描述與本文研究?jī)?nèi)容的設(shè)定，為了研究的方便，我們需要做一些必要的假設(shè)來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題，突出研究重點(diǎn)。后文模型研究建立在以下假設(shè)的基礎(chǔ)上：

(1)忽略短缺情況；

(2)訂貨提前期為零，補(bǔ)充率無(wú)窮大，即瞬時(shí)補(bǔ)貨；

(3)商品的需求率已知且恒定不變；

(4)每一周期結(jié)束后庫(kù)存為零；

(5)商品的批發(fā)價(jià)低于零售商的零售價(jià)；

(6)貨物的變質(zhì)率已知且恒定不變；

(7)延遲支付期限大于現(xiàn)金折扣支付期。

在后文模型中需要用到以下定義參數(shù)：

T：零售商訂貨周期(年)；

Q：零售商訂貨量；

N：現(xiàn)金折扣支付期(年)；

M：延遲支付期限(年),M>N；

S：每次訂貨成本；

p：零售商售價(jià)；

w：批發(fā)價(jià)，w

h：?jiǎn)挝回浳飭挝粫r(shí)間庫(kù)存持有成本(扣除利息成本)；

D：需求率；

I：利率；

λ：短生命周期產(chǎn)品變質(zhì)率；

θ：現(xiàn)金折扣率。

2 零售商訂貨量與訂貨周期關(guān)系求解

要解訂貨量Q與訂貨周期T的關(guān)系，首先需要根據(jù)庫(kù)存的消耗情況建立微分方程，再根據(jù)方程的邊界條件進(jìn)行推導(dǎo)。

由于本文所考慮的零售商所銷售的物品具有變質(zhì)性，也即該物品會(huì)根據(jù)一個(gè)設(shè)定的變質(zhì)率在訂貨周期內(nèi)發(fā)生變質(zhì)，在數(shù)量上有所消耗。在本文的研究中，因?yàn)樾枨笤斐傻膸?kù)存消耗與因?yàn)樽冑|(zhì)造成的庫(kù)存消耗同時(shí)存在，因而有下面的微分方程存在：

(1)

由于我們已經(jīng)假設(shè)在周期結(jié)束時(shí)庫(kù)存為0，則每一周期開(kāi)始時(shí)刻，庫(kù)存也為0，因而根據(jù)邊界條件t=0時(shí)，I(t)=I0，解以上微分方程，可以得到以下結(jié)果：

(2)

當(dāng)t=T，I(t)=0，代入式(2)，求得以下Q與T關(guān)系：

(3)

將式(3)代入式(2)中，得到t時(shí)刻庫(kù)存水平的表達(dá)式：

(4)

同時(shí)，我們可以得到一個(gè)周期T內(nèi)發(fā)生由于物品發(fā)生變質(zhì)而形成的庫(kù)存消耗數(shù)量：

(5)

如此我們就得到了零售商的訂貨周期T與訂貨量Q的對(duì)應(yīng)關(guān)系。在后文中，建立了每種情況下的零售商庫(kù)存總成本模型后，通過(guò)求導(dǎo)得到使庫(kù)存總成本最小的訂貨周期后，就可以根據(jù)此關(guān)系求出該情況下對(duì)應(yīng)的最優(yōu)的訂貨量Q。另外，每周期庫(kù)存的消耗數(shù)量用于描述周期內(nèi)的總變質(zhì)成本。

2.1 分情況建立零售商庫(kù)存總成本模型

接下來(lái)我們將根據(jù)訂貨周期T、延遲支付期限M與現(xiàn)金折扣支付期N的長(zhǎng)短，將研究問(wèn)題分為三種情況。

在訂貨周期大于可延遲支付期限時(shí)(此時(shí)也必然大于現(xiàn)金折扣支付期)，不享受現(xiàn)金折扣優(yōu)惠，從周期起始到可延遲支付期限的一段時(shí)間內(nèi)存在利息收入，而從可延遲支付期限到訂貨周期結(jié)束的一段時(shí)間內(nèi)，未售出的庫(kù)存(如果存在)會(huì)產(chǎn)生利息支出；當(dāng)訂貨周期小于可延遲支付期限而大于現(xiàn)金折扣支付期時(shí)，不享受折扣優(yōu)惠，整個(gè)訂貨周期內(nèi)都有利息收入，且無(wú)利息支出發(fā)生；當(dāng)訂貨周期小于現(xiàn)金折扣支付期時(shí)(此時(shí)必然小于延遲支付期限)，享受折扣優(yōu)惠，同時(shí)整個(gè)周期內(nèi)都存在利息收入，無(wú)利息支出。現(xiàn)在將以上三種情況下零售商是否能享受價(jià)格折扣與各自利息收支情況總結(jié)如下(如表1所示)：

表1 零售商享受價(jià)格折扣與利息收支情況

(1)訂貨周期T小于現(xiàn)金折扣支付期N與延遲支付期限M

在該種情況下，零售商的庫(kù)存總成本表示如下：

用上式除以訂貨周期T則可以得到零售商在單位時(shí)間內(nèi)庫(kù)存總成本：

(6)

(2)訂貨周期T大于現(xiàn)金折扣支付期N而小于延遲支付期限M

在該種情況下，零售商的庫(kù)存總成本表示如下：

用上式除以訂貨周期T則可以得到零售商在單位時(shí)間內(nèi)庫(kù)存總成本：

(7)

(3)訂貨周期T大于延遲支付期限M

在該種情況下，零售商的庫(kù)存總成本表示如下：

用上式除以訂貨周期T則可以得到零售商在單位時(shí)間內(nèi)庫(kù)存總成本：

(8)

2.2 零售商最優(yōu)庫(kù)存策略求解

(1)零售商訂貨周期小于現(xiàn)金折扣支付期(T

在上一章節(jié)中，我們已經(jīng)求得了該種情況下零售商的單位時(shí)間庫(kù)存總成本，因此現(xiàn)在用式(6)對(duì)T求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)等于0，可以求得使庫(kù)存總成本最小的最優(yōu)的訂貨周期T：

(9)

為了證明該解是否是唯一的最優(yōu)解，也即是否是圖像中唯一使單位時(shí)間庫(kù)存總成本最小的最低點(diǎn)，需要證明二次導(dǎo)函數(shù)大于0，過(guò)程如下：

(10)

此時(shí)為了證明式(10)的非負(fù)性，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：eλT(λT-1)2+eλT-2是否大于0，所以用繪圖軟件Gnuplot作3D圖像，如圖1所示。

圖1 T

由圖1可以看出，對(duì)于式(10)中的eλT(λT-1)2+eλT-2，在兩個(gè)參數(shù)λ、T取值范圍都在0～1時(shí)，該函數(shù)是非負(fù)的，并且在λ=0、T=0，λ=1、T=0，λ=0、T=1這三種情況下到達(dá)最低點(diǎn)，此時(shí)取得最小值0。因而可以知道式(10)是非負(fù)的，則令一次導(dǎo)函數(shù)(9)等于0求出的零售商訂貨周期為可以使單位時(shí)間庫(kù)存總成本最小的唯一最優(yōu)解。

(2)零售商訂貨周期大于現(xiàn)金折扣支付期而小于延遲支付期限(N≤T

在上一章節(jié)中，我們已經(jīng)求得了該種情況下零售商的單位時(shí)間庫(kù)存總成本，因此現(xiàn)在用式(7)對(duì)T求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)等于0，可以求得使庫(kù)存總成本最小的最優(yōu)的訂貨周期T：

(11)

為了證明該解是否是唯一的最優(yōu)解，也即是否是圖像中唯一使單位時(shí)間庫(kù)存總成本最小的最低點(diǎn)，需要證明二次導(dǎo)函數(shù)大于0，過(guò)程如下：

(12)

此時(shí)為了證明式(12)的非負(fù)性，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：eλT(λT-1)2+eλT-2是否大于0，證明同情況(1)。

(3)零售商訂貨周期大于延遲支付期限(N

在上一章節(jié)中，我們已經(jīng)求得了此種情況下的零售商單位時(shí)間內(nèi)庫(kù)存總成本的構(gòu)成，現(xiàn)在只需用式(8)對(duì)訂貨周期T求導(dǎo)，并令導(dǎo)函數(shù)等于0，就可以求出使單位時(shí)間庫(kù)存總成本最小的最優(yōu)訂貨周期T：

(13)

為了證明該解是否是唯一的最優(yōu)解，也即是否是圖像中唯一使單位時(shí)間庫(kù)存總成本最小的最低點(diǎn)，需要證明二次導(dǎo)函數(shù)大于0，過(guò)程如下：

(14)

為了證明式(14)的非負(fù)性，下面分別考慮λeλT(λT-2)+2(eλT-1)+2與λ2T2eλ(T-M)-2(λT-1)eλ(T-M)-2是否大于0，使用繪圖軟件Gnuplot繪圖，如圖2所示。

圖2(a) N

圖2(b) N

由圖2可以看出，對(duì)于式(14)中的λeλT(λT-2)+2(eλT-1)+2部分，在兩個(gè)參數(shù)λ、T取值范圍都在0～1時(shí)，該函數(shù)是非負(fù)的，并且λ=1、T=0在達(dá)到函數(shù)最低點(diǎn)時(shí)，最小取值為1。

由圖2可以看出，對(duì)于式(14)中的λ2T2eλ(T-M)-2(λT-1)eλ(T-M)-2部分，在兩個(gè)參數(shù)λ、T取值范圍都在0～1時(shí)，該函數(shù)是非負(fù)的，并且在λ=0、T=0，λ=1、T=0，λ=0、T=1這三種情況下到達(dá)最低點(diǎn)，此時(shí)取得最小值0。

因此可以得到，在兩個(gè)參數(shù)λ、T取值范圍都在0～1時(shí)，二次導(dǎo)函數(shù)式(14)是非負(fù)的，則令一次導(dǎo)函數(shù)(13)等于0求出的零售商訂貨周期為可以使單位時(shí)間庫(kù)存總成本最小的唯一最優(yōu)解。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文研究的主要內(nèi)容是經(jīng)營(yíng)變質(zhì)性物品的零售商如何在供應(yīng)商提供延遲支付與現(xiàn)金折扣這兩種常見(jiàn)的供應(yīng)鏈金融服務(wù)時(shí)，做出使得自身單位時(shí)間庫(kù)存總成本最低的最優(yōu)訂貨決策。當(dāng)然，本文的研究還不夠成熟，存在很多局限性。例如，本文考慮的貨物變質(zhì)率是恒定不變的，而已經(jīng)有研究表明，Weibull分布可以更加切合實(shí)際地描述一般物品的變質(zhì)規(guī)律；本文對(duì)于訂貨周期的研究沒(méi)有考慮缺貨現(xiàn)象，而在現(xiàn)實(shí)中缺貨是很常見(jiàn)且?guī)缀鹾茈y避免的現(xiàn)象，這一點(diǎn)的假設(shè)也過(guò)于強(qiáng)烈；本文的現(xiàn)金折扣率是固定的，而在現(xiàn)實(shí)的貿(mào)易往來(lái)中，很多供應(yīng)商會(huì)根據(jù)零售商訂貨量的大小給出階梯式的價(jià)格折扣率；等等。以上局限性有待在未來(lái)進(jìn)行更符合實(shí)際情況的探索與研究。