韓紅梅

[摘 ?要] 變學(xué)科教學(xué)為學(xué)科教育的概念變式研究將學(xué)生的核心素養(yǎng)發(fā)展更好地融入學(xué)科核心素養(yǎng)中，教師在實際教學(xué)中應(yīng)充分關(guān)注學(xué)生在學(xué)科知識與能力的發(fā)展、思維品質(zhì)的提升以及知識的運用，積極引導(dǎo)學(xué)生對世界展開更為廣闊的視角并因此充滿生活與學(xué)習(xí)的熱情.

[關(guān)鍵詞] 函數(shù);奇偶性;概念;變式

生活中無處不在的對稱美在函數(shù)的奇偶性這一重要內(nèi)容上也有具體的體現(xiàn)，本文結(jié)合實際問題以及筆者的教學(xué)實踐，從“函數(shù)的奇偶性”出發(fā)淺要談?wù)劯拍钭兪窖芯康囊稽c想法.

問題的提出

問題1：運用數(shù)量刻畫圖像的對稱性應(yīng)怎樣操作？

學(xué)生對圖像進行觀察可得：f（-1）=1=f（1），f（-2）=4=f（2），推廣到一般，f（-x）=x2=f（x）. 學(xué)生在新符號的理解上表現(xiàn)得陌生而緩慢，此處強調(diào)y=f（x）. 另外f（-x）=f（x）中的x可以為1，2，3等定義域R上的任意數(shù)，偶函數(shù)定義中的“任意”也因此得到鋪墊. 列舉具體函數(shù)并引導(dǎo)學(xué)生對“任意”進行感知.

想一想：

（1）f（x）=x2，x∈[-1，1）是否關(guān)于y軸對稱？

（2）f（x）=x2，x∈[-1，2]是否關(guān)于y軸對稱？

（3）f（x）=x2，x∈[-2，-1）∪（1，2]是否關(guān)于y軸對稱？

（4）f（x）=x2，x∈[-a，a]是否關(guān)于y軸對稱？

（5）f（x）=x2，x∈[a，2a+3]關(guān)于y軸對稱，a等于多少？

f（x）=x2有解析式，其圖像關(guān)于y軸對稱，可以證明f（-x）=f（x）.

定義域在從特殊到一般的問題串中得到了變化，學(xué)生在各種變化中也對集合建立了更加全面的認(rèn)知. 函數(shù)問題應(yīng)首先考慮定義域這一要點也在數(shù)與形的反復(fù)變化中得到了強化，學(xué)生也因此對定義域的重要性形成深刻的感知.

問題2：若圖像關(guān)于y軸對稱的函數(shù)只有圖像，沒有解析式，則之前的恒等式f（-x）=f（x）是否成立呢？

借助幾何畫板并任意取一動點（x0，f（x0）），其關(guān)于y軸的對稱點（-x0，f（x0））也在函數(shù)圖像上，因此也能將其表示為（-x0，f（-x0）），此時恒等式仍舊成立.

從特殊到一般并進行概括可得，關(guān)于y軸對稱的函數(shù)即為偶函數(shù).

問題3：如何對偶函數(shù)進行定義？

探究新課

偶函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域是A，若對于任意的x∈A，都有f（-x）=f（x），則稱函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù).

定義包含定義域關(guān)于原點對稱、f（-x）=f（x）這兩層意思.

教師反思：從具體函數(shù)入手并推廣到一般情況的研究是為了導(dǎo)出本課研究的內(nèi)容，在實際教學(xué)中進行這種數(shù)學(xué)研究思路的滲透能夠幫助學(xué)生對奇函數(shù)展開自主類比研究.

判斷：定義在R上的函數(shù)f（x），以下說法成立嗎？

（1）若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，則f（-2）=f（2）.

（2）若f（-2）=f（2），則函數(shù)f（x）為偶函數(shù).

（3）若f（-2）≠f（2），則函數(shù)f（x）不是偶函數(shù).

（4）函數(shù)f（x）=x2+1，f（x）=（x+1）2，f（x）=x2+2x均為偶函數(shù).

一組概念辨析的判斷題能使學(xué)生在畫圖、定義的反復(fù)推敲中獲得更多的思考并對定義形成更加深刻而全面的認(rèn)知，學(xué)生在觸類旁通的推敲中也能更好地掌握判斷的方法[1] .

探一探：模仿偶函數(shù)的研究對圖像關(guān)于原點中心對稱的函數(shù)的性質(zhì)進行探索.

引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般找尋關(guān)于原點對稱的反比例函數(shù)并從數(shù)量的角度進行發(fā)現(xiàn)與概括.

問題4：奇函數(shù)應(yīng)如何定義呢？（引導(dǎo)學(xué)生模仿偶函數(shù)的定義對奇函數(shù)進行定義）

奇函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域是A，若對于任意的x∈A，都有f（-x）= -f（x），則稱函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù).

問題5：若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)或偶函數(shù)，則稱函數(shù)f（x）具有奇偶性，則其對稱性怎樣？

學(xué)生在完善的概念辨析中很快答出：偶函數(shù)與奇函數(shù)的圖像分別關(guān)于y軸和原點對稱. 此時教師還應(yīng)對判斷函數(shù)奇偶性的步驟進行強調(diào)：①形的角度. ②數(shù)的角度. 定義域關(guān)于原點對稱并求出f（-x），若f（-x）=f（x），則為偶函數(shù);若f（-x）=-f（x），則為奇函數(shù).

例題探究

例1：判斷以下函數(shù)的奇偶性：

學(xué)生從形的角度對函數(shù)的奇偶性進行判斷是比較容易的，此例題的設(shè)計是引導(dǎo)學(xué)生在不會畫圖的情況下對函數(shù)的奇偶性進行判斷，也就是引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)的角度對問題進行研究與判斷，教師此時還可以將式子進行適當(dāng)變化以促進學(xué)生對知識的掌握.

變式1：判斷函數(shù)f（x）=x+ 的奇偶性.

變式2：判斷函數(shù)f（x）=x2+ 的奇偶性.

變式3：判斷函數(shù)f（x）= 的奇偶性.

例1中的第（2）問是課本上的，一樣不好作圖，不過學(xué)生此時已經(jīng)具備了用代數(shù)法判斷其奇偶性的能力，由此可見，學(xué)生在得到概念并突破難點之后是具備研究能力的.

尋一尋：①有既不為奇函數(shù)也不為偶函數(shù)的函數(shù)嗎？請舉例.②有同為奇函數(shù)、偶函數(shù)的函數(shù)嗎？請舉例. 學(xué)生舉例：f（x）=（x-1）2，這是學(xué)生在f（x）=（x+1）2上做出的修改.繼續(xù)修改例題f（x）=x2+ 讓學(xué)生判斷，這是下一個環(huán)節(jié)“編一編”的鋪墊.

學(xué)生在尋找既奇且偶函數(shù)時脫口而出f（x）=0. 還有少數(shù)學(xué)生對定義域進行了變換，教師此時還可以拋出以下問題給學(xué)生再思考：①判斷函數(shù)f（x）= + 的奇偶性;②判斷函數(shù)f（x）= + （a>0）的奇偶性. 定義域的形態(tài)雖然發(fā)生了變化，但其本質(zhì)仍舊是f（x）=0. 學(xué)生也因此對這一部分的內(nèi)容產(chǎn)生莫大的興趣.

時時設(shè)計疑難與障礙并使學(xué)生在“絕境”處獲得突破往往能使學(xué)生更加自信并富有創(chuàng)造力，形不可用但數(shù)能行的例題設(shè)計令學(xué)生的收獲與體驗更為豐富[2] .

畫一畫：1.如圖：（1）若為偶函數(shù)，另一半應(yīng)如何作出？（2）若為奇函數(shù)，另一半應(yīng)如何作出？

學(xué)生很快聯(lián)想到畫奇函數(shù)時將其旋轉(zhuǎn)180°會跟原圖一樣，顯然，學(xué)生在簡單的作圖到復(fù)雜圖像的研究中已經(jīng)具備了發(fā)現(xiàn)與獨立思考的優(yōu)秀品質(zhì).

編一編：大家能根據(jù)例題編出不同的題目嗎？編出2題并解答或者考考自己的同伴，看一看哪些題更有創(chuàng)意.

在學(xué)生嘗試編題為難同伴時可以再拋出想一想：任何一個函數(shù)均能表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和這一說法成立嗎？如何證明？（課后思考）

學(xué)生在小結(jié)時能很好地抓住數(shù)與形這兩個方面進行概括. 再思考：學(xué)習(xí)函數(shù)奇偶性的緣由何在？（①可用于陌生函數(shù)的研究;②簡化函數(shù)圖像的畫法并令問題的研究更加方便.）

學(xué)生在學(xué)科知識、能力上的發(fā)展、思維品質(zhì)的提升以及知識的運用都是課程評價所包含的內(nèi)容，固守學(xué)科知識掌握、考試成績提升的行為是對學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展與變化的忽視，教師在實際教學(xué)中應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生對世界展開更為廣闊的視角并因此充滿生活與學(xué)習(xí)的熱情.

參考文獻：

[1] ?韓龍淑，王新兵. 數(shù)學(xué)啟發(fā)式教學(xué)的基本特征[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報， 2009，18（6）：6-9.

[2] ?涂榮豹，王光明，寧連華. 新編數(shù)學(xué)教學(xué)論[M]. 華東師范大學(xué)出版社，2006.